2.4.2 圆的一般方程-（配套教参）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开推导，明确二元二次方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆的条件（D²+E²-4F>0）、圆心（-D/2,-E/2）和半径√(D²+E²-4F)/2，通过问题引导、结论形成及例题练习构建学习支架。 该资料以问题链驱动推导过程提升数学抽象素养，题型覆盖概念判断、待定系数法求方程及轨迹问题培养数学运算与逻辑推理能力。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过判断、选择及解答题回顾强化，有效查漏补缺。

2．4.2　圆的一般方程 学业标准 素养目标 1．正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会在给定的条件下求圆的一般方程．(重点) 通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养． [对应学生用书P73] 导学　圆的一般方程 已知圆心(2，3)，半径长为2，写出圆的标准方程，并将该圆的方程化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式？ [提示] (x－2)2＋(y－3)2＝4，展开得x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即该圆的方程能化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？ [提示] 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圆心为(1，－2)，半径长为2的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形． 若将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方化成＋＝的形式，你能得到什么结论？ [提示] 当D2＋E2－4F＞0时，表示以为圆心，为半径的圆． ◎结论形成 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程__x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0__称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点____ D2＋E2－4F＞0 表示以____为圆心， 以____为半径的圆 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　) (3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) 解析　(1)√.圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)√.圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)×.不表示圆，方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表示点(1，－2). (4)√.因为点M(x0，y0)在圆外，所以＋＞， 即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3)　　　　　　　 B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3). 答案　D 3．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　) A．k≤ B．k＝ C．k≥ D．k＜ 解析　方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<. 答案　D 4．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________________. 解析　由题意得，圆的半径r＝＝，圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开化为一般式方程得x2＋y2＋6x－8y－48＝0. 答案　x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [对应学生用书P74] 题型一　圆的一般方程的概念 判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径． (1)x2＋y2－4x＝0； (2)x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0； (3)4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. [解析]　(1)方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，表示圆心坐标是(2，0)，半径是2的圆． (2)方程可变形为(x－2a)2＋＝a2.当a＝0时，方程表示点(0，0)；当a≠0时，方程表示圆心坐标是，半径是|a|的圆． (3)方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0， 即＋＝－， 方程不表示任何图形． 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． [触类旁通] 1．已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示的曲线是圆，则实数a的值是________． 解析　把方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0化简整理，可得a2＋(a＋2)y2＝1－a， 因为此曲线表示圆， 所以a2＝a＋2，并且1－a＞0， 所以解得a＝－1. 答案　－1 题型二　用待定系数法求圆的一般方程　一题多变 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． [解析]　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. [母题变式] 1．(变条件、变结论)例2中若“点M(a，2)在△ABC的外接圆上”，其他条件不变，试求a的值． 解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.又点M(a，2)在所求的圆上，故点M(a，2)的坐标满足圆的方程，可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 2．(变条件、变结论)例2中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆的方程？ 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是，因为圆关于直线y＝－x对称，则直线y＝－x经过圆心，即圆心在直线y＝－x上，可得－＝，即D＝－E.又圆过点A(2，2)，B(5，3)，由此可得 解得D＝－13，E＝13，F＝－8，故圆的一般方程是x2＋y2－13x＋13y－8＝0. [素养聚焦]　本题通过考查学生利用待定系数法求圆的一般方程，培养学生逻辑推理和数学运算核心素养． 用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，求出D，E，F的值． (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． [触类旁通] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆C的一般方程． 解析　由题意得圆心C， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2　①. 又半径r＝＝， 所以D2＋E2＝20　②. 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0， 所以所以圆C的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型三　与圆有关的轨迹问题 (教材例5·提升)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． [解析]　(1)设AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0. 解决与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [触类旁通] 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) 解析　解法一(代入法)　设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以x＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＋＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)，故选A. 解法二(数形结合法)　由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A. 答案　A 知识落实 技法强化 圆的一般方程与动点的轨迹方程． (1)求圆的一般方程方法是待定系数法，求动点的轨迹方程常用方法有定义法、直接法、代入法等． (2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件． 学科网（北京）股份有限公司 $