第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷 学校：＿＿＿＿＿＿　　考号：＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平行六面体 中，，，，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　 D． 2．已知 ，，且 ，则实数 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 5．设 是空间的一个基底，则下列向量组中可以作为空间一组基底的是（　　） A．，，　　　　　B．，， C．，，　　　　　 D．，， 6．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（　　） A．　　　　　 B．　　　　　 C． 与 相交但不垂直　　　　　D． 7．如图，在棱长为 2 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 8．在棱长为 2 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中正确的是（　　） A．空间中任意两个向量都可以通过平移使它们共面 B．对任意向量 ，，都有 C．若 ，则 与 的夹角为锐角或零角 D．若 且 ，则 10．如图，在棱长为 2 的正方体 中，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知 ，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．，，， 四点共面 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，，，若 ，， 共面，则 _____． 13．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为________． 14．已知 ，，，向量 ，， 两两的夹角均为 ，则 ________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在平行六面体 中，，，，点 为 的中点，点 为 的中点。 （1）用 ，， 表示 与 ； （2）证明：，并由此说明直线 与直线 平行。 16．（15分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，且 ，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 18．（17分）如图，在直三棱柱 中，，，。 （1）证明：； （2）求点 到平面 的距离； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值。 19．（17分）如图，在正四棱锥 中，底面正方形 的边长为 2， 平面 ，垂足 为底面中心，且 。 （1）证明： 平面 ； （2）求侧面 与底面 所成二面角的大小； （3）求点 到平面 的距离。 参考答案（详细版） 【人教A版2019·选择性必修第一册】第一章　空间向量与立体几何　单元检测卷（一）　满分150分 一、单项选择题 1．A　【解析】．故选 A。 2．C　【解析】，．由垂直得数量积为 0：，解得 ．故选 C。 3．A　【解析】，故 ．故选 A。 4．D　【解析】以 为原点建系，则 ，，，数量积 ．故选 D。 5．D　【解析】A 中 ，共面；B 中三向量之和 ，共面；C 中 与 共线，必共面；D 中设 ，由基底唯一性得 ，线性无关，可作为基底．故选 D。 6．D　【解析】，即方向向量与法向量平行，故 ．故选 D。 7．B　【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，，，，，故异面直线所成角为 ．故选 B。 8．C　【解析】以 为原点建系：，，．，，平面 的法向量 ，平面方程 ．故 ．故选 C。 二、多项选择题 9．ABC　【解析】A 正确：任意两个空间向量都可平移到同一平面内；B 正确：由 ， 得；C 正确：；D 错误： 仅说明 ，不能得 。 10．ABC　【解析】以 为原点建系（棱长 2）：A 正确，由向量加法的三角形法则拼接可得；B 正确，，，数量积 ；C 正确，，模为 ；D 错误，，，数量积 。 11．ABD　【解析】，，数量积 ，A 正确；，B 正确；，设 ，得 ，，但 ，矛盾，故四点不共面，C 错误；平面 的法向量 ，，D 正确。 三、填空题 12．5　【解析】，， 共面，则存在实数 ， 使 ，即 ，由前两式得 ，，代入第三式得 。 13．　【解析】以 为原点建系，则 ，，，．由 ， 得平面 的一个法向量 ．取 ，故 。 14．5　【解析】，故 。 四、解答题 15．（1）；。 【解析】因为 为 的中点，所以 ；又 ，所以 ；同理 ，其中 ，，所以 。（每个向量 3 分，共 6 分） （2）证明：。（3 分） 又 ，故 ，所以 。（4 分） 16．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。（3 分） 平面 的一个法向量为 ，，所以 平面 或 平面 ；（2 分） 又 的竖坐标为 ， 平面 ，故 平面 。（2 分） （另法：， 底面， 底面，得证。） （2）。 【解析】，，，故异面直线 与 所成角的余弦值为 。（坐标各 2 分，数量积与夹角计算 4 分） 17．（1）证明：因 平面 ， 平面 ，故 ；（3 分） 又底面 为正方形，故 ；（2 分） ，， 平面 ，故 平面 。（2 分） （2）。 【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，， 为 中点，，。（3 分） 平面 的法向量 ，设所成角为 ，则 。（5 分） 18．（1）证明：因 ， 平面 ，以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，，，。（3 分） ，故 。（2 分） （2）。 【解析】，，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，取 ．取平面内一点 ，则 ，故 。（3 分） （3）。 【解析】平面 的法向量：，，设 ，则 ，取 。（3 分） ，设所成角为 ，。（3 分） 19．（1）证明：底面 为正方形，故 ；（2 分） 平面 ， 平面 ，故 ；（2 分） ，， 平面 ，故 平面 。（1 分） （2）。 【解析】以 为原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴建系，则 ，，。（2 分） ，，设平面 的法向量 ，则 ，取 。（2 分） 底面法向量 ，，故所求二面角为 。（2 分） （3）。 【解析】由（2）知平面 的法向量 ，，（2 分） 。（4 分） 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章　空间向量与立体几何 单元检测卷 学校：＿＿＿＿＿＿　　考号：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平行六面体 中，，，，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　 D． 2．已知 ，，且 ，则实数 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 5．设 是空间的一个基底，则下列向量组中可以作为空间一组基底的是（　　） A．，，　　　　　B．，， C．，，　　　　　 D．，， 6．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（　　） A．　　　　　 B．　　　　　 C． 与 相交但不垂直　　　　　D． 7．如图，在棱长为 2 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 8．在棱长为 2 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题中正确的是（　　） A．空间中任意两个向量都可以通过平移使它们共面 B．对任意向量 ，，都有 C．若 ，则 与 的夹角为锐角或零角 D．若 且 ，则 10．如图，在棱长为 2 的正方体 中，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知 ，，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．，，， 四点共面 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，，，若 ，， 共面，则 _____． 13．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为________． 14．已知 ，，，向量 ，， 两两的夹角均为 ，则 ________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在平行六面体 中，，，，点 为 的中点，点 为 的中点。 （1）用 ，， 表示 与 ； （2）证明：，并由此说明直线 与直线 平行。 16．（15分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，且 ，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 18．（17分）如图，在直三棱柱 中，，，。 （1）证明：； （2）求点 到平面 的距离； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值。 19．（17分）如图，在正四棱锥 中，底面正方形 的边长为 2， 平面 ，垂足 为底面中心，且 。 （1）证明： 平面 ； （2）求侧面 与底面 所成二面角的大小； （3）求点 到平面 的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $