2026-2027学年苏科版九年级上学期数学第一次月考模拟卷2

2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-2章（苏科2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．将一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为3，则该方程的一次项系数为（     ） A．2 B． C．4 D． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．某次冰壶比赛有支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则下列方程中符合题意的是（     ）． A． B． C． D． 6．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 7．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 8．关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 10．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 11．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 12．如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．方程的根是________． 14．已知，是方程的两个根，则___________． 15．如图，已知反比例函数的图象上有一点A，过点A作轴于点B，若的面积为，则此反比例函数的解析式为_______ 16．新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1) (2)． 18．某玩具生产公司今年1月份的生产成本是100万元，由于新技术的引进，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是81万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率； (2)请你预测4月份该公司的生产成本． 19．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 20．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）    (1)求y关于x的函数表达式； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 21．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… (1)请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； (2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 22．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第三象限内交于点C，．在x轴的负半轴上有一点D，且，连接． (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； (2)点E是反比例函数上任意一点，满足，求出点E的坐标． (3)在双曲线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学第一次月考模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-2章（苏科2024版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 2．若点在反比例函数的图象上，则a的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在函数图象上的坐标特征，代入计算求a的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式， 解得． 3．将一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为3，则该方程的一次项系数为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】将方程化为二次项系数为3的一般形式，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， ∴ 一次项系数为． 4．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【详解】解：一元二次方程， ∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根. 5．某次冰壶比赛有支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则下列方程中符合题意的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单循环比赛每两队仅赛场的规则计算总场次，结合已知总场数列方程． 【详解】解：每支队伍需与其余支队伍各赛1场，支队伍的累计比赛场次为， ∵单循环比赛每两队仅赛1场，累计场次将每场比赛计算了2次， ∴实际总场数为， ∵总场数为45， ∴， 整理得． 6．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 7．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 8．关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的情况，列出不等式计算即可． 【详解】解：∵ 关于的方程有两个实数根， ∴ ，即， 解得． 9．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 11．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 12．如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线性质得出与的面积比，结合反比例函数的几何意义及梯形面积公式建立方程求解. 【详解】解：过点作于，作于，过点作于 平分， ， ， ， ，， ， 即， 设，，则， 点在反比例函数图象上， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， . 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．方程的根是________． 【答案】， 【分析】对原方程左边提取公因式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解： ∴或 解得，． 14．已知，是方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可． 【详解】解：对于方程，二次项系数为，常数项为， ∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得． 15．如图，已知反比例函数的图象上有一点A，过点A作轴于点B，若的面积为，则此反比例函数的解析式为_______ 【答案】// 【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵双曲线在二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 16．新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为2023． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理方程，再利用配方法解答，即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 解得； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18．某玩具生产公司今年1月份的生产成本是100万元，由于新技术的引进，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是81万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． (1)求每个月生产成本的下降率； (2)请你预测4月份该公司的生产成本． 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （2）根据该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同，用3月份的生产成本减去下降的成本，即可得解． 【详解】（1）解：设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为． （2）（万元）． 答：预测4月份该公司的生产成本为万元． 19．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【详解】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，． 20．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）    (1)求y关于x的函数表达式； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． （1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入，即可得出y的值． 【详解】（1）解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． （2）解：由（1）得， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 21．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… (1)请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； (2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)①是“邻根方程”；②或 【分析】（1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）①先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义．②根据“邻根方程” 的定义，建立关于的方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 两根和为，两根积为， 一元二次方程为； （2）解： ①， 解得． ， 是“邻根方程”． ②， ． ∵关于的方程是“邻根方程”， 或． 解得或． 22．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 23．如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第三象限内交于点C，．在x轴的负半轴上有一点D，且，连接． (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； (2)点E是反比例函数上任意一点，满足，求出点E的坐标． (3)在双曲线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的横坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或或或 (3)存在，P点的横坐标为或或 【分析】（1）通过一次函数解析式先求A、B坐标，过点C作x轴的垂线构造相似三角形，利用比例关系求出点C的坐标，进而求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，从而得到，因为为定值，故点E到直线的距离为定值，求出该定值，并求出与直线平行且距离为该定值的直线的解析式，联立所求直线解析式与反比例函数的解析式，即可求出点E的坐标； （3）先根据题意求出点D的坐标，以为直角边，C为直角顶点作等腰直角三角形，利用一线三垂直全等模型求出点K的坐标，从而确定直线的解析式，联立所求的直线解析式与反比例函数的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，得；令，得，， ∴，， ∴，， 如图，过点C作轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， ∴， ∵， ∴， 分下列两种情况： 第一种：点E在上方，如图，过点E作交y轴于点F，过点F作于点N，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， 联立，得， 解得，或， 当时，； 当时，， ∴或； 第二种：点E在下方，如图，过点E作交y轴于点F， 同第一种情况，可得， ∴， ∴，直线的解析式为， 联立，得， 解得，或， 当时，； 当时，， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 由，得， 分下列两种情况： 第一种：点P在的下方，以为直角边，C为直角顶点向下作等腰直角三角形，过点C作轴，其中，， 由作法可知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得 解得 ∴， 联立，得， 解得（由图舍去负值）； 第二种：点P在的上方，以为直角边，C为直角顶点向上作等腰直角三角形，过点C作轴，其中，，则， 同第一种情况，可知， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得 解得 ∴， 联立，得， 解得或， 综上，P点的横坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $