精品解析：湖南衡阳市一中教育集团2025-2026学年下学期第一次综训试卷（九年级 数学）

衡阳市一中教育集团2026年下学期第一次综训试卷 初三数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 3、 B. 3、2 C. 3、 D. 3、1 4. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. “任尔东西南北风，乱云飞渡仍从容．为中国，为世界，吾辈当奋发图强！”中国外交部（不跪！）视频发布首日全球播放量突破5亿次，第三天全球播放量突破10亿次．设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 关于的方程的两根为2和3，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 12. 方程的解是_______． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 14. 已知为正整数，且是整数，那么的最小值是_______． 15. 已知实数、满足，则的值_______． 16. 已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为3，两腰长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解一元二次方程：． 19. 若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的平方根； （2）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 21. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）设关于的一元二次方程有两个实数根、，若、分别是一个矩形的长和宽． ①是否存在实数，使得矩形的面积为5，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在实数，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则______； （3）若关于的方程（是常数）是“倍根方程”，试求出的值； （4）若关于的方程（、是常数，）是“倍根方程”，令，试求的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，为正方形的对角线，，点在对角线上，且横坐标为4．动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动．以、为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）当时，求线段的长； （3）当点恰好落在线段上时，求的长； （4）在整个运动过程中，若平行四边形为菱形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市一中教育集团2026年下学期第一次综训试卷 初三数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 本试卷共3道大题，24道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A．没有意义，故该选项不符合题意； B．是三次根式，故该选项不符合题意； C．是二次根式，故该选项符合题意； D．当时，是二次根式，当时，无意义，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、乘法、加法、减法运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项正确，符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． 和不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法、乘法、加法、减法运算，掌握相关运算法则成为解答本题的关键． 3. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 3、 B. 3、2 C. 3、 D. 3、1 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号． 4. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后配方，将方程左边化为完全平方式． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 配方得：． 故选：A． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的取值范围判断绝对值内式子和二次根式底数的正负，再化简计算. 【详解】解：∵. ∴，. ∴，. ∴原式. 6. 已知是方程的一个解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，整体代入求值即可． 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 7. “任尔东西南北风，乱云飞渡仍从容．为中国，为世界，吾辈当奋发图强！”中国外交部（不跪！）视频发布首日全球播放量突破5亿次，第三天全球播放量突破10亿次．设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，根据首日播放量突破5亿次，第三天突破10亿次，平均增长率为，列出方程即可． 【详解】解：设该视频发布第二天、第三天的全球播放量的日平均增长率为， 根据题意，得， 故选：D． 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的参数与根的关系，根据根的情况求参数，难度一般． 9. 关于的方程的两根为2和3，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出b、c的值，再判断直线经过的象限. 【详解】解：由根与系数的关系，得， ∴， ∴直线解析式为 ∵一次项系数，常数项 ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限. 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 12. 方程的解是_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法即可求解． 【详解】解： 移项，得 . 提取公因式，得 . ∴ 或 . 解得 ，． 13. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 已知为正整数，且是整数，那么的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】是整数，说明为完全平方数，根据完全平方数的质因数性质即可求出最小正整数． 【详解】解：∵是整数，为正整数， ∴是完全平方数． 对分解质因数得，完全平方数的所有质因数的指数都为偶数，此时中和的指数都是，为奇数， ∴至少需要包含质因数和各一个，才能使所有质因数指数为偶数， 计算得，即的最小值是． 15. 已知实数、满足，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】对原式配方后，利用平方和算术平方根的非负性求出，的值，再代入所求式子计算． 【详解】解：对原等式整理配方，原等式可变形为 ， ∵ ，， ∴，， 解得 ，， 将，代入得： ． 16. 已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为3，两腰长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】等腰三角形两腰相等，因此方程有两个相等实数根，先利用一元二次方程根的判别式求出的值，再解出方程得到腰长，验证三边关系后计算周长． 【详解】解：∵ 等腰三角形两腰长相等，两腰长是原方程的两个实数根， ∴ 原方程有两个相等的实数根，则判别式， 即， 解得， 将代入原方程，得， 解得， 即三角形腰长为， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 三角形周长为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算二次根式的除法、乘法，化简绝对值，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解一元二次方程：． 【答案】或 【解析】 【详解】解：， ， ， 所以， 所以或， 19. 若最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的平方根； （2）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）求得，根据，可得，进而即可求解； （2）把代入方程，求出的值，再根据一元二次方程根与系数的关系求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵，，， ∴， ∴另一个根为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键． 21. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000 （2）该玩偶的售价为44元 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【小问1详解】 解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． 【小问2详解】 解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． 【小问3详解】 解：略． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）设关于的一元二次方程有两个实数根、，若、分别是一个矩形的长和宽． ①是否存在实数，使得矩形的面积为5，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在实数，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程中，，， ∴， ∵无论取任何实数，，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：①存在这样的， 理由：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵矩形的长和宽为​、， ∴矩形面积为， 若矩形的面积为5，则，解得， 验证：当时，原方程为，两根为1和5，均为正数，符合矩形长和宽为正的要求； ②存在这样的， 理由：∵矩形对角线长为， ∴根据勾股定理，得， ∵，、， ∴， 解得：，， ∵矩形的长和宽​、均为正数， ∴两根之和，舍去， 当时：原方程为，两根为1和3，均为正数，对角线长为，符合要求， 因此存在这样的，． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式解答即可； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合矩形的面积为5，即可求出的值； ②根据勾股定理和矩形的对角线长为结合一元二次方程根与系数的关系求出的值，再验证即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则______； （3）若关于的方程（是常数）是“倍根方程”，试求出的值； （4）若关于的方程（、是常数，）是“倍根方程”，令，试求的最小值． 【答案】（1）① （2） （3） 的值为或 （4） 的最小值为 【解析】 【分析】（1）求解各方程的根，结合倍根方程的定义判断即可； （2）设两根为与，利用根与系数的关系计算即可； （3）设两根为与，结合根与系数的关系列方程即可求解； （4）设方程的两根为和，结合根与系数的关系得，代入得只含b的式子，再配方求最值即可． 【小问1详解】 解：①解方程， 因式分解得， 即或， 解得，， ， 该方程是倍根方程； ②解方程， 移项，得， 解得，， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③解方程， 因式分解得， 即或， 解得，， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； 【小问2详解】 解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，得 ， 解得， ； 【小问3详解】 解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，得 ，， 即，， 将代入，得 ， 解得，， 经检验，和均使方程有两个实数根，符合题意， 的值为或； 【小问4详解】 解：设方程的两根为和，根据根与系数的关系，得 ，， 即，， 由得，代入，得 ， 整理得， 将代入，得 ， 当时，取得最小值，最小值为， 此时，符合题意， 的最小值为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，为正方形的对角线，，点在对角线上，且横坐标为4．动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动；同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动．以、为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）当时，求线段的长； （3）当点恰好落在线段上时，求的长； （4）在整个运动过程中，若平行四边形为菱形，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式；然后将代入求出点的纵坐标即可； （2）先求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可； （3）先求出的长，再求出时间的值，进而可得的长，由此即可得； （4）先得出点的坐标、，再分两种情况：①和②，求出点的坐标，进而可得，建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵点在对角线上，且横坐标为4， ∴将代入函数得：， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意得：当时，， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形，且点恰好落在线段上， ∴，， ∵， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， ∴，（秒）， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：由题意得：；点从点出发，沿方向运动到点所需时间为（秒），再沿方向运动到终点所需时间为（秒）， ∴， ∴， ∵平行四边形为菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ①当时，则点在上运动，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时，则在上运动，， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $