第25章 专题一 一元二次方程的解法（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 系统构建一元二次方程解法体系，从一般方法到特殊技巧，分层递进培养运算能力与转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一般解法|6题+多法解题|直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法步骤规范|从基础方程形式到解法选择，体现运算能力培养| |十字相乘法|4题+步骤示例|十字相乘因式分解技巧|延伸因式分解法，强化代数推理意识| |换元法|4题（选择+填空+解答）|设元转化、整体代换思想|针对复杂方程，培养抽象能力与模型意识|

专题一 一元二次方程的解法 类型一 一元二次方程的一般解法 1. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）．（配方法） （6）．（公式法） 2. 分别用公式法、配方法和因式分解法解方程． 类型二 运用十字相乘法分解因式解一元二次方程 3. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法，有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有十字相乘法． 十字相乘法解方程步骤如下． 【例】 解：原式． 试用上述方法和原理解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 类型三 一元二次方程的特殊解法 除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法． 方法1 换元法 4. 若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是_______________． 6. 阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 问题：解方程（提示：可以用换元法解方程）， 解：设，则有， 原方程可化为：， 续解： 7. 若实数a，b满足，，且，求的值． 专题一 一元二次方程的解法 类型一 一元二次方程的一般解法 【1题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）方程移项后，左边利用提公因式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解； （3）方程移项后，左边利用平方差公式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解； （4）两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （5）将常数项移动右边，二次项系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （6）找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【小问1详解】 解：， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 解得：，． 【小问3详解】 解：， ， ，， 解得：，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 【小问5详解】 解：， ， ， ， ， , 解得：，． 【小问6详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：，． 【2题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】分别用公式法、配方法、因式分解法，将方程整理为对应形式后求解． 【详解】解：公式法： 整理得  ∵， ∴ ∴， 解得． 配方法： 整理得 ∵配方得，即， ∴， 解得 ． 因式分解法： 原方程化为 ∵移项得 ∴分解得 解得． 类型二 运用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【3题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了用十字相乘法解一元二次方程，用十字相乘法把每个一元二次方程左边因式分解，再进行求解． 【小问1详解】 解：． ， 则 或 解得，． 【小问2详解】 解：．  ， 则或， 解得，． 【小问3详解】 解：． ， 则或， 解得， ． 【小问4详解】 解：． 则或， 解得，． 类型三 一元二次方程的特殊解法 除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法． 方法1 换元法 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设a+b=t，则把原方程中的a+b代换成t，即可得到关于t的方程． 【详解】设a+b=t，则由原方程，得 t(t+2)−8=0,即(t-2)(t+4)=0， 解得，t=2或t=-4. 即a+b的值为2或-4. 故选:A. 【点睛】考查用换元法解一元二次方程，设 a+b=t，把原方程中的a+b代换成t，得到关于t的方程是解题的关键. 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题利用换元法求解，先根据完全平方公式将变形为含的代数式，再代入原方程整理得到一元二次方程的一般形式. 【详解】 由完全平方公式得 即 将，代入原方程得 整理得. 【6题答案】 【答案】，． 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】续解：， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ，， ， 经检验都是方程的解． 【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程根与系数关系，解题的关键是理解题意，判断出，是一元二次方程的两个根，可得结论． 【详解】解：， ， 是方程的根， ， 是方程的根， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $