5.2函数的表示方法（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法）及求解析式方法，通过京沪高铁路程、人口出生率曲线等现实情境导入，结合函数概念、定义域等旧知，搭建从概念到表示法的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以情境培养数学眼光，通过典例辨析（如例1中离散点能否连线）发展数学思维，系统归纳待定系数法等求解析式方法强化数学语言表达。教学流程清晰，助力学生掌握表示法应用，为教师提供实用教学资源。

5.2函数的表示方法 第五章 函数概念与性质 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：函数的三种表示法 教学难点： 会求函数的解析式 了解函数的三种表示法及各自优缺点； 掌握求函数解析式的常见方法； 尝试作图并从图象上获取有用的信息。 课程目标 学科素养 数学抽象：换元法、方程组法求函数解析式； 数据分析：从图象上获取有用的信息； 数学运算：求函数解析式的运算。 新知引入 判断是否为同一函数只需要判断定义域与对应关系是否一致。 函数的有关概念 新知引入 函数的图象有关概念 （1）定义：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)). 当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数 y＝f(x)的图象. （2）集合表示：所有这些点组成的集合(点集)为， 即. （3）本质：函数对应的图形，即几何意义. 函数的图象有关概念 新知引入 情境1：已建成的京沪高速铁路总长约，设计速度目标值为.若京沪高速铁路时速按计算，火车行驶后，路程为，则是的函数，可以用来表示. 情境2：如图是我国人口出生率变化曲线： 新知引入 情境3：下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 思考1：根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？ 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系 典例精讲 例1：购买某种饮料听，所需钱数为元. 若每听元，试分别用解析法、列表法、图象法将表示成 的函数，并指出这个函数的值域. 问题1：利用三种表示法来表示函数，要重点关注函数的什么要素？ 定义域是数集 解析法： ， 列表法： /听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 典例精讲 图像法： 追问1：图象中的五个点能用直线连接吗？ 不能，若用直线连接，则定义域改变。 追问2：函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。那判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 在定义域中任取，是否有唯一确定的与之对应。 典例精讲 函数的三种表示法的选择和应用的注意点： 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 新知探究 问题2：所有函数都能用解析式表示吗？请举出实例加以说明。 并不是所有的函数都能用解析式表示．事实上，图象法也不适用于所有函数，如，列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 新知探究 问题3：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ 解析法 列表法 图象法 优点 缺点 1、简明，抽象 2、可以快速计算出任一函数值 1、不够形象直观 2、不是所有函数都有解析式 直观（无需计算，直接看出自变量对应的函数值） 仅能表示自变量取值少的有限值时的对应关系 1、形象、直观 2、反映函数的变化趋势 不够精准 不够全面 典例精讲 例2：画出函数的图象. 解：由绝对值的概念，我们有 所以，函数的图象如图所示. 小技巧： 像例中这样的函数称为分段函数.生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等. 典例精讲 例3：某市出租汽车收费标准如下：在 以内(含 ) 路程按起步价元收费，超过 的路程按 元 收费试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：)的函数解析式. 解：设路程为时，收费额为元，则由题意得：当时，；当时，按元 所收费用为，那么有. 于是，收费额关于路程的函数解析式为 即 新知探究 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； (2)在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； (3)分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集. 问题3：像例2、例3中的函数，通常叫做分段函数。那么什么是分段函数，它有什么特点呢？ 练习巩固 解：由绝对值的概念，我们有 所以，函数的图象如图所示. 变式1-1：画出函数的图象. 练习巩固 解：由绝对值的概念，我们有 变式1-2：把函数写成分段函数的形式. 追问1： 分段函数的定义域与值域分别为？ 定义域： 值域 练习巩固 练习1：给定函数 (1)在同一直角坐标系中画出，的图象； 解：在同一直角坐标系中画出函数的图象. 练习巩固 练习2：给定函数 (2)，用表示，中的最大者，记为. 例如,当时， 请分别用图象法和解析法表示函数. 解：由(1)可得函数的图象. 由得.解得，或. 结合上图，得出函数的解析式为 练习巩固 变式2-1：已知函数则(　) 【答案】： 变式2-2：由下表给出函数，则等于(　　) 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 【答案】： 练习巩固 变式2-3：已知函数的解析式为 (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象. 解： (1) (2)函数图象如右图所示： 练习巩固 练习3：(1)已知是一次函数，且，求； (2)已知是二次函数，且，求． 解： (1)设， 则， ∴ ,∴或 ∴或. 练习巩固 练习3：(1)已知是一次函数，且，求； (2)已知是二次函数，且，求． 解： (2)设， 则 ， ∴，∴ ∴. 练习巩固 待定系数法求函数解析式： 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 练习巩固 变式3-1： 是一次函数，且，则___________. 【答案】： 变式3-2：已知是一次函数，且满足，则___________. 【答案】：或 变式3-3：已知是二次函数，且满足，,求 . 【答案】： 练习巩固 练习4：已知函数，则___________. 【答案】： 变式4-1：已知函数，则___________. 【答案】： 变式4-2：已知函数，则___________. 【答案】： 练习巩固 已知求，常用的两种方法： (1)换元法：即令解出，代入中得到一个含的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围； (2)配凑法：即从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可． 练习巩固 变式4-3：若函数, 求函数 解：设，则， ∴ 即 变式4-4：若函数，求函数 解：设，则， ∴ 即 练习巩固 练习5：已知，求 解：由，① 可得.② 联立①②，得： 变式5-1：已知，求 解：由，① 可得.② 联立①②，得： 方程组法求函数解析式： 已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出． 小结 函数的表示法 常用表示法 分段函数 解析法 列表法 图像法 定义 图像 待定系数法 配凑法/换元法 方程组法 感谢聆听 数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学。 ——恩格斯 函数概念是近代数学思想之花。 ——托马斯 $