第二章 直线和圆的方程 单元检测卷--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设直线 的倾斜角为 （），且 ，则直线 的斜率 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2．已知直线 与 平行且不重合，则实数 的值为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 3．已知点 ，，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4．若方程 （）表示一个圆，则当该圆的半径最大时，该圆的面积为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．已知圆 ，点 ，则过点 且被圆 截得的弦长为 的直线共有（　　） A． 条　　　　B． 条　　　　C． 条　　　　D． 条 6．已知圆 与圆 相交，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知圆 与直线 （）交于 、 两点，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8．已知圆 与直线 。若圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 ，则 的值为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 或 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．如图 1，已知直线 ，，（图中 为 与 的交点），则下列结论正确的是（　　） A．　　　　 B． 的倾斜角大于 的倾斜角　　　　 C． 与 的交点 的坐标为 　　　　 D．坐标原点 到直线 的距离为 图 1 10．已知圆 ，直线 （），则下列结论正确的是（　　） A．直线 恒过定点 　　　　 B．存在实数 ，使得直线 与圆 相切　　　　 C．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 　　　　 D．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点恰有 个 11．已知圆 与圆 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时，两圆相交　　　　 B．当 时，两圆相交　　　　 C．当两圆外切时，　　　　 D．当 时，两圆有且只有 个公共点 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．点 关于直线 的对称点的坐标为＿＿＿＿＿． 13．已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为＿＿＿＿＿． 14．已知圆 ，直线 。若圆 上存在点到直线 的距离等于 ，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）如图 2，已知 的顶点为 ，，，其中 为其外接圆的圆心。 图 2 （1）求 边所在直线的方程。 （2）求 边上的高所在直线的方程，并求 的面积。 （3）求 外接圆的方程。 16．（15 分）已知圆 ，直线 （）。 （1）证明：无论 取何实数，直线 恒过定点，并求出该定点的坐标。 （2）求直线 被圆 截得的弦长的最小值，并求出此时直线 的方程。 （3）求圆 关于直线 对称的圆 的方程。 17．（15 分）如图 3，已知圆 与圆 交于 、 两点。 图 3 （1）求直线 的方程。 （2）求弦 的长。 （3）求经过 、 两点，且圆心在直线 上的圆 的方程。 18．（17 分）如图 4，已知圆 ，直线 （图中为 时的情形，虚线为与直线 平行且到 的距离为 的两条直线）。 图 4 （1）求圆 的圆心坐标和半径。 （2）若直线 与圆 相切，求 的值。 （3）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求 的值。 （4）是否存在实数 ，使得圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。 19．（17 分）如图 5，已知点 ，，动点 满足 ，记点 的轨迹为曲线 。 图 5 （1）求曲线 的方程，并说明曲线 是什么图形。 （2）设点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 、，求切线长 的最小值及此时点 的坐标。 （3）设点 在曲线 上，求 的最大值。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．【答案】B　【解析】由 两边平方得 ，所以 。又 ，故 ，于是 ，即 ，。 由 ，且 ，得 。于是 ，，所以 。 2．【答案】B　【解析】两直线平行的充要条件是 ，即 ，解得 或 。 当 时，，即 ；，两直线重合，不符合题意。 当 时，，，即 ，两直线平行且不重合，符合题意。 所以 。 3．【答案】C　【解析】点 、 都在 轴同侧。作点 关于 轴的对称点 ，则 ，故 ，当且仅当 、、 三点共线（ 为直线 与 轴的交点）时取等号。 由两点间距离公式得 ，所以 的最小值为 。 4．【答案】A　【解析】将方程配方得 。 方程表示圆，需 ，解得 。此时半径 ，而 ，当 时取最大值 ，且 。 所以 的最大值为 ，该圆的面积 。 5．【答案】C　【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。因为 ，所以点 在圆内。 设圆心 到过点 的直线的距离为 ，则弦长 ，得 ，即 。又过点 的直线到圆心 的距离 的取值范围为 ，而 ，故满足条件的直线有 条（关于直线 对称）。 6．【答案】B　【解析】圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 。两圆的圆心距 。 两圆相交的充要条件是 ，即 。 由 得 ，恒成立；由 得 ，即 ，所以 。 7．【答案】B　【解析】直线 的方程可化为 ，故直线 恒过定点 。 因为 ，所以点 在圆 内，直线 与圆 恒有两个交点。 设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，当 最大时 最小。而 （当 时取等号），所以 。 8．【答案】C　【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。设圆心 到直线 的距离为 ，则 。 到直线 的距离等于 的点的集合是与 平行且到 的距离为 的两条直线，它们到圆心 的距离分别为 与 。圆 上恰有三个点满足条件，等价于这两条直线中一条与圆相切（ 个公共点）、另一条与圆相交（ 个公共点）。 若 （即 或 ，由 得 ），此时 ，另一条直线与圆相离，只有 个点，不符合。 若 ，即 ，此时 ，即一条直线过圆心（与圆交于 点），另一条与圆相切于 点，共有 个点，符合题意。 所以 ，即 ，解得 或 。 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9．【答案】ACD　【解析】 A： 的斜率 ， 的斜率 。因为 ，所以 ，正确。 B： 的倾斜角 ； 的斜率 ，倾斜角 。因为 ，所以 B 错误。 C：由 解得 ，，即交点 ，正确。 D：原点 到 的距离 ，正确。 10．【答案】ACD　【解析】 A：将 的方程看作关于 的式子， 的系数与常数项分离得 ，由 得定点 ，正确。 B：因为定点 到圆心 的距离 ，即定点在圆内，所以过该定点的每条直线都与圆相交（有 个公共点），不可能相切，错误。 C：由 B 知定点 在圆内，设圆心 到 的距离为 ，则弦长 。因为 ，所以弦长的最小值是 ，正确。 D：当 时，，圆心 到 的距离为 。到 的距离等于 的直线有两条：（过圆心，与圆交于 点）和 （到圆心的距离为 ，与圆相切于 点），故共有 个点，正确。 11．【答案】ABC　【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ；圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。两圆的圆心距 。 A：当 时，。因为 ，所以两圆相交，正确。 B：当 时，。因为 ，且 ，所以两圆相交，正确。 C：两圆外切 ，即 ，所以 ，，，正确。 D：当 时，。因为 ，所以两圆外离，没有公共点，错误。 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．【答案】　【解析】设对称点为 。因为线段 的中点在直线 上，且 （直线 的斜率为 ，故 ），所以 即 ，解得 ，，故对称点为 。 13．【答案】 或 　【解析】圆 的圆心为 ，半径 。因为 ，所以点 在圆外。 设圆心 到直线 的距离为 ，由 得 。 （ⅰ）当直线 的斜率不存在时，，圆心 到 的距离为 ，不符合。 （ⅱ）当直线 的斜率存在时，设 ，即 ，则 平方整理得 ，即 ，解得 或 。 当 时，；当 时，，即 。 所以直线 的方程为 或 。 14．【答案】　【解析】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。设圆心 到直线 的距离为 ，则 。 圆 上的点到直线 的距离的取值范围是 。由题意，距离 属于该区间，即 因为 ， 恒成立；由 得 。 所以 ，即 ，解得 。 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分） （1）因为 ，，所以 。 由点斜式得 边所在直线的方程为 ，即 。……（4 分） （2）因为 边上的高与 垂直，所以其斜率为 。又高所在直线过顶点 ，故方程为 ，即 。……（2 分） 因为 ， 点 到直线 的距离 ， 所以 的面积 。……（3 分） （3）线段 的中点为 ， 的垂直平分线方程为 ，即 。 因为 ，线段 的中点为 ，所以 的垂直平分线方程为 ，即 。 由 解得 ，，即外接圆圆心 。 半径 。 所以外接圆的方程为 。……（4 分） 16．（15 分） （1）将直线 的方程按 整理得 。 令 ，解得 ，。 因为当 ， 时， 对任意实数 都成立，所以直线 恒过定点 。……（5 分） （2）圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。 因为 ，所以点 在圆内，直线 与圆 恒有两个交点。 设圆心 到直线 的距离为 ，则弦长 。当 最大即 时弦长最小，此时 ，最小弦长为 又 ，所以此时直线 的斜率为 ，方程为 ，即 。……（6 分） （3）设圆 的圆心 关于直线 的对称点为 。 因为线段 的中点在直线 上，且 与该直线垂直，所以 即 ，解得 ，，即 。 法二（对称点公式）：点 关于直线 的对称点为 本题中 ，，，。将 代入得 ，故对称点为 。 因为对称变换不改变半径，所以圆 的方程为 。……（4 分） 17．（15 分） （1）圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ；圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。 将两圆方程相减：，得 ，即 。 因为 、 两点的坐标都满足该方程，且该方程表示直线，所以直线 的方程为 。……（5 分） （2）圆心 到直线 的距离 所以 。……（4 分） （3）因为圆 经过 、 两点，所以圆心 在直线 的垂直平分线上，即两圆的连心线上。 由 ， 得连心线的斜率 ，连心线方程为 ，即 。 由 解得 ，，即圆心 。 圆心 到直线 的距离 。 所以半径 ，圆 的方程为 。……（6 分） 18．（17 分） （1）将圆 的方程配方得 ，所以圆心 ，半径 。……（3 分） （2）设圆心 到直线 的距离为 ，则 直线 与圆 相切，则 ，即 ，解得 或 。……（4 分） （3）由弦长 得 ，即 ，所以 ，即 ，解得 或 。……（4 分） （4）存在。到直线 的距离等于 的点的集合是与 平行且到 的距离为 的两条直线，它们到圆心 的距离分别为 和 。 要使圆 上恰有两个点满足条件，只需一条与圆相离（无公共点）、另一条与圆相交（有 个公共点），即 解得 （当 时有 个点，当 时只有 个点，均不符合）。 所以 ，即 ，解得 或 。 故存在实数 ，使得圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 ， 的取值范围为 。……（6 分） 19．（17 分） （1）设 ，由 得 整理得 ，即 。 所以曲线 的方程为 ，它表示以原点 为圆心、 为半径的圆。……（5 分） （2）设 为原点，因为 是圆 的切线， 为切点，所以 ，，于是 要使 最小，只需 最小。因为点 在直线 上，而原点 到直线 的距离为 所以 ，。 此时 ， 到 的垂足为 。设 ，因为 （ 的斜率为 ），故 ，代入 得 ，即 。 所以切线长 的最小值为 ，此时点 的坐标为 。……（6 分） （3）设 ，因为 ，所以 于是 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号（此时 ），故 即 的最大值为 。……（6 分） 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设直线 的倾斜角为 （），且 ，则直线 的斜率 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2．已知直线 与 平行且不重合，则实数 的值为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 3．已知点 ，，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4．若方程 （）表示一个圆，则当该圆的半径最大时，该圆的面积为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．已知圆 ，点 ，则过点 且被圆 截得的弦长为 的直线共有（　　） A． 条　　　　B． 条　　　　C． 条　　　　D． 条 6．已知圆 与圆 相交，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知圆 与直线 （）交于 、 两点，则 的最小值为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8．已知圆 与直线 。若圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 ，则 的值为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 或 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．如图 1，已知直线 ，，（图中 为 与 的交点），则下列结论正确的是（　　） A．　　　　 B． 的倾斜角大于 的倾斜角　　　　 C． 与 的交点 的坐标为 　　　　 D．坐标原点 到直线 的距离为 图 1 10．已知圆 ，直线 （），则下列结论正确的是（　　） A．直线 恒过定点 　　　　 B．存在实数 ，使得直线 与圆 相切　　　　 C．直线 被圆 截得的弦长的最小值为 　　　　 D．当 时，圆 上到直线 的距离等于 的点恰有 个 11．已知圆 与圆 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时，两圆相交　　　　 B．当 时，两圆相交　　　　 C．当两圆外切时，　　　　 D．当 时，两圆有且只有 个公共点 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．点 关于直线 的对称点的坐标为＿＿＿＿＿． 13．已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为＿＿＿＿＿． 14．已知圆 ，直线 。若圆 上存在点到直线 的距离等于 ，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）如图 2，已知 的顶点为 ，，，其中 为其外接圆的圆心。 图 2 （1）求 边所在直线的方程。 （2）求 边上的高所在直线的方程，并求 的面积。 （3）求 外接圆的方程。 16．（15 分）已知圆 ，直线 （）。 （1）证明：无论 取何实数，直线 恒过定点，并求出该定点的坐标。 （2）求直线 被圆 截得的弦长的最小值，并求出此时直线 的方程。 （3）求圆 关于直线 对称的圆 的方程。 17．（15 分）如图 3，已知圆 与圆 交于 、 两点。 图 3 （1）求直线 的方程。 （2）求弦 的长。 （3）求经过 、 两点，且圆心在直线 上的圆 的方程。 18．（17 分）如图 4，已知圆 ，直线 （图中为 时的情形，虚线为与直线 平行且到 的距离为 的两条直线）。 图 4 （1）求圆 的圆心坐标和半径。 （2）若直线 与圆 相切，求 的值。 （3）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求 的值。 （4）是否存在实数 ，使得圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。 19．（17 分）如图 5，已知点 ，，动点 满足 ，记点 的轨迹为曲线 。 图 5 （1）求曲线 的方程，并说明曲线 是什么图形。 （2）设点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 、，求切线长 的最小值及此时点 的坐标。 （3）设点 在曲线 上，求 的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $