3.2双曲线的练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线的练习题 一、单选题 1．过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点，若以的右焦点为圆心，以为半径的圆经过､两点(为坐标原点)，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线与双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．实轴长 C．离心率 D．渐近线 3．若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 5．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 7．已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．已知曲线的方程为，则（　　） A．当时，曲线为双曲线，其焦距为 B．当时，曲线为双曲线，其实轴长为 C．当时，曲线为圆 D．曲线为焦点在轴上的椭圆，则 10．已知双曲线，点在渐近线上，满足．则下列说法正确的是（    ） A．虚轴长为 B．离心率为 C．双曲线的渐近线方程是 D．的面积是 11．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（    ）． A．C的离心率为2 B． C．的面积为4 D．的周长为18 三、填空题 12．已知双曲线的右焦点为，其左、右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交于两点，直线与交于点，若与的面积相等，则的离心率为 ． 13．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为 . 14．设，点在双曲线的右支上，且．若，垂足为，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 16．双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 17．已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 18．双曲线的其中一个焦点坐标为，且与双曲线有相同渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积是，求实数的值. 19．已知双曲线，该双曲线的右顶点为，点在的渐近线上，过B的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点. (1)若的面积为，求的方程； (2)证明：线段的中点为定点. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【解析】，故，不妨设渐近线方程为，则，根据，计算得到答案. 【详解】连接，，故，不妨设渐近线方程为，则. 故，解得，故双曲线方程为 故选：B 2．D 【分析】依次分析两条曲线的焦点，实轴长，离心率，渐近线等即可得答案. 【详解】解：将双曲线化为标准方程得， 所以，对于双曲线，，焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线方程为； 对于双曲线，，焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线方程为； 故双曲线与双曲线具有相同的渐近线. 故选：D 3．D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 4．A 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 5．B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 6．C 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】如图，连接， 由题意可知， 因为为坐标原点，为的中点， 所以，， 则. 故选：C 7．B 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 8．B 【分析】根据双曲线的几何性质可得方程，解得的值，即可得解. 【详解】因为双曲线（，）的上焦点为， 所以，渐近线方程为，则， 因为，所以，解得，即，可知， 则该双曲线实半轴长为 故选：B. 9．BC 【分析】由双曲线、椭圆、圆的性质逐项判断可得. 【详解】对于A：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，实轴长为，故A不正确、B正确； 对于C：当时，曲线的方程为，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故C正确；由C显然D不正确； 故选：BC 10．BC 【分析】求出、、的值，利用双曲线的几何性质可判断ABC选项；不妨设点在第一象限，设点，由题意得出，求出的值，可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，， 对于A选项，双曲线的虚轴长为，A错； 对于B选项，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，双曲线的渐近线方程是，C对； 对于D选项，不妨设点在第一象限，设点， 易知点、，，， 由题意可得， 因为，解得，即点， 故，D错. 故选：BC. 11．ABD 【分析】由双曲线方程可得，由，可得∽，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】如图所示，不妨设A在第一象限，则， 由于，得，， 由于，所以∽， 故，可得，故， 而，故，由，得， 对于A，C的离心率，故A正确； 对于B，由以上分析可知，故B正确； 对于C，在中，，，， 故，故C错误； 对于D，的周长为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用相似三角形的判定定理和性质定理得到比例式. 12．2 【分析】根据双曲线方程和焦点位置，确定右顶点、右焦点以及直线与双曲线的交点的坐标，分别求出直线和的方程，联立求解交点Q的坐标，由面积相等条件列出方程，最终求出离心率. 【详解】双曲线左顶点，右顶点，右焦点（其中， 将代入双曲线方程可得，解得， 不妨设和， 直线的斜率为，其方程为：， 同理可得直线的方程为：，直线的方程为：， 即直线的一般式方程为， 联立直线与直线，解得：，即， 因为与的面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 即：，因为，所以化简得，即， 故答案为：2 13． 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可. 【详解】    由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 14．/0.75 【分析】由题可知，再由点在双曲线的右支上，可得，则，利用二次函数性质即可得到最值. 【详解】, 则 ， 又点在双曲线的右支上，所以， 则， 又，所以，即 所以当时，的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程可得，再应用焦点坐标结合可求得，即可得解； （2）求出直线方程，与双曲线方程联立可得关于x的一元二次方程，韦达定理求出、，直接代入弦长公式即可. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，∴，得，所以 ∴双曲线的方程为 （2）由（1）知，双曲线的右焦点为， ∴经过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线l的方程为， 联立直线与双曲线方程，消y得， 设，，则，， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）将坐标代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，化简可得，再由离心率公式即可求解； （2）由题意可得，，双曲线的方程为，设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，运用消元法和代入法，可得的方程，即可得所求直线方程. 【详解】（1）因为是双曲线上一点， 可得，即为. 由题意可得，，， 可得，即有. （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， 易知直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，，则，①， 又，可得②， 由①②可得，， 代入①可得，解得， 则直线的方程为. 17．(1) (2)①；② 【分析】（1）由点在双曲线上，和实轴长得到，求解即可； （2）①由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由题设条件，可得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； （2） ①因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得    ①， 在中，由余弦定理，得 ， 即    ②， 由①－②，得，即， 所以的面积； ②设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 18．(1) (2)或. 【分析】（1）利用双曲线渐近线方程和可得曲线方程； （2）设，，联立曲线方程得到韦达定理，然后分和表示出三角形面积，再结合韦达定理化简可得. 【详解】（1）由，且渐近线方程为，即，且，所以，，所以双曲线的方程为. （2）设，， 联立方程，得. 所以，，因为直线恒过定点， 则当时，； 当时，； 综上可知，，所以. 即，解得或. 经检验，或都满足，所以或. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到的值，从而得到直线方程即可. （2）设坐标，然后得到直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到点坐标，同理求得点坐标.从而得到，由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系证明即可. 【详解】（1）首先，我们把记为①， 显然直线的斜率存在，设的方程为记为②， ①②联立得：． 则有记为③，记为④， 如图，设， 则记为⑤，记为⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得到，解得． 满足③④式，则直线的方程为． （2）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则；同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得到，即，由中点坐标公式得的中点为定点． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $