2.3.1 圆的标准方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．3　圆及其方程 2．3．1　圆的标准方程 知识点一　圆的标准方程 1．[多选]关于圆C：(x－1)2＋y2＝2，下列说法正确的是(　　) A．圆心为(－1，0) B．圆心为(1，0) C．半径为2 D．半径为 答案　BD 解析　因为圆C：(x－1)2＋y2＝2，所以圆C的圆心为(1，0)，半径为．故选BD． 2．方程(x－2)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个点 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 答案　D 解析　(x－2)＝0可化为x－2＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆． 3．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 答案　A 解析　由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝．故选A． 知识点二　点与圆的位置关系 4．[多选]若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．5 答案　BC 解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5．故选BC． 5．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________． 答案　(－1，1) 解析　∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1． 知识点三　求圆的标准方程 6．已知圆M经过点(0，2)，(0，4)，且圆心M在直线2x－y－1＝0上，则圆M的标准方程为________． 答案　(x－2)2＋(y－3)2＝5 解析　由圆M经过点(0，2)和(0，4)，可知圆心M在直线y＝3上，又圆心M在直线2x－y－1＝0上，联立得所以M的坐标为(2，3)，半径r＝＝，所以圆M的标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝5． 7．已知圆P过点A(1，0)，B(4，0)． (1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程； (2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程． 解　(1)设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则解得 故圆P的标准方程为＋＝． (2)由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为＝，故圆心P， 故圆P的半径r＝＝， 故圆P的标准方程为＋(y－2)2＝． 知识点四　圆的标准方程的实际应用 8．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，为确保车辆安全，要求车辆只能在道路中心线右侧行驶，一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ 解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝2．7代入，得y＝＝＜3．即在离隧道中心线2．7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道． 知识点五　与圆有关的最值问题 9．(2023·福建泉州侨光中学校考)已知x，y∈R，且(x－3)2＋(y－4)2＝1，则x2＋y2－26的最大值为________． 答案　10 解析　(x－3)2＋(y－4)2＝1表示圆心为C(3，4)，半径r＝1的圆，x2＋y2可看作(x，y)到原点距离的平方，故x2＋y2－26≤(|OC|＋r)2－26＝(＋1)2－26＝10． 10．圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝5上的点到点P(2，2)的距离的最小值为________，最大值为________；到点Q(－2，2)的距离的最小值为________，最大值为________． 答案　－2　＋2　6－　6＋ 解析　因为圆C的半径r＝，圆心坐标为C(4，2)，|PC|＝＝2<r，所以点P在圆内，故圆上各点到点P的距离的最小值为－2，最大值为＋2；又|QC|＝＝6>r，所以点Q在圆外，故圆上各点到点Q的距离的最小值为6－，最大值为6＋． 11．已知点P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上任意一点，且点A(－1，0)，B(1，0)，试求|PA|2＋|PB|2的最大值和最小值． 解　由题意知圆C的圆心C(3，4)，半径r＝1． 设P(x，y)，坐标原点为O， 则有|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2＋2y2＋2＝2()2＋2＝2[]2＋2＝2|OP|2＋2， |OP|的最大值是|OC|＋r＝5＋1＝6，最小值是|OC|－r＝5－1＝4，所以|PA|2＋|PB|2的最大值是2×62＋2＝74，最小值是2×42＋2＝34． 一、选择题 1．点(sin30°，tan30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 答案　C 解析　∵sin230°＋tan230°＝>，∴点在圆外． 2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 答案　D 解析　因为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心为(－1，2)，半径为3，且(－1，2)关于直线x－y＝0对称的点为(2，－1)，所以所求圆的圆心为(2，－1)，半径为3，即所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9．故选D． 3．一辆卡车宽1．6 m，要经过一个半径为3．6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A．1．4 m B．3．5 m C．3．6 m D．2．0 m 答案　B 解析　如图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝3．62(y≥0)，点A的坐标为(0．8，h)．设M(0．8，t)在半圆上，则t＝≈3．5，∴h≤t≈3．5(m)． 4．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆 答案　A 解析　方程|x－1|＝两边平方得|x－1|2＝[]2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线是一个圆．故选A． 5．[多选](2023·广东深圳罗湖外语学校期末)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π 答案　ABD 解析　根据题意，圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，其圆心为(k，k)，半径为2．对于A，圆心为(k，k)，其圆心在直线y＝x上，故A正确；对于B，圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4，将(3，0)代入圆的方程可得(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝36－40＝－4<0，方程无解，故B正确；对于C，将(2，2)代入圆的方程可得(2－k)2＋(2－k)2＝4，解得k＝2±，故C错误；对于D，由圆的方程可知该圆的半径为2，则圆的面积为4π，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________． 答案　(x－2)2＋y2＝10 解析　设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，则解得所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10． 7．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则 的最大值为________． 答案　＋1 解析　的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加上半径，即＋1． 8．过A(1，0)，B(2，1)两点，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是________． 答案　(x－1)2＋(y－1)2＝1 解析　线段AB的中点为，A，B所在直线的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，化简得y＝－x＋2，与x－y＝0联立，解得圆心坐标为(1，1)，半径r＝＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1． 三、解答题 9．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程． 解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0， 且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3． 又点T(－1，1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋2＝0． (2)由解得点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心， 又半径r＝|AM|＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8． 10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 解　(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又a>0，可得a＝． (2)由两点间距离公式可得 |PN|＝＝， |QN|＝＝3． 因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点， 所以P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外， 又3<， 所以3<a<，即a的取值范围是(3，)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$