第一章 空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,等于(　　) A. B. C. D. 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,若点F是侧面CC1D1D的中心,且+m-n,则m,n的值分别为(　　) A.,- B.-,- C.- D. 3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　) A.1 B. C. D. 4.已知空间中三点A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是(　　) A.是共线向量 B.的单位向量是(1,1,0) C.夹角的余弦值是 D.平面ABC的一个法向量是(1,-1,3) 5.如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 6.已知两平行平面α,β分别经过原点O和点A(2,1,1),且平面α的一个法向量n=(-1,0,1),则两平行平面之间的距离为(　　) A. B. C. D.3 7.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 8.(2025·广西南宁检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠ABC=90°,AB=BC=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则下列说法不正确的是(　　) A.当μ=0时,AP+PC的最小值为 B.当λ=1时,三棱锥A1-ABP的体积为定值 C.当μ=时,存在两个点P使得平面AB1P与平面ABC的夹角为45° D.当λ=1时,有且仅有一个点P,使得A1C⊥BP 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是(　　) A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直 B.已知点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0)在平面α内,若向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1 C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=2-2,则P,A,B,C四点共面 D.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底 10.已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是(　　) A.=-2 B.cos<>=- C.点O到直线BC的距离为 D.O,A,B,C四点共面 11.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则(　　) A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是　　　　　　.  13.已知空间向量a=(1,0,1),b=(1,1,1),则向量a在向量b上的投影向量的坐标是　　　　　　　.  14.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,AB⊥平面PAD,E是线段PD上的动点(不含端点),若线段AB上存在点F(不含端点),使得异面直线PA和EF所成的角为30°,则线段AF长度的取值范围是　 .  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c. (1)求向量a,b,c的坐标; (2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值. 16.(15分)如图,在四面体OABC中,M是棱OA上靠近A的三等分点,N是棱BC的中点,P是线段MN的中点.设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示向量; (2)若|a|=|b|=|c|=1,且满足　　　　　(从下列三个条件中任选一个,填上序号),求出||的大小.  ①<a,b>=<b,c>=<c,a>=; ②<a,b>=<c,a>=,<b,c>=; ③<a,b>=<c,a>=,<b,c>=. 17.(15分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点. (1)求证:D1F⊥平面ADE; (2)求平面A1C1D与平面ADE的夹角的余弦值. 18.(17分)如图,在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,AB=BC=BD=4,E,F分别为棱BC,AD的中点.求: (1)异面直线AB与EF所成角的余弦值; (2)点E到平面ACD的距离. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥菱形ABCD,∠ABC=60°,点E,F分别是BC,PC的中点,M是线段PD上的点(不含端点). (1)求证:平面AEM⊥平面PAD; (2)当AB=AP时,是否存在点M,使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、单项选择题 1.A 解析. 2.A 解析由于)=,故m=,n=-.故选A. 3.D 解析因为a=(1,1,0),b=(-1,0,-2), 所以ka+b=(k-1,k,-2),2a-b=(3,2,2). 又ka+b与2a-b互相垂直, 所以(ka+b)·(2a-b)=0, 即3k-3+2k-4=0, 解得k=. 4.D 解析对于A,因为A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),所以=(1,1,0),=(-1,2,1),假设存在λ∈R,使得=λ,则(1,1,0)=λ(-1,2,1)=(-λ,2λ,λ),无解,故与 不是共线向量,故A错误; 对于B,因为=(1,1,0),所以的单位向量为=(,0),故B错误; 对于C,因为=(1,1,0),=(-2,1,1),所以cos<>==-,故C错误; 对于D,不妨设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=-1,z=3,故n=(1,-1,3)为平面ABC的一个法向量,故D正确.故选D. 5.A 解析由题意可知,·()==||||cos 90°-||||cos 60°=-2. 6.B 解析由题意可知,两平行平面之间的距离即为点A到平面α的距离. 因为=(2,1,1),平面α的一个法向量n=(-1,0,1),所以点A到平面α的距离为,即两平行平面之间的距离为. 7.A 解析如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则点P(0,0,1),C(1,,0), 故=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 所以cos<,n>==-. 设PC与平面ABCD所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=,故θ=30°. 8.C 解析当μ=0时,点P在线段BC上,当P,C两点重合时,AP+PC取得最小值为AC=,A选项正确; 当λ=1时,+μ,所以=μ,即=μ,又因为μ∈[0,1],故点P在线段CC1上,AA1·AB=,BB1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,故BB1⊥BC,又因为AB⊥BC,AB∩BB1=B,故BC⊥平面ABB1A1,所以点P到平面A1AB的距离为1,所以·1=,B选项正确; 建立空间直角坐标系,如图所示, 则B(0,0,0),C(0,1,0),B1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),设P(a,b,c),则=(a,b,c),=(0,1,0),=(0,0,1),当μ=时,=λ,则(a,b,c)=(0,λ,0)+(0,0,),故a=0,b=λ,c=,所以P(0,λ,),=(-1,0,1),=(0,λ,-),设平面AB1P的法向量为m=(x,y,z),则 令z=2λ,则m=(2λ,1,2λ). 又易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), 设平面AB1P与平面ABC的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=, 令,故8λ2=8λ2+1,方程无解,C选项错误; D选项,当λ=1时,+μ,则(a,b,c)=(0,1,0)+(0,0,μ)=(0,1,μ), 所以a=0,b=1,c=μ,P(0,1,μ),则=(0,1,μ),又=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1), 令=(-1,1,-1)·(0,1,μ)=1-μ=0,则μ=1,所以有且仅有一个点P, 使得A1C⊥BP,D选项正确.故选C. 二、多项选择题 9.ABD 解析选项A,a·b=1×2+(-1)×1+2×=0,所以a⊥b,即l与m垂直,故A正确; 选项B,因为n=(1,u,t)是平面α的法向量,所以n·=0,又=(-1,1,1),所以(-1)×1+1×u+1×t=0,即u+t=1,故B正确; 选项C,因为=2-2,2+(-2)+(-1)=-1≠1,所以P,A,B,C四点不共面,故C错误; 选项D,假设a+b,b+c,c+a共面,可设a+b=m(b+c)+n(c+a)=na+mb+(m+n)c(m,n∈R),则该方程组无解,故a+b,b+c,c+a不共面,{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底,故D正确. 10.ABC 解析∵=(0,1,2),=(2,0,-1), ∴=-2,故A正确; cos<>==-,故B正确; ∵=(1,2,2),=2×1+0×2+(-1)×2=0,∴,又||=, ∴点O到直线BC的距离为,故C正确; 假设O,A,B,C四点共面,则共面,设=x+y(x,y∈R),则此方程组无解,∴O,A,B,C四点不共面,故D错误. 11.BC 解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0),F(0,2,1),D1(0,0,2),A1(2,0,2),G(2,2,1), 对于选项A,=(0,0,2),=(-2,2,1),因为=2≠0,所以直线D1D与直线AF不垂直,故A不正确; 对于选项B,=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 则n·=0,n·=0,即取x=2,则y=1,z=2,于是n=(2,1,2)是平面AEF的一个法向量. =(0,2,-1),因为n·=2-2=0,即n⊥,又A1G⊄平面AEF,所以直线A1G与平面AEF平行,故B正确; 对于选项C,由已知得,u=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,因为cos<n,u>=, 所以平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为,故C正确; 对于选项D,=(1,0,0),点C到平面AEF的距离为=(-1,0,-1),点G到平面AEF的距离为,故D不正确. 三、填空题 12.(-2,)∪(,+∞) 解析因为a与b的夹角为钝角, 所以a·b=-3-2(x-1)-3<0,且, 解得x>-2,且x≠, 所以x的取值范围是(-2,)∪(,+∞). 13.() 解析空间向量a=(1,0,1),b=(1,1,1),则向量a在向量b上的投影向量是(1,1,1)=(),所以向量a在向量b上的投影向量的坐标是(). 14.(0,) 解析设O是AD的中点,连接OP,则OP⊥AD. 由于AB⊥平面PAD,OP⊂平面PAD, 所以AB⊥OP,由于AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD, 所以OP⊥平面ABCD, 由于OP⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD, 以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示, 则P(1,0,1),A(2,0,0),=(1,0,-1), 设F(2,t,0)(0<t<2),E(a,0,a)(0<a<1),则=(2-a,t,-a),PA与EF所成的角为30°,cos 30°=,整理得t2=-2a2+4a-,由于y=-2a2+4a-在区间(0,1)内单调递增,所以0<t2<,0<t<,所以线段AF长度的取值范围是(0,). 四、解答题 15.解(1)∵向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c, 易知y≠0,否则a∥b不成立, ∴ 解得 ∴向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1). (2)∵a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1), ∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5, |a+c|=, |b+c|=, ∴向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为. 16.解(1)连接ON,如图. 因为P是线段MN的中点, 所以),又因为M是棱OA上靠近A的三等分点,N是棱BC的中点,所以)]=a+(c+b)]=a+b+c. (2)选①,<a,b>=<b,c>=<c,a>=, 因为|a|=|b|=|c|=1,a+b+c, 所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+a·b+a·c+c·b=, 所以||=. 选②,<a,b>=<c,a>=,<b,c>=, 因为|a|=|b|=|c|=1,a+b+c, 所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+a·b+a·c+c·b=, 所以||=. 选③,<a,b>=<c,a>=,<b,c>=, 因为|a|=|b|=|c|=1,a+b+c, 所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+a·b+a·c+c·b=, 所以||=. 17.(1)证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2), ∴=(0,1,-2),=(2,0,0),=(2,2,1). ∵=0,=0, ∴, 即D1F⊥DA,D1F⊥DE. 又DA∩DE=D,DA,DE⊂平面ADE, ∴D1F⊥平面ADE. (2)解由(1)可知,平面ADE的一个法向量为=(0,1,-2). 设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z),=(2,0,2),=(0,2,2), 则 即 令x=1,则y=1,z=-1. ∴m=(1,1,-1)为平面A1C1D的一个法向量. 设平面A1C1D与平面ADE的夹角为θ, 则cos θ=|cos<m,>|=. 故平面A1C1D与平面ADE的夹角的余弦值为. 18.解如图,以B为原点,BC,BD,BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,0,4),C(4,0,0),D(0,4,0),E(2,0,0),F(0,2,2). (1)因为=(0,0,-4),=(-2,2,2),所以|cos<>|=,所以异面直线AB与EF所成角的余弦值为. (2)设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 由=(4,0,-4),=(-4,4,0), 得令z=1,则x=y=1, 故n=(1,1,1)是平面ACD的一个法向量. 因为F∈平面ACD,=(-2,2,2),所以点E到平面ACD的距离d=. 19.(1)证明连接AC. ∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°, ∴△ABC是正三角形. ∵E是BC的中点, ∴AE⊥BC, 又AD∥BC, ∴AE⊥AD. ∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD, ∴PA⊥AE, 又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, ∴AE⊥平面PAD. 又AE⊂平面AEM, ∴平面AEM⊥平面PAD. (2)解如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系, 不妨设AB=AP=2, 则AE=, A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),P(0,0,2),F(,1). 设=λ=λ(0,2,-2)(0<λ<1), 则M(0,2λ,2-2λ). 设平面ABF的法向量为n=(x,y,z), 则 取x=1,则y=,z=-. 得n=(1,,-)为平面ABF的一个法向量. 设直线EM与平面ABF所成的角为θ,=(-,2λ,2-2λ), sin θ=, 化简得4λ2-8λ+1=0, 则λ=或λ=(舍去). 故存在点M满足题意,此时. 学科网（北京）股份有限公司 $