第25章一元二次方程——解法专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

初三数学专题：一元二次方程解法专项训练 适用：人教版九年级上册 | 学生卷 一、知识要点梳理 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。其中 a、b、c 分别为二次项、一次项系数和常数项。 判别式与根的个数：令 Δ=b²−4ac。当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ=0 时，有两个相等的实数根；当 Δ<0 时，无实数根。 求根公式：（当 Δ≥0 时适用）。 四种解法 1．直接开平方法：适合形如 (mx+n)²=p（p≥0）的方程。开方得 mx+n=±√p，再求解。 2．因式分解法：将方程化为右边等于 0、左边分解成两个一次式乘积的形式：(x−x₁)(x−x₂)=0，则 x=x₁ 或 x=x₂。 3．配方法：二次项系数化为 1，把常数项移到右边，两边同加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方，再开平方求解。 4．公式法：把方程化为一般式，求出 Δ，代入求根公式求解（万能方法）。 方法选择优先级（简便优先） 因式分解法 ＞ 直接开平方法 ＞ 配方法 ＞ 公式法。 二、基础练习（A组） 1．x²=25 2．(x−3)²=16 3．2x²−8=0 4．x²−6x=0 5．x²−5x+6=0 6．x²+2x−8=0 7．x²−4x+4=0 8．3x²=2x 三、中档练习（B组） 9．x²−4x−5=0（用配方法） 10．2x²−5x+2=0（用公式法） 11．(2x−1)²=(x+2)² 12．x(x−2)=3 13．2x²+3x−2=0 14．3x²−6x+1=0 15．(x+1)(x−3)=12 四、拔高练习（C组） 16．2(x−3)²=x²−9 17．3x(x−1)=2−2x 18．x²−x+2=0 19．(x−2)²−5(x−2)+6=0（换元法） 20．2x²−7x+3=0 五、易错专项（D组） 21．x²=x 22．(x−1)²=4x 23．x²−2x−2=0 24．4x²+1=4x 25．(2x+3)²=2(2x+3) 参考答案与简要解题过程 教师用 A组 1．x²=25，直接开平方，x=±5。所以 x₁=5，x₂=−5。 2．(x−3)²=16，x−3=±4，得 x=7 或 x=−1。所以 x₁=7，x₂=−1。 3．2x²−8=0，x²=4，x=±2。所以 x₁=2，x₂=−2。 4．x²−6x=0，x(x−6)=0，得 x=0 或 x=6。所以 x₁=0，x₂=6。 5．x²−5x+6=0，(x−2)(x−3)=0，得 x=2 或 x=3。所以 x₁=2，x₂=3。 6．x²+2x−8=0，(x+4)(x−2)=0，得 x=−4 或 x=2。所以 x₁=−4，x₂=2。 7．x²−4x+4=0，(x−2)²=0，得 x=2。所以 x₁=x₂=2。 8．3x²=2x，移项 3x²−2x=0，x(3x−2)=0，得 x=0 或 x=。所以 x₁=0，x₂=。 B组 9．配方法：x²−4x−5=0，x²−4x=5，两边加 4：(x−2)²=9，x−2=±3，x=5 或 x=−1。所以 x₁=5，x₂=−1。 10．公式法：a=2，b=−5，c=2，Δ=25−16=9。x=，x=2 或 x=。所以 x₁=2，x₂=。 11．移项用平方差：(2x−1)²−(x+2)²=0，[(2x−1)+(x+2)]·[(2x−1)−(x+2)]=0，即 (3x+1)(x−3)=0，x= 或 x=3。所以 x₁=，x₂=3。 12．展开：x²−2x=3，x²−2x−3=0，(x−3)(x+1)=0，x=3 或 x=−1。所以 x₁=3，x₂=−1。 13．2x²+3x−2=0，(2x−1)(x+2)=0，x= 或 x=−2。所以 x₁=，x₂=−2。 14．a=3，b=−6，c=1，Δ=36−12=24。x==。所以 x₁=，x₂=。 15．展开：x²−2x−3=12，x²−2x−15=0，(x−5)(x+3)=0，x=5 或 x=−3。所以 x₁=5，x₂=−3。 C组 16．移项：2(x−3)²−(x²−9)=0，2(x−3)²−(x−3)(x+3)=0，(x−3)[2(x−3)−(x+3)]=0，(x−3)(x−9)=0，x=3 或 x=9。所以 x₁=3，x₂=9。 17．移项：3x(x−1)+2x−2=0，3x(x−1)+2(x−1)=0，(x−1)(3x+2)=0，x=1 或 x=−。所以 x₁=1，x₂=−。 18．x²−x+2=0，即 (x−)²=0，x=（重根）。所以 x₁=x₂=。 19．令 t=x−2，则 t²−5t+6=0，(t−2)(t−3)=0，t=2 或 t=3。x−2=2 得 x=4；x−2=3 得 x=5。所以 x₁=4，x₂=5。 20．2x²−7x+3=0，(2x−1)(x−3)=0，x= 或 x=3。所以 x₁=，x₂=3。 D组（易错题） 21．x²=x，移项 x²−x=0，x(x−1)=0，x=0 或 x=1。所以 x₁=0，x₂=1。注意：不能直接两边同除以 x，否则会丢失根 x=0。 22．展开 (x−1)²=4x，x²−2x+1=4x，x²−6x+1=0，Δ=36−4=32。x==3±。所以 x₁=3+，x₂=3−。 23．两边同乘 2：x²−4x−4=0，Δ=16+16=32。x==2±。所以 x₁=2+，x₂=2−。 24．4x²−4x+1=0，(2x−1)²=0，x=（重根）。所以 x₁=x₂=。 25．移项：(2x+3)²−2(2x+3)=0，(2x+3)(2x+3−2)=0，(2x+3)(2x+1)=0，x=− 或 x=−。所以 x₁=−，x₂=−。 附：方法选择小口诀 能开平方直接开，能因式分解优先拆；配方法要凑完全平方，复杂方程公式来；切记不要随便除，丢失根是大危害！ 思考题（课堂讨论用，无答案） 1．k 取何值时，方程 x²−2x+k−1=0 有两个实数根？ 2．已知方程 x²−3x+m=0 的一个根是 1，求 m 的值和另一个根。 学科网（北京）股份有限公司 $