第5章 03-5.3 01-第1课时 函数的单调性(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性，涵盖概念辨析、判断证明及应用。从函数概念与性质引入，通过基础过关练到能力提升练的题组设计，结合易错警示和方法总结，搭建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于以数学思维和数学语言为核心，通过易错题强调单调区间表示规范，用定义法和“同增异减”培养推理能力，结合分段函数、抽象函数应用实例。学生能提升逻辑推理与抽象能力，教师可借助系统题组和总结提高教学效率。

第5章 函数概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 5.3　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数单调性的概念 1.[易错题][2025四川天府新区实外高级中学期中]已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间 为 ( )   A.(-3,-1)∪(1,4)　　    B.(-5,-3)∪(-1,1) C.(-3,-1),(1,4)　　     D.(-5,-3),(-1,1)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题图知函数f(x)的图象在区间(-3,-1)和(1,4)上是下降的,在区间(-5,-3)和(-1,1)上是上升的,因 此该函数的单调递减区间为(-3,-1),(1,4). 易错警示　若函数有两个或两个以上的单调递增(减)区间,则单调递增(减)区间之间用“,”或者 “和”连接,不能用“∪”连接. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏南通期中]下列条件能成为“f(x)为R上的增函数”的充分条件的有( ) A.∀x∈R, f(x)<f(x+1) B.∀t∈(0,+∞), f(x)<f(x+t) C.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2, >1     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,假设f(x)= 满足f(x)<f(x+1)恒成立,但f(0)=f =0, 所以f(x)不是R上的增函数,故A不符合题意. 对于B,∀x1,x2∈R且x2>x1,令t=x2-x1,则t>0, 所以f(x1)<f(x1+t),即f(x1)<f(x2), 所以f(x)为R上的增函数,故B符合题意. 显然C符合题意. 对于D,不妨设x1>x2,则x1-x2>0, 所以由 >1>0得f(x1)-f(x2)>0, 所以f(x)为R上的增函数,故D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 知识总结 函数单调性的等价形式 　　增函数⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔ >0(x1≠x2). 　　减函数⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔ <0(x1≠x2). 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知函数f(x)在R上单调递增,则下列一定成立的是 ( ) A.y=-f(x)在R上单调递减 B.y= 在R上单调递减 C.y=[f(x)]2在R上单调递增 D.y=af(x)(a为实数)在R上单调递增     A     解析　　任取x1,x2∈R,且x1<x2, 因为函数f(x)在R上单调递增, 所以必有f(x1)<f(x2),所以-f(x1)>-f(x2),A选项一定成立. 其余三项不一定成立,如当f(x)=x时,B,C不成立,当a≤0时,D不成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数单调性的判断与证明 4.[2025山东淄博期中]下列四个函数中,在(1,+∞)上单调递增的是 ( ) A.f(x)=3-x　　     B.f(x)=x2-3x C.f(x)= 　　    D.f(x)=-|x|     C     解析　    A中, f(x)=3-x在(1,+∞)上单调递减,不符合题意; B中, f(x)=x2-3x= - , 所以函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,不符合题意; C中, f(x)= = =2- ,由复合函数的单调性,得函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,符合题意; D中, f(x)=-|x|在(1,+∞)上单调递减,不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[易错题][2026河北石家庄第一中学开学考试]已知函数f(x)=|-x2+2x+3|,下列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)∪(1,3) B.函数f(x)在(-1,1)上单调递减 C.函数f(x)在(0,1)上单调递增 D.函数f(x)的单调递增区间为(-1,3)     C     解析　　作出函数f(x)=|-x2+2x+3|的图象,如图所示.   由图可知,函数f(x)在(-∞,-1)和(1,3)上单调递减,在(-1,1)和(3,+∞)上单调递增,故A,B,D不正确,C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　注意函数在某区间上单调递增(减)与函数的单调递增(减)区间为某区间的区别,对“某区 间”:前者为单调递增(减)区间的子集,后者为单调递增(减)区间. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏无锡锡山高级中学阶段测试]函数f(x)=|4-x|·(x-1)的单调递减区间为 ( ) A. 　　     B.(1,4)　　     C.(-∞,4)　　    D. ,(4,+∞)     A     解析　　当x≥4时, f(x)=(x-4)(x-1)=x2-5x+4,其在[4,+∞)上单调递增; 当x<4时, f(x)=(4-x)(x-1)=-x2+5x-4,其在 上单调递增,在 上单调递减. 综上, f(x)的单调递减区间为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏连云港期中]函数f(x)= 的单调递减区间为______________________. 解析　令-2x2-x+6≥0,得-2≤x≤ ,所以函数f(x)的定义域为 . 令t=-2x2-x+6,易知其图象开口向下,对称轴为直线x=- =- , 所以t=-2x2-x+6在 上单调递增,在 上单调递减. 又y= 在定义域内单调递增, 所以函数f(x)的单调递减区间为  . (写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但端点无意义时,一定不包括端点) 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结　复合函数单调性的判断方法是“同增异减”,其单调性的判断步骤为: (1)求复合函数的定义域; (2)将复合函数分解为若干个基本初等函数; (3)判断分解后的函数的单调性; (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; (5)得到复合函数的单调性. 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知函数f(x)=|x|+|2x-3|. (1)画出函数y=f(x)的图象; (2)写出函数f(x)的单调递减区间; (3)用定义证明函数f(x)在 上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解析    (1)易知函数f(x)=  画出f(x)的大致图象,如图所示:   (2)由(1)中的图象可知函数f(x)的单调递减区间为 . (3)证明:任取x1,x2∈ ,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(3x1-3)-(3x2-3)=3(x1-x2). 第1讲　描述运动的基本概念 ∵x1,x2∈ ,x1<x2, ∴x1-x2<0, ∴3(x1-x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)=|x|+|2x-3|在 上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏江阴长泾中学阶段考试]已知函数f(x)满足f(x+1)= . (1)证明:f(-x)+f =0; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上单调递减. 证明　令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)= = ,即f(x)= . (1)易得f(-x)=- , f = = . 所以f(-x)+f =- + =0. (2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= - = . 因为x2-x1>0,x1x2-1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上单调递减. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　函数单调性的应用 10.[教材习题改编]已知函数f(x)=|x+2|+x-3,若f(a)>f(3-2a),则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2)　　　    B.(-∞,-1) C.(1,+∞)　　 　    D.(3,+∞)     C     解析　　易得f(x)=|x+2|+x-3= 作出函数f(x)的图象,如图所示.   由图可知,若f(a)>f(3-2a),则 解得a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结　利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性去掉对应关系“f ”,转化为自 变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏启东中学月考]已知函数f(x)=x2-4kx-8在区间[2,4]上具有单调性,则实数k的取值范围为  ( ) A.[1,2]　 　    B.(-∞,1] C.[2,+∞)　　    D.(-∞,1]∪[2,+∞)     D     解析　　易得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=2k. 若函数f(x)在区间[2,4]上单调递增,则2k≤2,解得k≤1; 若函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,则2k≥4,解得k≥2. 综上,实数k的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞). 解题模板　解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴,确定单调区间与对称轴 之间的位置关系是解题的突破口. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江西吉安期末]已知函数y= 在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A.[6,+∞)　　    B.  C. 　　     D.(-∞,6]∪      C     解析　　设t=x2-ax+10,则y= . 易知函数y= 在定义域内单调递增, 又函数y= 在区间[1,3]上单调递减,所以函数t=x2-ax+10在[1,3]上单调递减,且t=x2-ax+10≥0在 [1,3]上恒成立, 所以 解得6≤a≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏无锡天一中学期中]已知函数f(x)= 满足对定义域内的任意实数x1≠x2, 都有  <0,则实数a的取值范围为 ( ) A.(0,3)　　     B. 　　     C. 　　    D.      B     解析　　不妨设x1<x2,则由 <0得f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减,所以  (由分段函数的单调性确定参数的取值范围时,不仅要分别利用每段函数的单调性列出不等式,还要根 据在分界点处的函数值的大小关系列出不等式) 解得 ≤a<3. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏昆山周市高级中学期中]设a= ,b= ,c= ,则( ) A.c>b>a　　    B.a>b>c　　     C.a>c>b　　    D.c>a>b     B     解析　　构造函数f(x)= = =1+ ,则a=f(2 023),b=f(2 024),c=f(2 025). 易得函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2 023)>f(2 024)>f(2 025),即a>b>c. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025广东深圳期中]已知函数f(x)= 在(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 _________________.     (-∞,-1)∪(1, 2] 解析　易知f(x)= = =a+ . 因为f(x)在(2,+∞)上单调递减, 所以a2-1>0,解得a<-1或a>1, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,a),(a,+∞).由题意得(2,+∞)⊆(a,+∞),所以a≤2. 综上,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 16.设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(1-x)=x2-3x+3. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=|f(x)-ax+3|在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析     (1)令1-x=t,则x=1-t, 所以f(t)=(1-t)2-3(1-t)+3=t2+t+1, 所以f(x)=x2+x+1. (2)由(1)知, f(x)=x2+x+1, 所以g(x)=|f(x)-ax+3|=|x2+(1-a)x+4|. 设h(x)=x2+(1-a)x+4, 当(1-a)2-4×1×4≤0,即-3≤a≤5时,h(x)≥0恒成立,此时g(x)=x2+(1-a)x+4,其图象的对称轴为直线x= , 则 ≤1,即a≤3,所以-3≤a≤3; 当(1-a)2-4×1×4>0,即a<-3或a>5时,  第1讲　描述运动的基本概念 或  解得a≥7或a<3,所以a<-3或a≥7. 综上,实数a的取值范围为(-∞,3]∪[7,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 5.3　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数单调性的判断与证明 1.[2026重庆十八中两江实验中学月考]若函数f(1+x)在其定义域[1,2]上单调递增,则函数f(1-x) ( ) A.在其定义域[-2,-1]上单调递增 B.在其定义域[-2,-1]上单调递减 C.在其定义域[-1,0]上单调递增 D.在其定义域[-1,0]上单调递减     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数f(1+x)的定义域为[1,2],所以1≤x≤2,所以2≤1+x≤3,所以函数f(x)的定义域为[2,3],且 单调递增. 所以对于函数f(1-x),满足2≤1-x≤3,解得-2≤x≤-1,所以函数f(1-x)的定义域为[-2,-1],排除C,D. 令u=1-x,易知其在定义域上单调递减,又f(x)在定义域上单调递增, 所以函数f(1-x)在定义域上单调递减. 综上,函数f(1-x)在其定义域[-2,-1]上单调递减. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026河北保定爱和城高级中学调研]定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠ x2时,恒有 >0,则称f(x)为“理想函数”,则下列函数中是“理想函数”的为 ( ) A. f(x)=1　 　    B. f(x)=x2+2　　     C. f(x)=x3-x　　    D. f(x)=x4     CD     解析　　不妨设x1>x2>0,由 >0,可得x2 f(x1)-x1 f(x2)>0,∴ > ,∴函数y= 在(0,+ ∞)上单调递增.对于A,y= = ,易知函数y= 在(0,+∞)上单调递减,所以A不符合题意. 对于B,y= =x+ ,易知函数y=x+ 在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,所以B不符合题意. 对于C,y= =x2-1,易知函数y=x2-1在(0,+∞)上单调递增,所以C符合题意. 对于D,y= =x3,易知函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,所以D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 (1)若对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有  >0,即(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在R上单调递增. (2)若对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)<x1 f(x2)+x2 f(x1),即(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在R 上单调递减. (3)若对任意的x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<x2-x1,即f(x1)+x1<f(x2)+x2,则g(x)=f(x)+x在R上单调递增. (4)若对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,都有  >-a,即f(x1)-f(x2)<-ax1+ax2,即f(x1)+ax1<f(x2)+ax2,则F (x)=f(x)+ax在[1,+∞)上单调递增. (5)若对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1·x2( - ),即 - >a -a (两边同时除 以x1x2),即 +a > +a ,则函数h(x)=ax2+ 在[1,+∞)上单调递减. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026天津耀华中学期中]若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(|x|)+x2-2x,则f(x)的单调递增区间为 ______________.  (-∞,-5],[0,1] 解析　当x≥0时, f(x)=3f(x)+x2-2x,所以f(x)=- x2+x,其单调递增区间为[0,1]. 当x<0时,-x>0,所以f(-x)=- x2-x,所以f(x)=3f(-x)+x2-2x=- x2-3x+x2-2x=- x2-5x,其单调递增区间为(-∞,-5]. 综上, f(x)的单调递增区间为(-∞,-5],[0,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏苏州实验中学月考]已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),∀x,y∈(0,+∞), f(xy)=f(x)+f(y)+1,且当x ∈(0,1)时, f(x)>-1. (1)求f(1)的值; (2)试判断f(x)的单调性,并证明; (3)若f =1,且f(9-x)+f(x-1)+4>0,求x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于f(xy)=f(x)+f(y)+1,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)+1,解得f(1)=-1. (2)函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 证明如下: 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2. f(x2)-f(x1)=f(x2)-f =f(x2)- =-f -1. 因为0<x1<x2,所以0< <1,所以-f <1,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)因为f(xy)=f(x)+f(y)+1, 所以f(9-x)+f(x-1)+4=f((9-x)(x-1))-1+4>0,即f((9-x)(x-1))+3>0. 第1讲　描述运动的基本概念 对于f(xy)=f(x)+f(y)+1,令x=y= ,得f =f +f +1,又f =1,所以f =3,所以f((9-x)(x-1))+f =f  -1>0. 又因为f =1, 所以f >f . 由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 即  解得1<x<5- 或5+ <x<9. 故x的取值范围是(1,5- )∪(5+ ,9). 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结    抽象函数单调性的判断方法 (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论. (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号时要变形为f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f (x2)-f((x1-x2)+x2); ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…,判断符号时要变形为f(x2)-f(x1)=f -f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)- f  x2·  (x1x2≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数单调性的应用 5.[2025江苏宿迁中学期中]已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2,且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>x1-x2,则不等 式f(2x+1)-f(x-1)<x+2的解集是　     ( ) A.(-1,+∞)　　    B.(-2,+∞) C.(-3,+∞)　　    D.(0,+∞)     B     解析　　由f(x1)-f(x2)>x1-x2得f(x1)-x1>f(x2)-x2. 构造函数g(x)=f(x)-x,则g(x1)>g(x2),又x1<x2,所以g(x)在R上单调递减. 由f(2x+1)-f(x-1)<x+2,得f(2x+1)-(2x+1)<f(x-1)-(x-1),所以g(2x+1)<g(x-1),所以2x+1>x-1,解得x>-2,所以原 不等式的解集为(-2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏常州金坛第一中学调研]已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x)=f(|x|),且f(x)在(0,+∞)上单调 递减,若f(-1)=0,则不等式xf(|x|)<0的解集为 ( ) A.(-1,1)　　     B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　     D.(-1,1)∪(1,+∞)     B     解析　　由f(x)=f(|x|),得f(1)=f(|-1|)=f(-1)=0, 当x≤0时,-x≥0, f(x)=f(-x), 又f(x)在(0,+∞)上单调递减,y=-x在(-∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增, 不等式xf(|x|)<0⇔xf(x)<0化为 或 即 或 解得-1<x<0或x>1, 所以所求不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏无锡天一中学月考]已知函数f(x)为R上的增函数,当n为正整数时, f(n)也为正整数,且f(f(n))= 3n,则f(5)的值为 ( ) A.5　　    B.6　　    C.8　　    D.15     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于f(f(n))=3n,令n=1,得f(f(1))=3. 若f(1)=1,则f(f(1))=f(1)=3,与f(1)=1矛盾,故f(1)≠1. 又因为当n为正整数时, f(n)也为正整数,所以f(1)≥2, 因为函数f(x)为R上的增函数, 所以f(f(1))≥f(2), 又f(f(1))=3,所以f(2)≤3, 所以f(3)≥f(f(2)), 又因为f(f(2))=3×2=6,所以f(3)≥6, f(f(3))≥f(6), 又因为f(f(3))=3×3=9,所以f(6)≤9, 又因为函数f(x)为R上的增函数,当n为正整数时, f(n)也为正整数, f(3)≥6, f(6)≤9,且f(3)<f(4)<f(5)<f(6),所以f(3)=6, f(4)=7, f(5)=8, f(6)=9. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏淮安调研]已知f(x)=x|x|是定义在R上的函数,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥ f(x)恒成 立,则实数t的取值范围是__________.     [2,+∞) 解析　当x≥0时, f(x)=x2,其在[0,+∞)上单调递增;当x≤0时, f(x)=-x2,其在(-∞,0]上单调递增,所以函数f (x)在R上单调递增. 易知f(x+t)≥ f(x)⇔f(x+t)≥f ,所以x+t≥ x⇔t≥ x. 因为对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥ f(x)恒成立,所以∀x∈[t,t+2],t≥ x恒成立. 易知函数y= x在[t,t+2]上单调递增,所以t≥ (t+2),解得t≥2,所以实数t的取值范围是[2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 9.已知函数f(x)= 满足∀x1,x2∈R,当x1≠x2时,不等式(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则实数a 的取值范围为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为∀x1,x2∈R,当x1≠x2时,不等式(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减, 当x≥-1时,需满足2a-1<0,解得a< ; 当x<-1时, f(x)=- =-x- +2,若a≤0,则f(x)=-x- +2在(-∞,-1)上单调递减,此时需满足3+a≥1-a,解 得a≥-1,所以-1≤a≤0;若a>0,则函数f(x)=-x- +2在(-∞,- )上单调递减,在(- ,0)上单调递增,此时需 满足 解得0≤a≤1,所以0<a≤1.所以-1≤a≤1. 综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025四川成都嘉祥教育集团质量监测]定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足: f(x)-f(y)=f ,当x∈(- 1,0)时, f(x)<0,若a=f +f ,b=f ,c=f(0),则实数a,b,c的大小关系为_________(用“<”连接).     c<b<a 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得f(x)的定义域为(-1,1),且∀x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f , 所以 不妨设x<y,则-1< <0, 因为当x∈(-1,0)时, f(x)<0, 所以f <0,即f(x)-f(y)<0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(x)<f(y), 故函数f(x)在(-1,1)上单调递增, 因为f(x)-f(y)=f , 所以f(x)=f(y)+f , 取y= , = ,则x= , (思路溯源:结合b,c两值的特征,需要将a中两数合并,所以做此变形和取值) 则a=f +f =f , 因为0< < ,所以f(0)<f <f ,即c<b<a. 第1讲　描述运动的基本概念 $