精品解析：2026年湖南邵阳市邵东市中考信息（二） 数学试卷

2026年中考信息（二） 数 学 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号： 2．答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 从十四届全国人大二次会议民生记者会上获悉，目前我国各级各类学校在校学生2.8亿，数据2.8亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ） A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10 9. 如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 48 10. 如图，四边形中，，，，，以点为圆心，长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________． 12. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 13. 某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 14. 如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 15. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和之间的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为150m和100m，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西53°的方向上，且m，则隧道的长约为__________米． （参考数据：，，） 16. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的孙子问题，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，最小的数是__________，第50个数是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18题8分，第19-22题每小题9分，第23-24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点．，为对角线上的两点，请你从以下三个条件：①；②；③，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形．（不添加辅助线） （1）你选择的条件是______________（填序号）； （2）选择了一个条件后，请证明四边形为菱形． 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是______； （2）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？ （3）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率； （4）请为做好近视防控提一条合理的建议 20. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4000米的污水排放主干管道，为减少施工对城市交通所造成的影响，施工方优化了施工方案，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前2天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过12万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 21. 如图，某反比例函数的图象经过点和点（点在点的右侧），分别过点作轴于点，作轴于点，连接，． （1）求的值； （2）若五边形的面积为12，求直线的表达式； （3）请根据图象，直接写出不等式的解集． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 23. 【方法探索】 如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解． （1）请在此思路提示下，求出的长． 【方法应用】 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，，求的长； （3）如图3，在中，，，是外一点，连接，，．已知，．求的长． 24. 已知抛物线：与直线：交于，两点，其中点在轴上． （1）若点的横坐标为，直线与轴交于点，求的值； （2）在（1）的条件下，若为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标； （3）若，为该抛物线上不同的两点，，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出的值；若不是定值，请确定其取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考信息（二） 数 学 时量：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号： 2．答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效； 3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 从十四届全国人大二次会议民生记者会上获悉，目前我国各级各类学校在校学生2.8亿，数据2.8亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：2.8亿． 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图即为从上面看所得到的图形．注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据俯视图的定义观察图形即可求解． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 4. 把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位，平移后抛物线的解析式为：， 再向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为， 故选B． 5. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 即不等式组的解集为：， 即在数轴上表示为：． 【点睛】在数轴上表示不等式组的解集时，要注意端点的“空心”、“实心”区别． 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理及其推论来求出，进而求出即可． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 8. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ） A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差为：； 故选D． 9. 如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 10. 如图，四边形中，，，，，以点为圆心，长为半径作弧，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 12. 若一个边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角，根据多边形外角和定理进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ． 故答案为：8． 13. 某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：已知3月份盈利元，每月盈利的平均增长率为，则4月份盈利为，5月份盈利为，由题意可得 ． 14. 如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 15. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和之间的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为150m和100m，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西53°的方向上，且m，则隧道的长约为__________米． （参考数据：，，） 【答案】1350 【解析】 【分析】先在中，根据三角函数的定义求出，再根据三角形中位线定理求出，即可求出；本题主要考查了解直角三角形的应用和三角形中位线定理，根据三角函数的定义求出是解决问题的关键． 【详解】在中， (m)， ∵点，分别为，的中点， 是的中位线， ， m， (m) 答：隧道的长约为m． 故答案为：． 16. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的孙子问题，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，最小的数是__________，第50个数是__________． 【答案】 ①. 11 ②. 746 【解析】 【分析】根据余数条件列出两个代数式联立等式，变形后利用3、5互质设参数推导一般表达式，代入参数求出最小数与第50项． 【详解】解：由被3除余2且被5除余1设（为正整数，、为非负整数）， 令（为正整数）， ∴，， 当，， ，． ∴最小的数是，第50个数是 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18题8分，第19-22题每小题9分，第23-24题每小题11分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式． 18. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点．，为对角线上的两点，请你从以下三个条件：①；②；③，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形．（不添加辅助线） （1）你选择的条件是______________（填序号）； （2）选择了一个条件后，请证明四边形为菱形． 【答案】（1）①或②均可 （2）选择①证明：∵四边形为菱形， ，， ． 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 选择②证明：∵四边形为菱形， ，， ． 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定方法，逐项判定即可；③不能证明四边形是平行四边形； （2）若选择①，由四边形为菱形，证明，证明四边形对角线互相平分是平行四边形，再由证明菱形； 若选择②，由四边形为菱形，证明，证明四边形对角线互相平分是平行四边形，再由证明菱形； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 根据以下调查报告解决问题． 调查主题 学校八年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 八年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 频数 3 24 18 12 9 9 15 合计 90 建议：…… （说明：以上仅展示部分报告内容）． （1）视力在“”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是______； （2）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？ （3）视力在“”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，求恰好抽到两位男生的概率； （4）请为做好近视防控提一条合理的建议 【答案】（1）4.8 （2）500人 （3） （4）减少电子产品的使用时长；坚持做眼保健操（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的确定方法进行计算即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）利用列表法进行求解即可； （4）根据要求，给出合理建议即可． 【小问1详解】 解：将数据排序后，第5个数据为4.8， 故中位数为4.8； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计该校八年级右眼视力不良的学生约为500人； 【小问3详解】 解：由题意，列表如下： 男1 男2 女 男1 男1，男2 男1，女 男2 男2，男1 男2，女 女 女，男1 女，男2 共6种等可能的结果，其中恰好抽到两位男生的结果有2种， ∴； 【小问4详解】 解：减少电子产品的使用时长；坚持做眼保健操（答案不唯一，合理即可）． 20. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4000米的污水排放主干管道，为减少施工对城市交通所造成的影响，施工方优化了施工方案，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前2天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过12万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道分别为400米，500米 （2）该公司原计划最多应安排40名工人施工 【解析】 【分析】（1）设原计划每天铺设管道米，根据提前2天完成铺设任务，列出分式方程进行求解即可； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据题意，列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米， 根据题意得， 解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ． 答：原计划与实际每天铺设管道分别为400米，500米． 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排名工人施工，（天）， 根据题意得， 解得， 的最大整数值为40． 答：该公司原计划最多应安排40名工人施工. 21. 如图，某反比例函数的图象经过点和点（点在点的右侧），分别过点作轴于点，作轴于点，连接，． （1）求的值； （2）若五边形的面积为12，求直线的表达式； （3）请根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法确定反比例函数解析式即可； （2）过点B作交于点N，得出四边形均为矩形，设，得出，再由题意建立方程求解得出，再利用待定系数法求解即可； （3）结合函数图象及交点即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴； 【小问2详解】 过点B作交于点N，如图所示： ∵轴，轴， ∴四边形均为矩形， ∴， 设， ∴， ∴ ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵五边形的面积为12， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴即反比例函数大于一次函数， ∴或． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 23. 【方法探索】 如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解． （1）请在此思路提示下，求出的长． 【方法应用】 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，，求的长； （3）如图3，在中，，，是外一点，连接，，．已知，．求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，利用等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，．得出，利用勾股定理求解即可； （2）连接，将绕点顺时针旋转得到，得出为等边三角形，．确定，，三点共线．过点作于点，则，再由勾股定理求解即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，得出，再由旋转的性质确定，，，即可求解 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得到，如答图1， ，，， 为等边三角形， ，． ， ， 在中，由勾股定理得： ． 【小问2详解】 如答图2，连接，将绕点顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ． ， ，即，，三点共线． ， 过点作于点，则． 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得； 【小问3详解】 如答图3，将绕点顺时针旋转得到，连接， 过点作于点， ，，， ． ， 在中，， ， 由旋转的性质得：，， 则， 在中， ． ，， ， 在中，， 由旋转的性质得：． 24. 已知抛物线：与直线：交于，两点，其中点在轴上． （1）若点的横坐标为，直线与轴交于点，求的值； （2）在（1）的条件下，若为线段上一点，过点作轴交抛物线于点，求四边形面积最大时点的坐标； （3）若，为该抛物线上不同的两点，，且满足，已知抛物线存在最小值，设，请判断是否为定值，若为定值，请求出的值；若不是定值，请确定其取值范围． 【答案】（1） （2） （3）为定值4 【解析】 【分析】（1）把代入得，得出代入得出的值； （2）根据题意，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解； （3）根据已知得出，根据抛物线存在最小值得出，进而得出，再分别用表示出，代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令，得； ， 将代入，得， 解得． 【小问2详解】 解：， 抛物线， 当时，， ； 如图， 由题意得：， ∴， 时，四边形的面积最大， 把代入得， 四边形面积最大时点的坐标为； 【小问3详解】 解：为定值．理由如下： ， ，即， ∵，且抛物线的最小值为， ， 解得（舍）， ， 、为该抛物线上不同的两点， ， ， ， 即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $