圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程专项训练 圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程专项训练 考点目录 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的轨迹方程 考点一 圆的标准方程 例1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 例2．（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 例3．（25-26高二上·山西运城·期中）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【分析】利用待定系数法联立方程即可求解. 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 例4．（25-26高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 变式1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心及圆上一点求出半径，再利用圆的标准方程即可求解. 【详解】，所以圆的半径，又以为圆心， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 变式3．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在直线上，可设，结合圆过两点，可知，解方程即可得圆心与半径，即可得解. 【详解】根据圆心在直线上， 则设圆心坐标为， 又圆过两点，， 则， 即， 解得， 所以圆心， 半径， 即圆的方程为， 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是___________. 【答案】 【分析】先求半径，利用圆的标准方程即可求解. 【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为， 所以圆的方程为， 故答案为：. 考点二 圆的一般方程 例1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标 【详解】设圆的方程为. 因该圆过点，，，所以，解得. 因此圆的方程为. 化简得. 因此该圆的圆心为. 故选：C 例2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 例3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 例4．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将圆化为标准形式，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 变式1．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 【答案】D 【分析】设圆的方程为，解方程组即得解. 【详解】解：设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得， 解得， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为． 因为也在此圆上，所以， 所以， 解得a＝7或（舍去）． 故选：D． 变式3．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 变式4．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）若方程表示圆，则的取值范围为__________. 【答案】或， 【分析】将其配方，即可根据求解. 【详解】由可得， 故，解得或， 故答案为：或， 考点三 圆的轨迹方程 例1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 例2．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得； （2）待定系数法求解圆的方程； （3）相关点法求动点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 例3．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知圆心坐标为，进而可得半径，即可得圆的方程； （2）设，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）因为直线（）可化为：， 所以直线恒过点， 又因为圆E恒被直线（）平分，则（）恒过圆心， 可知圆心坐标为，且圆E经过点，所以圆的半径， 所以圆E的方程为. （2）设， 因为M为线段AP的中点，且，则， 因为点P是圆E上的动点，则，即， 所以M的轨迹方程为. 变式1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； （2）设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 变式2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 变式3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程转化成即可求解； （2）分截距为和不为两类情况讨论即可； （3）设，，通过代入法即可求解； 【详解】（1）由，得， 令，得， 因此点的坐标为. （2）由（1）知点的坐标. 若截距为，即直线经过原点， 设直线方程为，则， 此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得， 此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （3）设，，则， 得到，所以， 又点在上，所以， 整理得， 故的轨迹方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程专项训练 圆与方程：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的轨迹方程专项训练 考点目录 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的轨迹方程 考点一 圆的标准方程 例1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·山西运城·期中）已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 例4．（25-26高二下·上海·期中）圆的圆心的坐标为__________． 变式1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 变式4．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是___________. 考点二 圆的一般方程 例1．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 例4．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段检测）已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 变式1．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D．7 变式3．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 变式4．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）若方程表示圆，则的取值范围为__________. 考点三 圆的轨迹方程 例1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 例2．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 例3．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆E经过点，且恒被直线（）平分. (1)求圆E的标准方程； (2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.（当点P经过点A时，规定点M与点P重合） 变式1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 变式2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 变式3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (3)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $