5.2 函数的表示方法 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

高一数学●2024苏教版必修一 第五章 函数概念与性质 本节学习理解函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，会根据条件恰当选择表示函数。掌握分段函数概念，能求分段函数的函数值，提升数学抽象与直观想象素养 5.2 函数的表示方法 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括94张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 思维导图 3 理知识 新知课 知识解读 知识点1 函数的表示方法 表示方法 含义 列表法 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 解析法 用等式（这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式）来表 示两个变量之间函数关系的方法称为解析法. 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法. . . 4 辨析比较 函数的三种常用表示方法的优、缺点 5 发散探讨 所有的函数都能使用函数的三种表示方法表示吗？ 并不是所有的函数都能用解析法表示，只有两个变量之间存在某种函数关系时 才能用解析法表示.图象法也不适用于所有函数，如<m></m>列表法虽在 理论上适用于所有函数，但对于自变量取值有无数个的情况，列表法只能表示函数 的一个概况或片段. 6 图5.2-1 如何判断一个图形是否为函数的图象？ 根据函数的概念，在定义域内，对任意一个<m></m>的值， 都有唯一的<m></m>值与之对应，因此，如果图形与任一垂直 于<m></m>轴的直线至多有一个交点，则此图形是一个函数的 图象；如果存在垂直于<m></m>轴的直线与图形有两个或两个 以上的交点，则此图形不是函数的图象.如图5.2-1（1）是函数的图象，图5.2-1（2） 不是函数的图象. （总结：函数图象的形状可以是一些点、一些线段、一段曲线等， 但并不是任何一个图形都是函数图象） 7 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P113 例1]某种商品每件0.5元，买件，需花费 元，分别用列表法、 解析法、图象法将表示成 的函数. 【解析】①列表法： 1 2 3 4 0.5 1 1.5 2 ②解析法：， .（函数的解析式应标明定义域） 图5.2-2 ③图象法：如图5.2-2所示. （本题中函数的定义域是不连续的,作图时应注意函数图象是 一些孤立的点，而不是直线） . . 8 图5.2-3 例1-2 [教材改编P115 练习T4]在图5.2-3中的三个图象中， 是函数图象的是( ) B A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2） D.（3） 【解析】根据函数的定义，一个对应唯一的,这样的图象才是函数图象， （2） （3）是函数图象． 9 知识点2 分段函数 1 分段函数的概念 在定义域内不同的部分上，即对于自变量 的不同取值范围，有不同的解析式. 像这样的函数，通常叫作分段函数（分段函数是一个函数，而不是几个函数）. 因此，分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函 数的解析式.如 的解析式就是分两段表示的. . . 10 知识剖析 1.处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值在哪个区间上，从而选 取对应的解析式. 2.分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须 指明各段函数自变量的取值范围. 3.分段函数的定义域是各部分自变量取值范围的并集，且分段函数的各段自变 量的取值范围是不可以相交的（即各段自变量取值范围的交集为空集），这是由函 数定义中的唯一性决定的. 4.分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. . . . . 11 2 分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作分段函数的图象时，应根据 每段的定义区间和表达式，在同一坐标系中作出各段的图象，组合到一起就得到分 段函数的图象.作图时要注意每段曲线的端点是空心点还是实心点. 特别提醒 （1）根据函数的概念，可知在函数图象中，不能有两个横坐标相同的点， 并且一定要考虑区间端点是否包含在内，若包含端点，则用实心点表示；若不包含 端点，则用空心点表示. （2）在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图象， 再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可，即“分段作图”. . . 12 学思用·典例详解 例2-3 画出下列函数的图象： （1）（表示不大于 的最大整数）; 图5.2-4 【解析】 （该函数也常称为取整函数） 的图象如图5.2-4 所示. . . 13 （2） 【解析】画出一次函数的图象，取 上的一段； 画出二次函数的图象，取 上的一段; 图5.2-5 画出一次函数的图象，取 上的一段.如图5.2-5所示. （画图时，要严格按照定义域分段） 14 释疑惑 重难拓展 知识点3 函数图象的变换 1 平移变换 （其中, ）简记为“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”. . . . . 15 2 对称变换 3 翻折变换 16 学思用·典例详解 例3-4 根据图象变换画出函数 的大致图象. 图5.2-6 【解析】因为，所以可先作出函数 的图 象，把所得图象向左平移1个单位长度得到 的图象，再把 所得图象向上平移2个单位长度就得到了函数 的图象，如 图5.2-6所示. 17 方法掌握 解题课 能力构建 题型1 求函数的解析式 1 待定系数法求函数解析式 例5（1）已知反比例函数满足,求 的解析式； 【解析】设反比例函数的解析式为，则,解得 . 故 . 18 （2）已知二次函数满足，,求 的解析式. 【解析】 设二次函数的解析式为 ， 由得解得 故 . 19 因为 , 所以可设 . 又,所以,解得 . 故 , 整理得 . 思路点拨 对于第（1）,（2）小题，函数分别为反比例函数、二次函数，可设出函 数的解析式后列方程（组）求出参数. 20 知识回顾 二次函数解析式的三种形式及适用情况 形式 解析式 适用情况 一般式 . 已知抛物线上三点的坐标 时，常设一般式. 顶点式 为顶点 坐标）. 已知抛物线的顶点坐标或 对称轴时，常设顶点式. 交点式 是 方程 的两个根）. 已知抛物线与 轴的交点情 况时，常设交点式. 解题时需根据题目条件灵活选择解析式形式. 21 待定系数法求函数解析式 已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数. 待定系数法求函数解析式的步骤如下. （1）设出所求函数的解析式.如一次函数的解析式设为 ,反比例 函数的解析式设为 ,二次函数的解析式设为 . （2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组. （3）解方程或方程组，得到待定系数的值. （4）将所求待定系数的值代回所设解析式. 22 2 已知的解析式，求 的解析式 例6（1）已知函数,求 ; 【解析】 （换元法） 令,则 ,于是可得 ,即 . （配凑法） ,所以 ,即 . 23 （2）已知,求 . 【解析】 （换元法） 令（ （换元后注意新元的取值范 围））， 则 ， ， 所以 ， 所以（ （定义域不能丢））. （配凑法） ，所以 . 又，所以 . . . . . 24 思路点拨 已知的解析式，求的解析式有两种思路：一是将 视为 一个整体，应用数学的整体思想，换元求解；二是将函数解析式的右端配凑成含 的形式. 25 换元法、配凑法求函数解析式 已知，求 的解析式，常用的方法有两种. （1）换元法，即令，用表示出，代入中，得到一个含 的解析式，再 用替换，便得到的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元 的取值范围， 即函数 的定义域. （2）配凑法，即从的解析式中配凑出,用来表示 ,然后将解析式 中的用 代替即可. 26 【学会了吗丨变式题】 1.已知函数，，则 ( ) C A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】令，得 . . 27 3 已知中含有,或,形式的函数，求 的解析式 例7（1）已知函数满足，求函数 的解析式； 【解析】将已知等式中的替换成 ， 得 ， 则由消去 , 得 .（合理赋值，联立方程消参，求得最终结果） 28 （2）已知,其中,求 . 【解析】将已知等式中的替换成 , 得 , 则由 消去，得 . 故的解析式为, . 29 观察所给式子的结构特征，自变量互为倒数关系或互为相反数关系，利 用这两种关系可列出与原式不同的方程，通过构建方程组的方法来求解. 如（1）中要求函数的解析式，则必须消去 ，因此需要再寻找一个方程 （将换成），构成方程组，消去得.类似于（1）的思路，利用与 的关 系，再列一个方程，通过构建方程组即可求解（2）. 30 消元法（或解方程组法）求函数解析式 在已知式子中，含有关于两个不同参数的函数，而这两个参数有着某种关系,这时可 依据两个参数的关系建立一个新的关于这两个参数的函数的式子，由两个式子建立 方程组，通过解方程组消去其中一个，得到所要求的函数解析式，这种方法叫作消 元法（或解方程组法）. 即已知与满足的关系式，要求的解析式时，可用 代替两边的所 有,得到一个新的关于与 的关系式，并与已知关系式联立，得到关于 及的方程组，解之即可得到 的解析式. 31 4 求抽象函数的解析式 例8 设是定义在上的函数，且满足,并且对任意的实数, 都有 ，则 ___________. 思路一 思路二 32 【解析】 令，则 ，所以 . 令，得，即 ， 将用替换得 . 33 赋值法求函数解析式 当所给函数满足的关系式中含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入， 或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式.具体取什么特殊值，根 据题目特征而定.需要说明的是依据这样的关系式不一定都可以求出函数解析式. 34 【学会了吗丨变式题】 2.设定义在上的函数满足，且对任意的, ，都有 ，则 的定义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】令，则 ， 令，则 ①， 令，则 ， 即 ②， 联立①②，解得 ， 故的定义域为 ． 35 5 已知函数图象求函数解析式 例9 已知函数 的图象由图5.2-7中的两条射线和抛物线的一部分组成，求 . 图5.2-7 36 【解析】根据图象，设左侧的射线对应的函数的解析式为 （【关键点】解此类题的关键在于根据具体的图象设出相应的函数解析式）. 点, 在射线上, 解得 左侧射线对应的函数的解析式为 . 同理可得，当时，函数的解析式为 . 设抛物线对应的二次函数的解析式为 . 点在抛物线上，,解得 . 当时，函数的解析式为 . 综上， . . 37 名师点评 由图象求函数的解析式时，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用 待定系数法求解.对于分段函数，需观察各段曲线的端点是空心点还是实心点，正确 写出各段解析式对应的自变量的范围. 38 已知函数图象求函数解析式的方法 已知函数图象求函数的解析式 ，应根据图象，结合已学过的基本初等函数 的图象，设出对应的解析式，用待定系数法求解.自变量 在不同的区间上变化，函 数 的解析式也不同，应分类求解.求分段函数的解析式时要注意各区间端点 的值能否取到，做到不重不漏. . . 39 题型2 分段函数 1 分段函数求值 例10 [教材改编P115 T7] （1）已知函数则 ___. 3 【解析】因为，所以,又 ,所以 ,即 . （含有多层“ ”的问题，要按照由内到外的顺序，逐层处理） 40 （2）已知函数若,则 ____. 【解析】若,由,得 ,舍去； （对于分段求参问题，一定要检验所求的参数值是否在对应的范围内） 若，由,得 . 综上可知, . 41 2 分段函数与不等式 例11 函数，若，则 的取值范围是__________. 【解析】当时，，此时不等式的解集是 ； （分类标准是分段函数的分段区间） 当时， ，此时无解； 当时， ，此时无解. 故的取值范围是 . 42 分段函数问题的常见解法 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然 后代入该区间对应的解析式求值.当出现 的形式时，应从内到外依次求值. 2.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段 函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，再代入检验. 3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值 在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上自变量的取值范围，再 求它们的并集即可. 4.数形结合，利用图象简化计算. 43 【学会了吗丨变式题】 3.已知函数则不等式 的解集为( ) A A. B. C. D. 【解析】当时，，解得 ； 当时，，解得 ． 综上可得，不等式的解集为 ． 44 题型3 函数图象的应用 1 图象的识别 例12 函数 的大致图象是( ) C A. B. C. D. 思路一 思路二 45 【解析】 易得函数的定义域为 ，排除A，B； 当时， ,选项D中的图象不符合，排除D. 函数的定义域为，由题易知 易知选 项C对应的图象正确. 46 解决函数图象识别问题的方法 解决图象识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图象所在的范围； 根据特殊点确定图象的位置，一般为图象与坐标轴的交点、图象的最高（低）点. . . 47 2 利用函数图象求值域 例13 设,则函数 的值域为__________. 思路点拨 去掉绝对值符号，把它写成分段函数的形式，画出图象，观察可得值域. 【解析】当时， ; （【分类依据】令,，得, ，就以0,1为分类标准点） 当时， ; 当时， . 故 48 图5.2-8 根据函数解析式作出函数图象，如图5.2-8所示. 由图象可以看出，函数的值域为 . 名师点评 根据函数图象求值域，即准确作出函数图象，由图象的最高点和最低点确 定函数的值域. 49 【学会了吗丨变式题】 4.若,函数，则函数 的最大值为( ) B A.2 B.1 C. D.无最大值 【解析】 （直接法）当，即时， ，此时 ． 当，即或时，，此时 ． 综上可知 的最大值为1． 50 图D 5.2-1 （数形结合法）在同一平面直角坐标系中分别画出函数 和函数的图象，由题意知函数 的图象为图D 5.2-1中实线部分． 由图易知 的最大值为1． 51 3 数形结合思想的应用 例14 已知函数，判断关于的方程 的解的个数. 思路点拨 先去掉绝对值符号，把函数写成分段函数的形式，画出图象，然后把方 程解的个数问题转化为函数的图象与直线 的交点的个数问题. 图5.2-9 【解析】由题意得作出函数 的 图象及直线 ，如图5.2-9所示. 关于的方程的解的个数就是直线 与函数 的图象的交点的个数.（将方程解的个数问题 转化为两函数图象的交点个数问题） 由图可知, . . . . 52 当 时，有一个交点； 当 时，有两个交点; 当 时，有三个交点; 当 时，有两个交点； 当 时，有一个交点. 综上，当或 时，方程有一个解; 当或 时，方程有两个解; 当 时，方程有三个解. 数形结合思想是解决方程 实数解个数问题的有效方法.解题时可构造两个 函数及 ，并作其图象，则原方程的实数解即两个函数图象交点的 横坐标，因此方程 的解的个数等于两图象的交点的个数.同样 的解集即函数的图象在 图象上方的点的横坐标组成的 集合. 54 4 图象信息题 母题 致经典·母题探究 例15 (2026·河南省郑州市月考)向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与 水深 的函数关系的图象如图5.2-10所示，那么水瓶的形状是( ) B 图5.2-10 A. B. C. D. 【解析】观察图象，根据图象的特点，发现水深时，注水量 （理解函数 图象，发现注水量与水深的关系），即水深为一半时，实际注水量大于水瓶容积的 一半，中,C，D中 ，故排除A，C，D.（通过特殊位置来分析排除） . . 55 子题 若改变函数关系的图象，则我们能得到不同的形式，如 子题1 向高为的水瓶中注水，注满为止,如果注水量与水深 的函数关系的图象如 图5.2-11所示，那么水瓶的形状是( ) A 图5.2-11 A. B. C. D. 【解析】由所给函数关系的图象可知，当水深为一半时，实际注水量小于水瓶容积 的一半，只有A选项符合此要求． 56 子题2 向高为但形状不同的水瓶中注水，注满为止．如果注水量与水深 的函数 关系的图象如图5.2-12所示，那么水瓶的形状是( ) D 图5.2-12 A. B. C. D. 【解析】由题图可得，注水量与水深之间成正比例关系，因此随着水的深度变高， 注水量也是均匀升高，故水瓶的形状是圆柱. 57 解决图象信息题的有效方法——定性分析法 所谓定性分析法，就是对问题所具有的本质属性进行定性描述，也就是对问题的发 展趋势进行大概的分析，根据分析的结果得出相关的结论.用定性分析法来分析和解 决问题的优点在于它回避了用定量计算法时烦琐的计算，我们应学会用定性分析法 来分析和解决问题. 58 高考特训 考试课 素养聚焦 考情揭秘 函数贯穿整个高中数学的全部内容，函数的概念及其表示法是研究函数的基础，因 而也是高考的必考内容.一般地，高考较少直接考查这部分知识，而是与后续知识综 合考查.若直接考查，则主要以选择题或填空题的形式呈现，考查分段函数的求值， 及函数图象的应用. 核心素养：数学运算（求分段函数的函数值），直观想象（分段函数的图象）. 59 考向 分段函数 例16 (2024·上海春季)已知函数,若 满足 ，则 的取值范围为________. 【解析】由已知得 当时，，解得，因此 ； 当时，，不等式恒成立，因此 . 综上，的取值范围为 . 60 例17 (2022·浙江)已知函数则___;若当 时，，则 的最大值是________. 61 【解析】由题意知 ，则 . 图5.2-13 作出函数 的图象，如图5.2-13所示，结合图象， 令，解得；令 ，解得 ，又，所以 . 所以 . 62 高考新题型专练 1.［多选题］已知函数用列表法表示如下表，若，则 可取 ( ) 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 BCD A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】结合表格可知，当时，，则 ; 当时，，；当时， ， ，此时满足题意；当时， ， ，此时满足题意；当时， ， ，此时满足题意．故选 ．（看似杂乱无规律，实则 一一验证即可） 63 2.［多选题］(2026·湖北省武汉市武钢三中月考)已知函数 则 下列关于函数 的结论正确的是( ) BC A.的值域为 B.若，则的值是 C. D.的解集为 64 【解析】当时，，；当时， ， ，故的值域为 ，A错误. 当时，令，解得；当 时，令 ，无解.故 ,B正确. ，C正确. 当时，令，解得；当 时，令 ，解得.故的解集为 ，D错误.故选 ． 练习训练 习题课 质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 图5.2-1 1.(2026·北京理工大学附属中学期中)已知函数 的对应关系如 下表，函数的图象是图5.2-1所示的曲线,其中 , ，，则 的值为( ) B 1 2 3 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 66 【解析】由函数图象可知，由表格可知，故 . 2.(2026·湖南省娄底市月考)设函数则 的值为( ) A A. B. C. D.18 【解析】因为,所以,所以 . 68 3.给出函数，如下表，则 的值域为( ) 1 2 3 4 4 3 2 1 1 1 3 3 A A. B. C. D.以上情况都有可能 【解析】当或时，， ； 当或时， , ．故的值域为 ． 69 4.[多选题]已知函数 则下列图象正确的是( ) ACD A. 的图像 B. 的图像 C. 的图像 D. 的图像 70 【解析】 的图象如图D 5.2-1所示，D选项符合题意； 的图象可由 的图象向右平移1个单位长度得到，A选项符合题 意；选项不符合题意； 的图象与 的图象关于轴对称，C选项符合题意．故选 ． 图D 5.2-1 71 5.若函数的图象经过点,则函数 的图象必定经过的点的坐 标是________. 【解析】函数的图象是由函数的图象作关于 轴的对称变换, 再向上平移一个单位长度得到的, 把函数的图象上的点,作关于 轴的 对称变换,再向上平移一个单位长度，得到点，则点 必定在函数 的图象上. 72 6.设函数，，对于任意的，不等式 恒成 立，则实数 的取值范围是__________． 【解析】作出函数与 的图象，如图D 5.2-2,观察图象可知， 当且仅当，即时，不等式恒成立，因此 的取值范围是 . 图D 5.2-2 73 7.根据下列条件，求函数 的解析式: （1）已知是一次函数，且满足 ; 【答案】 设 ,则 ,所以 解得 所以 . 由已知可得 , 故 . 由已知可得 , 74 令,则,所以 , 即,故 . （2）已知是二次函数，且满足 . 【答案】设 ,则 . 所以解得所以 . 76 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 8.新定义 符号函数 设，定义符号函数 则( ) D A. B. C. D. 77 【解析】 取特殊值进行判断，不妨令 ，可知选项A，B，C都不正确， 可排除，选D. 所有选项的左边均为对于选项A，右边 ,对 于选项B，右边,对于选项C，右边 ,对于选项D，右边 所以A,B,C不正确，D正确. 78 9.设区间，，函数若 ，且 ，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】， , ， , ． (此时 ,1,把当成一个变量，满足 ) ，， ． 又， ． 79 10.(2026·江西省南康中学期中)设函数的定义域为R，满足 ,且 当时，.若对任意,都有，则 的取值 范围是( ) B A. B. C. D. 80 【解析】 给什么得什么 由时,可以求出函数在 上的值域，再根 据 可以得到函数在其他区间上的解析式及值域. 求什么想什么 要使得函数在上恒有，需要知道 在什么时候 大于等于 . 差什么找什么 利用函数图象了解函数变化的大概情形，找到开始大于等于 的区间，然后根据条件求出 在这个区间上的解析式，进而建立 不等式 进行求解. 81 当时，，则 ； 当时，，则 ； 当时， ，则 ; …. 由此可得 82 图D 5.2-3 作出函数的图象并画出直线 ， 如图D 5.2-3所示． 由图可知当 时，令 ，整理得 ，解得或 ， 将这两个值标注在图中.要使对任意 都有，必有，即实数的取值范围是 ． 83 11.新情境 礼品费用 [多选题] 某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆 典大会上发给各位嘉宾，图5.2-2现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加 工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数 量收取加工费，甲厂的费用（单位：千元），乙厂的费用 （单位：千元）与礼 品数量 （单位：千个）的函数关系图象分别如图5.2-2中甲、乙所示，则( ) ABC A.甲厂的费用与礼品数量之间的函数关系式为 B.当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费为每个1.5元 C.当礼品数量超过2千个时，乙厂的费用与礼品数量 之间的 函数关系式为 D.若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更 节省费用 84 【解析】根据图象，甲厂的费用与礼品数量 满足的函数为一次函数，且对应图象 过，两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为 ， 故A正确；当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的费用与礼品数量 之间满足的 函数关系式为，所以乙厂的加工费为每个1.5元，故B正确；易知当 时，与之间满足的函数为一次函数，且对应图象过点， ，所以函数关 系式为 ，故C正确；由图可知，当定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更 节省费用，故D不正确．故选 ． 85 12.(2026·天津市南开中学期末)已知，函数当 时，不等式的解集是______;若函数的图象与轴恰有2个交点，则 的 取值范围是_______________. 【解析】当时，函数不等式 等价于 或即或 ，所以不等式的解集为 ． 86 图D 5.2-4 易知函数的图象与 轴交点的横坐标为4， 函数的图象与 轴交点的横坐标分 别为1,3，在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，如 图D 5.2-4所示， 要使函数的图象与 轴恰有2个交点，则只能有以下两 种情形：①两个交点的横坐标分别为1,3此时 ；②两 个交点的横坐标分别为1,4此时 .(之所以两个交点 的横坐标不是3和4，是因为取到3，就一定能取到1，此时函数的图象与 轴有3 个交点) 综上， 的取值范围为 . 87 13.二次函数 满足条件： ①当时，的图象关于直线 对称； ② ； ③在 上的最小值为0. （1）求函数 的解析式； 【答案】的图象的对称轴为直线 , ,即 . 又,即 . 由条件③知,且,即 . 由上可求得,, , . 88 （2）若存在，，,恒有，求 的最大值. 【答案】由（1）知 ,图象开口向上． 而的图象是由的图象平移个单位得到，要使 时， ,且 最大， 即的图象在 的图象的下方， 且1，应该是与 的图象的交点横坐标， 即1，是 的两根. 由1是的一个根，得 , 解得或 , 89 把代入原方程得（这与 矛盾）， 把代入原方程得,解得, , . 综上知， 的最大值为9． C 培优练丨能力提升 14.如图5.2-3,动点从边长为1的正方形的顶点出发,顺次经过，， 再回到 ，设表示点所走的路程，表示的长，表示的面积，求 和 ,并作出 的简图. 图5.2-3 91 【答案】当点在上运动,即时， ; 当点在上运动,即时，在 中，易得 ; 当点在上运动,即时，在 中，易得 ; 当点在上运动，即时， . 故 92 当点在线段上，即时， ； 当点在上，即时， ； 当点在上，即时， ； 当点在上，即时， . 故 作出 的简图如图D 5.2-5所示. 图D 5.2-5 $