精品解析：湖南省衡阳市船山实验中学2024-2025学年九年级下学期第一次综合训练数学试题

衡阳市船山实验中学2025年上学期第一次综合训练初三数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本卷答题卡设有27题为卷面分5分，无需作答； 本试卷共8页，3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，10个小题，共30分） 1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心对称图形的定义直接判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合， 故选B． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 2. 截至2025年3月12日，《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）在全球票房一路高歌猛进，达到150亿元． 将15000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：． 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算、积的乘方运算、二次根式加法和乘法运算，熟练掌握相关运算法则解题的关键．分别根据同底数幂的除法运算、积的乘方运算、二次根式加法和乘法运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、不是同类二次根式，不可相加，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 4. 下列是假命题的是（ ） A. 是分数 B. 正五边形外角和为 C. 正方形的对角线相等，互相垂直且平分 D. 三角形的内心是三条内角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，涉及实数的分类，多边形外角和，正方形的性质，三角形内心的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不是分数，故是假命题，符合题意； B、正五边形外角和为，是真命题，故不符合题意； C、正方形的对角线相等，互相垂直且平分，是真命题，故不符合题意； D、三角形的内心是三条内角平分线的交点，是真命题，故不符合题意； 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖 C. 文文同学数学五次周练的成绩分别为90分，85分，88分，95分，100分，文文同学五次成绩的中位数是88分 D. 乐乐同学的数、物、化得分分别为85分，90分，100分，若依次按照的权重确定理科成绩，则乐乐的得分是91分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，概率的意义，求中位数和加权平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据方差越小，数据波动越小可判断A选项；根据概率的意义可判断B选项；将数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，即可得出这组数据的中位数，可判断C选项；根据加权平均数的计算方法计算即可判断D选项． 【详解】解：A、因为，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确； B、某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖，故该选项不正确； C、85分，88分，90分，95分，100分，则五次成绩的中位数是90分，故该选项不正确； D、，则乐乐的得分是91分，故该选项正确； 故选：D． 6. 如图，，与相交于点O，，下列选项错误的是（ ） A. B. 与的周长比是 C. 与的面积比是 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质，先证明，结合，利用相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，故选项A错误，符合题意； 与的周长比是，故选项B正确，不符合题意； 与的面积比是，故选项C正确，不符合题意； ，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 7. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题． 8. 如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢． 图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，直接根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得的长为， 故选：B． 9. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点．若线段，，则长为（ ） A. 7 B. 12 C. 13 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据作图可知，是线段的垂直平分线，得到，再在中，利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， 根据作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ． 故选：C． 10. 如果二次函数的系数满足，那么我们把这种函数称为共点函数，有关共点函数，下列说法： ①该共点函数必过定点； ②若关于的函数是共点函数，则； ③若该共点函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该共点函数的图象与轴的两个交点坐标为，则； 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，利用共点函数的定义结合二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式逐一判断即可． 【详解】解：①当时，则，故正确； ②∵关于的函数是共点函数， ∴， 解得：或，故错误； ③∵该共点函数的图象与轴有且只有一个交点，则，且， ∴，即， ∴， ∴，故正确； ④∵该共点函数的图象与轴的两个交点坐标为， ∴， ∵，即 ∴， ∵， ∴，故正确； ∴正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，8个小题，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 13. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】， 故答案为： 14. 化简结果是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：2． 15. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=___________． 【答案】25 【解析】 【分析】连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵边AB与⊙O相切，切点为B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C， ∴∠C=∠AOB=25°． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 16. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角．根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，，设与y轴相交于点E，由可得，再根据反比例函数的几何意义得到，进而得到，再根据即可求得答案． 【详解】解：连结，，，设与y轴相交于点E， ，四边形面积为5， ∵等底等高， ， ∵等底等高， ， ，， ， 解得， ∵， ， 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，，分别为，的中点，若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，根据已知条件得出时，取得最小值，而是的中位线，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识联系与运用是解题的关键． 三、解答题（8道题，19、20题每题6分，21、22题每题8分，23、24题每题9分，25、26题每题10分，共66分） 19. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简是解题的关键．先化简绝对值、计算乘方、二次根式的化简、特殊角的三角函数、零指数幂，然后计算加减即可． 【详解】解： 20. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简，熟练运算法则是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式运算法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 21. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学； B．科技； C．艺术； D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人； （3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，通过计算估计选择“文学”类课外活动的学生有多少人？ 【答案】（1）抽样调查 （2）200 （3） （4）350人 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，条形统计图与扇形统计图的信息关联，根据概率公式求概率，由样本估计总体，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键． （1）根据抽样调查的定义即可得出答案； （2）根据最喜欢科技的人数除以其所占的百分比可得总人数； （3）根据概率公式求解即可； （4）由（2）中总人数，可求得“文学”类的百分比，然后用1000乘以选择“文学”类的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意，随机抽取若干名学生进行了问卷调查， 所以本次调查采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【小问2详解】 解：根据统计图提供的信息可知，最喜欢科技的人数为50人，占比， 所以这次调查中，抽取的学生一共有（人）， 故答案为：200． 【小问3详解】 解：根据题意，恰好抽到女生的概率是， 故答案为：． 【小问4详解】 解：根据统计图提供的信息可知，最喜欢文学的人数为70人，由（2）可知这次调查中，抽取的学生一共有200人，则 （人） 答：该校选择“文学”类课外活动的学生有350人 22. 2024年9月第三届湖南旅发大会在衡阳召开，衡阳文旅迅速“火出圈”，热度“爆表”，整个城市迎来高光时刻，一跃成为湖南的热门旅游目的地，游客量增速位居全省第一．某经销店调查发现：与吉祥物“火出圈”相关的A，B两款纪念品深受游客喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用60元；购进1个A款和2个B款共用100元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该经销店决定购进这两款纪念品共140个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】（1）A款纪念品的进货单价为40元，则B款纪念品的进货单价为30元 （2）至少应购买B款纪念品60个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为40元，则B款纪念品的进货单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品60个． 23. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 24. 如图，内接于，为直径，于点D，延长交于点E，连结交于点F，连结． （1）求证： （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵于点D，为的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，求正切值，熟练运用垂径定理，证明是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，进而得到，结合，证明，得到，即可得出结论； （2）连接，由（1）可得，根据圆周角定理可得，根据已知，设，则，利用（1）中，求出，由正切的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵由（1）知， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， 设，则， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于，两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，点P为直线上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，以P为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求m的值； （3）如图③，抛物线顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，若以B、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数即可求解； （2）过点作轴的垂线交直线于点，设，，得出的关系式，进而过点作直线垂线交直线于点，则，得出的关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求出，设，，求出，分①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，三种情况讨论，先求出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：令，解得：， 将代入，则， ∴， 将代入抛物线，则， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴的垂线交直线于点， ∴设， ∵在直线的上方， ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 过点作直线垂线交直线于点，则 ∴ ∵是的切线， ∴即为的半径， ∴当时，取得最大值，此时取得最大值 【小问3详解】 解：∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 点是轴上任意一点，点是平面内一点， 设，， 又， ∴， ①当为对角线时， 则，即， 整理得：， 解得：或， ∴或， 当时， 则，解得：， ∴； 当时， 则，解得：， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 整理得：， 解得：， ∴， 则，解得：， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 整理得：， 解得：， ∴， 则，解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，直线与圆的位置关系，二次函数与特殊四边形的存在问题，解直角三角形，勾股定理，灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 26. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，    ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市船山实验中学2025年上学期第一次综合训练初三数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本卷答题卡设有27题为卷面分5分，无需作答； 本试卷共8页，3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，10个小题，共30分） 1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年3月12日，《哪吒之魔童闹海》（简称《哪吒2》）在全球票房一路高歌猛进，达到150亿元． 将15000000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列是假命题的是（ ） A. 是分数 B. 正五边形外角和为 C. 正方形的对角线相等，互相垂直且平分 D. 三角形的内心是三条内角平分线的交点 5. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖 C. 文文同学数学五次周练的成绩分别为90分，85分，88分，95分，100分，文文同学五次成绩的中位数是88分 D. 乐乐同学的数、物、化得分分别为85分，90分，100分，若依次按照的权重确定理科成绩，则乐乐的得分是91分 6. 如图，，与相交于点O，，下列选项错误的是（ ） A. B. 与的周长比是 C. 与的面积比是 D. 7. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢． 图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点．若线段，，则长为（ ） A. 7 B. 12 C. 13 D. 18 10. 如果二次函数的系数满足，那么我们把这种函数称为共点函数，有关共点函数，下列说法： ①该共点函数必过定点； ②若关于的函数是共点函数，则； ③若该共点函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该共点函数的图象与轴的两个交点坐标为，则； 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，8个小题，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 13. 因式分解：____． 14. 化简结果是_____． 15. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=___________． 16. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 17. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 18. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，，分别为，的中点，若，，则的最小值为______． 三、解答题（8道题，19、20题每题6分，21、22题每题8分，23、24题每题9分，25、26题每题10分，共66分） 19. 计算： 20. 化简： 21. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学； B．科技； C．艺术； D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： （1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人； （3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； （4）若该校共有1000名学生参加课外活动，通过计算估计选择“文学”类课外活动的学生有多少人？ 22. 2024年9月第三届湖南旅发大会在衡阳召开，衡阳文旅迅速“火出圈”，热度“爆表”，整个城市迎来高光时刻，一跃成为湖南的热门旅游目的地，游客量增速位居全省第一．某经销店调查发现：与吉祥物“火出圈”相关的A，B两款纪念品深受游客喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用60元；购进1个A款和2个B款共用100元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该经销店决定购进这两款纪念品共140个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 23. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． （1）求线段的长（结果取整数）； （2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 24. 如图，内接于，为直径，于点D，延长交于点E，连结交于点F，连结． （1）求证： （2）若，求的值． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于，两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，点P为直线上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，以P为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求m的值； （3）如图③，抛物线顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，若以B、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标． 26. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $