空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题 期末专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 考点目录 线面角问题 二面角问题 空间距离问题 考点一 线面角问题 例1．（25-26高二上·广西贺州·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河南·期中）设直线与平面相交，且的方向向量为，的法向量为，若，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为 ．    例4．（2025·上海普陀·一模）在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为 ． 例5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）在正四棱柱中，是棱上的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例6．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 例7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． (1)证明：平面平面． (2)若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 变式1．（25-26高二上·广东惠州·月考）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·广东惠州·期中）正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·天津河东·月考）如图，在长方体中，，则直线与平面所成角的正弦值为 . 变式4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）定义：在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为.阅读上面材料，并解决下列问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 . 变式5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明：平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 变式6．（24-25高三上·北京·月考）如图，在四棱锥中，，，，，，是棱上的点． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 变式7．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，菱形与矩形所在的平面垂直，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考点二 二面角问题 例1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，把正方形纸片沿对角线折成的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·山西晋中·期中）已知矩形将沿折起到的位置，使得，则平面与平面的夹角的余弦值为 . 例4．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 例5．（25-26高二上·贵州·月考）如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. (1)证明：平面 平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 例6．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．在锐角中，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在一点；使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 例7．（25-26高二上·河南许昌·月考）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，，，点在侧棱上，且.    (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 变式1．（25-26高二上·四川南充·期中）如图1，在平行四边形中，，，如图2，沿将折起到的位置，使得点到点的距离为，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·广东揭阳·期中）如图，在正三棱柱中，，是的中点，，分别在棱，上，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 . 变式4．（25-26高二上·上海·月考）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为 变式5．（25-26高二上·浙江温州·月考）如图，在四边形中，，，点在上，，将沿翻折至，使，点分别是与的中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 变式6．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，在斜四棱柱，底面是边长为2的菱形，，且. (1)证明：平面. (2)若，，且平面与平面夹角的余弦值为，求. 变式7．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，．平面平面，M为的中点，点E为线段上的动点（点E不与点P，D重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点E，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 考点三 空间距离问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·月考）在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知四面体中，、、两两垂直，， 与平面所成的角为，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·山东潍坊·月考）已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为 . 例4．（25-26高二上·江西九江·月考）如图，已知棱长为3的正方体，在平面的同侧，顶点 A在平面上，顶点B，D到平面的距离分别为1和，则顶点到平面的距离为 ．    例5．（25-26高二上·山东济南·月考）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 例6．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，长方体中，，．若上存在点，使得平面． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 变式1．（25-26高二上·安徽池州·月考）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 变式2．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东江门·月考）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为 ， 变式4．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 变式5．（25-26高三上·北京东城·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 变式6．（25-26高三上·福建福州·月考）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 考点目录 线面角问题 二面角问题 空间距离问题 考点一 线面角问题 例1.(25-26高二上：广西贺州月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD =90°，BC=1,CD=√3，PD=2,∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD,M为线段PA上一点，且 PM=PA,则直线BM与平面PAD所成角的正弦值为() 4 M A. 2√7 B.V21 7 c.-26 D.-27 7 7 【答案】A 【详解】在△APD中，∠PDA=60°，∠PAD=30°，PD=2, 所以∠APD=90°，AD=4,PA=2V5, 过P作PO⊥AD于O, 则∠0PD=30°， 所以D0=PD=1=BC,PO=√PD-D0=N5, 连接OB, 则四边形BCD0为矩形，其中BC=1,CD=√5， 因为OB⊥AD,AD=PADA平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD, 所以OB⊥平面PAD, 又因为OPc平面PAD 所以0B10P, 又PO⊥AD, 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 故以0为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： Z◆ 年A B 则D(-1,0,0),0(0,0,0),A(3,0,0),B(0,V3,0),P(0,0,V3), 所以PA=(3,0,-√5)， 所以丽-=9. 3 4 所以M己，， √5 4 4 所uW=层6当. 因为y轴垂直于平面PAD, 所以取平面PAD的法向量n=(0,1,0), 设直线BM与平面PAD所成角为O, 5227 in0=cos(BM,n)= 1-31 则 ++ 3 21√77 4 2 故选：A 上·河南：期肿)设直线雪平面Q相交，且的方向向量为ā，a的法向量为示 1与a所成的角为() B.π C. π D. 5π 6 6 【答案】B 【详解】：位，成=，山与a的法向量所在直线所成绕角为 1与所成的角为导名子 故选：B 例3.(2526商二上上海期帅)如图，在四陵锥P-48CD中，底面48CD为菱形，∠BAD-骨点P在底面 2 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 ABCD的投影是AC与BD的交点，且△PDB是等边三角形，点E在线段AD上，若直线PE与平面PBC所成角为O, 则sin0的取值范围为 B V104 【答案】 55 【详解】 如图，设AC∩BD=O,因底面ABCD为菱形，则AC⊥BD,依题意，PO⊥平面ABCD, 故以点0为坐标原点，分别以OA,OB,OP所在直线为x,”,z轴，建立空间直角坐标系O-z 设4B=2,因△P08是等边三角形，且∠BAD-骨则BD=PD=PB=2 于是，B(0,1,0),C(-V3,0,0),P(0,0,√5)，A5,0,0),D(0,-1,0), 则BP=(0,-1,V3),BC=(-√3，-1,0)， 设平面PBC的法向量为n=(化，y,z), 即i=-y+5:=0,故可取=-5.-小， 则 BC.i=-3x-y=0 设AE=tAD=(-√3t,-t,0),则t∈[0，]， 且PE=AE-AP=(←3t,-t,0)-(←5,0，V5)=(W5-3,-t,-5), 依题意， sin 0=Icos(PE. √30 V5×V31-)2+2+3 5-+ 8 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 因e0,则20-+号3，放可gs血0号 8 8 V104 故答案为： 5’5 例4.(2025上海普陀-模)在48C巾，4=子4B=2,4C=5,D为4C边上的一点，且4D=2,现将 △ABD沿BD边折起，使得点A至点P的位置，且满足平面PBD⊥平面BDC,如图所示，则直线PC与平面BDC所 成的角的正弦值为」 D D 【答案】3 【详解】 A=行，AB=2,AD=2,6ABD为等边三角形， 取AD的中点O,BD的中点H,连接AH,BO,则AH⊥BD,BO⊥AD, 现将△ABD沿BD边折起，使得点A至点P的位置，则PH⊥BD, :平面PBD⊥平面BDC,平面PBD∩平面BDC=BD,PH⊥BD, PH⊥平面BDC, 过O作PH的平行线作为z轴，以0O为原点，OB为x轴，OD为y轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ZA :△ABD为等边三角形，AB=2,AH=√5，B0=√， B :AC=5,.OD=1,OC=4, DL0J5.o0.c40.m5o5) c=9g4 :平面BDC的法向量为n=(0,0,1),=1, 设直线PC与平面BDC所成的角为a, 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 则sina=cos(pc, PC.3 PC·m4 故直线PC与平面BDC所成的角的正弦值V 4 例5.(25-26高二上贵州遵义·期中)在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA,=2AB=2BC=2,M是棱CC1上的中点. A D M A-- D B C (I)求证：AM⊥BD; (2)求直线AM与平面B,CD,所成角的正弦值. 【答案】(I)证明见解析； 255 9 【详解】(1)如图，以A为原点，AB,AD,AA,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 0 C A B 因为AA=2AB=2BC=2, 所以A0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0,M1,1,1, AM=（1,L,1,BD=（-1,1,0), 因为AM.BD=(1,1,1)(-1l,0)=-1+1=0, 所以AM⊥BD. (2)由题可知，B(1,0,2),C(1,1,0),D,(0,1,2),A(0,0,0),M1,1,1) 则AM=(1,1,1),B,C=(0,1,-2),B,D=(-1,1,0), 设平面B,CD的法向量为n=(化，y,z), 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 iiBC=0 [y-2z=0 则有 即 iBD=0 -x+y=01 不妨取x=2,则y=2,z=1,故n=(2,2,1) 设直线AM与平面B,CD所成角为a, AM· 则sina=cos(AM,n= _2+2+1_55 AM3x3 9' 故直线AM与平面8，CD,所成角的正弦值为 9 例6.(25-26高二上湖北變阳月考)已知三棱锥D-ABC,ABC是边长为2的正三角形，∠DAB=∠DAC= 3 AD=3. D E (I)证明：AD⊥BC; (2)动点E满足DE=λCB(2∈R),求直线CE与平面ABD所成角的正弦值的最大值. 【答案】（①）证明见解析 26 3 【详解】(1)证明：如图所示，取BC中点O,连接OA,OD. 在△ACD中，根据余弦定理得 CD-AD+AC-24DAC-c05ZCAD=9+4-2x3x2*-7 得CD=√7.同理BD=√万. 所以CD=BD,又O为BC中点，所以DO⊥BC, 又ABC是正三角形，O为BC中点，所以AO⊥BC, 又A0AD0=0,A0,D0c平面A0D, 故BC⊥平面AOD,因为ADC平面AOD,因此AD⊥BC. (2)在△BCD中，OD=VBD2-BO2=V6, 又A0=√5，AD=3,所以A02+0D2=AD2, 6 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 由勾最定理逆定理得∠40D-,即D01A0, 由(1)可知D0⊥BC,又A0∩BC=O,AO,BCc平面ABC, 所以DO⊥平面ABC. 因此建立如图所示的空间直角坐标系，0(0,0,0，AV5,0,0,B(01,0,C(0,-1,0,D(0,0,√6. CB=(0,2,0),设E(a,b,c,则DE=a,b,c-6), A 由DE=CB,得E(0,2元，N6), CE=(0,21+1,V6),AB=（-V51,0,AD=(-V5,06) 设平面ABD的法向量为i=x少z,则 AB.i=-3x+y=0 AD.i=-V3x+√6z=0 ，令z=1得x=2,y=6,即方=2,6,1 设CE与平面ABD所成角为O, c亚 则sin0 2W62+1 CE3V22+1)2+6 (2+1)2 设y= 22+1+6则4-2+4-2列A+7y-1=0, > 7 由△=(4y-2°-4(4y-(7y-120,得0≤y≤24所以m=24' 地时是因tm2层 例7.(25-26高三上·湖南长沙月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， 其中BCI‖AD,AB⊥AD,PA=AD=2,AB=BC=1. 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 A D C (1)证明：平面PBC⊥平面PAB. (2)若点P,B,C,D在同一球面上，设该球面的球心为O, (i)求球O的表面积； (i)求直线PC与平面POD所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 ②①1：im君 【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,BCc平面ABCD, 所以PA⊥BC, 又因为BC∥AD,AD⊥AB, 所以BC⊥AB, 又AB∩PA=A,AB,PAc平面PAB, 所以BC⊥平面PAB, 又因为BCc平面PBC, 所以平面PBC⊥平面PAB (2)由(1)可得PA,AB,AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示. A Dy少 B 则A0,0,0),B(1,0,0),C1,1,0),D(0,2,0),P0,0,2). 若P,B,C,D在同一个球面上，则OP=OB=OC=OD,设球心0的坐标为x,yo,2), d 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 x后+听+(。-2)2=(x。-1刂2+听+z名 有(x-1)2+6+z6=(-1)2+(。-)2+z6, (-1)2+(-12+z6=x+(-22+z8 1 1 解得x= 2%=202’ 所*轻=m日G可四 即球的表面积S=4πR2=11π @由c=l-2,历=02-2.o=（号2》 设平面POD的一个法向量为i=(x,,), 025+223=0→=-2y, i.P0=0 1 .13 则 → .P而=0 2y-2z1=0 3=y 取y=1,则31=1，x1=-2,所以元=(-2,1,1， 设直线PC与平面POD所成角为O, PC.n 则sin0=cosPC, 3 1 PC闭V6xV62' 所以直线PC与平面P0D所成角的大小为君 变式1.(25-26高二上广东惠州月考)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,LBAC=90°，D,E,F分别是棱 AB,BC,CP的中点，AB=AC=2，PA=1,则直线PE与平面DEF所成角的正弦值为() D B A. 3v10 B.V5 C.15 D.0 10 5 15 10 【答案】C 【详解】因为PA⊥平面ABC,，AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC 又因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC, 故以A点为原点，分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图： 9 空间向量与立体几何：线面角问题、二面角问题、空间距离问题专项训练 D B 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P0,0,1), 又因为D,E,F分别是棱4B,BC,CP的中点，所以D1,0,0,E1,0),F0,1l, 设平面DEF的法向量为n=(化y,2,DE=(0,10,EF=（-,0 iDE=0 y=0 EF=0 得 -x+2=0’令z=2,则x=lJ=0,即n=0,02 1 2 因为PE=(L,L,-),所以直线PE与平面DEF所成角的正弦值为 cos,PE= 1×1+0×1+2×(-1) 15 P+0+22.VP+1P+←1)25315 故选：C 变式2.(25-26高二上·广东惠州期中)正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2，E为CD的中点，则AD,与平面AEC所 成角的正弦值为() D B A --- A.3 B.3 C.6 D.2V6 3 2 3 3 【答案】A 【详解】因为在正方体中，故以DA,DC,DD所以直线分别为，y,z轴，建立空间直角坐标系，如图： 则A2,0,0),D0,0,2),E(0,L,0),C0,2,2,则AD1=(-2,0,2), 10