2026-2027学年人教版数学九年级上册周测1（25.1--25.2）

**基本信息** 人教版九年级数学周测试卷聚焦一元二次方程核心内容，通过根与系数关系、配方法等基础题与“倍根方程”“和美数”等创新题，考查运算能力、推理意识与应用意识，适配周测分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|判别式应用、根与系数关系|结合“倍根方程”新定义，考查推理能力| |填空题|4|方程解、韦达定理|通过参数方程关联，强化抽象能力| |解答题|6|配方法、根的判别式、新定义探究|设计“和美数”阅读题，融合模型意识与创新思维|

人教版九年级数学上册周测1（25.1--25.2） 一、单选题 1．关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（　　） A．， B．， C． D． 2．若一元二次方程的两根分别为，则的值是（ ）． A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（　　） A． B． C． D． 4．关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 6．对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程有两个不相等的实数根； ②若，则方程一定有一个根为； ③若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，，则分解因式得； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 7．设a，b是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 8． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （　　） A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－） 二、填空题 9．已知是方程的一个解，则的值是　 　． 10．已知关于x的方程的一个根为2，则另一个根是　 　． 11．已知 ， 且 ， 则 　 　. 12．已知关于的一元二次方程有一个根为． （1）用含的式子表示，则　 　． （2）若是一元二次方程的另一个根，则　 　． 三、解答题 13．解方程： （1）； （2）． 14．用配方法解方程. （1） （2） 15．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 16．已知是方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 17．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：，，求的值； （3）已知：，，（，），求的值． 18．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一. 我们定义：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“和美数”.例如，10 是“和美数”。理由：因为 。再如，(x，y是整数)，所以M也是“和美数”。 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数”：　 　，判断40是否为“和美数”：　 　； （2）若二次三项式 (x是整数)是“和美数”，可配方成(m，n为常数)，则mn的值为　 　。 （3）探究问题： 已知“和美数’ (x，y是整数)的值为0，则x+y的值为　 　； （4）已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值。 （5）拓展结论：已知实数x，y满足，求x+y的最小值。 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】D 【解析】【解答】解：， ∴的方程无实数根． 故答案为：D． 【分析】根的判别式用于判断一元二次方程的实数根个数，公式为Δ=b2-4ac，其中a、b、c是方程ax2+bx+c=0的系数，且a≠0。 根据判别式的值，可以判断方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。本题据此列式计算即可得出答案。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和． ∴， 化简得； 又． ∴， ∴． 故答案为：D. 【分析】先设这个一元二次方程的两个根分别为和，再结合韦达定理列出关系式，就可以推导出最终的结论. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：①∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，正确； ②当时，，故若，则方程一定有一个根为，正确； ③原方程无实根，∴．若，则，矛盾，∴．新方程的判别式，∴有两个不相等的实数根，正确； ④根为1和，因式分解应为，而非，错误； ∴①②③正确， 故选A． 【分析】结论①可通过一元二次方程根的判别式进行判断；结论②可将给定的根代入原方程进行验证；结论③可先根据原方程无实数根得到原判别式的范围，再推导新方程的判别式，进而判断新方程根的情况；结论④可根据一元二次方程的根，直接写出对应因式分解的形式. 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】3 【解析】【解答】解：是方程的一个解， ， ． 故答案为：． 【分析】本题主要对一元二次方程的解与整体代入法进行考查：因为a是原方程的一个解，所以可把代入一元二次方程得到，从而得到． 10．【答案】 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴设m，为一元二次方程两个不相等的实数根， ∴， ∴. 故答案为：. 【分析】本题先将两边除以n2得到，进而确定m，为一元二次方程两个不相等的实数根，再由韦达定理确定两根和与两根积，代入求值. 12．【答案】； 13．【答案】（1）， （2）， 14．【答案】（1）解：x2－2x－15＝0，x2－2x＝15， x2－2x＋1＝16，（x－1）2＝16 x－1＝4或x－1＝－4， ∴x1＝5，x2＝－3 （2）解：2x2－4x＝3，x2－2x＝，x2－2x＋1＝，（x－1）2＝，x－1＝±，∴x1＝1＋，x2＝1－ 【解析】【分析】（1）先移项，两边同时加上1，然后左边写为平方式，再两边开方降次解方程即可； （2）两边同时除以2，同时加上1，然后左边写为平方式，再两边开方降次解方程即可. 15．【答案】，． 16．【答案】（1）0 （2） 17．【答案】（1）解：∵， ∴ （2）解： （3）解：∵，， ∴． 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）先分别求出的值，再将式子变形，整体代值计算即可； （3）将变形为，再整体代值计算即可． （1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∴． 18．【答案】（1）4（答案不唯一）；是 （2）2 （3）-1 （4）解：S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k＝（x＋2）2＋（2y－3）2＋k－13， 由题意得k－13＝0，∴k＝13． （5）解：∵－x2＋3x＋y－5＝0， ∴x＋y＝x2－2x＋5＝（x－1）2＋4≥4， ∴当x＝1时，x＋y最小，最小值为4． 【解析】【解答】(1)4是“和美数”， 理由：4＝22＋02（答案不唯一）； 40是“和美数”， 理由：40＝62＋22，满足两个整数平方和形式，40是和美数． 故答案为：4（答案不唯一）；是． (2)∵x2－4x＋5＝x2－4x＋4＋1＝（x－2）2＋1， ∴m＝2，n＝1，∴mn＝2． 故答案为：2． (3)∵x2＋y2－2x＋4y＋5＝（x－1）2＋（y＋2）2＝0， ∴x＝1，y＝－2，∴x＋y＝－1． 故答案为：-1． 【分析】(1)先根据和美数定义a2+b2（a，b为整数），再代入a=2，b=0计算22＋02=4，最后对比数值2小于10，确定答案；先根据和美数定义，再尝试代入a=6，b=2计算62+22=40，最后判定40是和美数； (2)先根据配方法整理代数式x2-4x+5=(x-2)2+1，再对照形式(x-m)2+n确定m=2，n=1，最后将数值相乘算出mn=2； (3)先根据分组配方法拆分原式凑完全平方得到x2＋y2－2x＋4y＋5＝（x－1）2＋（y＋2）2＝0，再根据平方非负性质列出x-1=0，y+2=0，最后代入数值计算x+y=-1； (4)先根据配方法对x，y分别配方变形得到S＝（x＋2）2＋（2y－3）2＋k－13，再根据和美数定义确定多余常数项k-13等于0，最后解方程求出k=13； (5)先根据已知等式用x表示y，再代入x+y整理成二次代数式，最后配方法得到x＋y＝（x－1）2＋4结合平方非负求出最小值为4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $