第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（二）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版本2019高中数学选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（二） 满分 150 分　　考试时间 120 分钟 姓名：＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本试卷共 19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在本试卷指定位置上。 3．答选择题时，请将所选答案填涂在题号后的括号内；答非选择题时，请将答案写在试卷相应的位置上，书写要工整、清楚。 4．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，作图时须使用黑色字迹签字笔。 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在四面体 中， 为棱 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知空间向量 ，，且 ，则实数 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3．已知 、 是两个非零空间向量，且 ，则 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4．在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，关于平面 的对称点为 ，则 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．如图，在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 （　　） 图 1 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6．已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则平面 与平面 所成锐二面角的大小为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知平面 经过点 ，且一个法向量为 ；平面 经过点 ，且一个法向量为 ，则平面 与平面 的位置关系是（　　） A．平行　　　　B．垂直　　　　C．重合　　　　D．相交但不垂直 8．已知空间向量 、、 不共面，则下列向量组中，能作为空间的一组基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列关于空间向量数量积的命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 B．对任意空间向量 、、，都有 C．若 ，则 或 D．对任意空间向量 、，都有 10．已知 、、、 为空间不共面的四点，则下列条件中，能推出 、、、 四点共面的是（　　） A． B． C． D． 11．已知空间向量 ，，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知空间向量 、、 不共面，且 与 共线，则实数 ＿＿＿＿． 13．已知平面 经过点 ，且一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为＿＿＿＿＿． 14．已知空间向量 、 满足 ，，且 ，则 与 夹角的大小为＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13 分）已知空间向量 ，。 （1）（6 分）求 的坐标与 ，并求 ； （2）（7 分）若向量 与 垂直，求实数 的值。 16．（15 分）如图，在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 图 2 （1）（6 分）求证：； （2）（9 分）求平面 与平面 所成角的余弦值。 17．（15 分）如图，在平行六面体 中，设 ，，， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 图 3 （1）（7 分）用 、、 表示 与 ； （2）（8 分）求证： 平面 。 18．（17 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，， 为棱 的中点。 图 4 （1）（5 分）求证：； （2）（6 分）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）（6 分）求点 到平面 的距离。 19．（17 分）如图，在直三棱柱 中，，。 图 5 （1）（5 分）求异面直线 与 所成角的大小； （2）（6 分）求点 到平面 的距离； （3）（6 分）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 说明：以下答案与解析供批改与讲评使用。多项选择题全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。 一、单项选择题 1．A　【解析】因为 为 的中点，由中点向量公式，，故选 A。 2．A　【解析】由 得 ，即 ，解得 ，故选 A。 3．A　【解析】由 ，两边平方得 ，故 ，即 ，故选 A。 4．B　【解析】点 关于 轴的对称点为 ，关于平面 的对称点为 ，故 ，，故选 B。 5．D　【解析】以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系（不妨设棱长为 ），则 ，，，，故 ，，，故 ，所成角为 ，故选 D。 6．C　【解析】，故两平面所成锐二面角的大小为 ，故选 C。 7．B　【解析】，故 ，从而平面 平面 ，故选 B。 8．B　【解析】A、C、D 中的三个向量均共面：A 中 与 都可由 、 线性表示，故三向量共面；C 中 显然与 、 共面；D 中 ，三向量共面。B 中，假设 、、 共面，则存在实数 、、 使得 ，即 。由 、、 不共面得 ，解得 ，故三向量不共面，能作为空间的一组基底，故选 B。 二、多项选择题 9．BD　【解析】A 项：由 只能得到 ，即 与 垂直，未必有 ，错误。B 项：数量积对加法满足分配律，正确。C 项： 时， 与 可以是两个互相垂直的非零向量，错误。D 项：将 展开即得，正确。故选 BD。 10．ABD　【解析】由共面向量定理的推论：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数组 、、，使 且 。A 项：，共面，正确。B 项：，共面，正确。C 项：，不共面，错误。D 项： 说明 可由 、 线性表示，故 在平面 内，正确。故选 ABD。 11．ABC　【解析】A 项：，正确。B 项：，正确。C 项：由数量积性质，，故垂直，正确。D 项：，，错误。故选 ABC。 三、填空题 12．　【解析】设 ，则 。由 、、 不共面，比较系数得 ，，，解得 ，故 。 13．　【解析】，由点到平面的距离公式，。 14．　【解析】设夹角为 。由 得 ，故 。又 ，故 。 四、解答题 15．（1），，；（2）。 【解析】（1），故 。又 ，，，故 。 （2）由 得 ，即 。因为 ，，，所以 ，即 ，解得 。 【评分建议】（1）正确写出 的坐标得 2 分，求出模长得 2 分，求出 得 2 分；（2）正确写出垂直的充要条件并展开得 4 分，求出 的值得 3 分。 16．（1）证明见解析；（2）。 【解析】以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，，，。 （1），，，故 ，即 。 （2），。设平面 的法向量为 ，由 得 ，取 ，得 。又平面 的一个法向量为 ，故 ，即平面 与平面 所成角的余弦值为 。 【评分建议】（1）建系并正确写出各点坐标得 2 分，求出两个向量坐标、数量积为零并得出结论得 4 分；（2）正确设出法向量并联立方程得 3 分，求出 得 2 分，正确运用面面角公式并得出结果得 4 分。 17．（1），；（2）证明见解析。 【解析】（1）因为 为 的中点，，所以 ；又 ，故 。又 。 （2）由（1）知 ，而 ，故 ，即 。又 平面 ，且 在棱 上，而 平面 ，故 平面 ，即 平面 。所以 平面 。 【评分建议】（1）正确表示 、 得 3 分，正确得出 得 2 分，正确表示 得 2 分；（2）发现 得 3 分，指出 平面 得 2 分，说明 平面 并得出结论得 3 分。 18．（1）证明见解析；（2）；（3）。 【解析】因为 平面 ，四边形 为矩形，故以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，，。 （1），，，故 ，即 。 （2），。设平面 的法向量为 ，由 得 ，取 ，得 。又 ，，故 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 。 （3），由（2）知平面 的一个法向量为 ，，故点 到平面 的距离 。 【评分建议】（1）建系并正确写出各点坐标得 2 分，求出两个向量坐标、数量积为零并得出结论得 3 分；（2）正确求出平面 的法向量得 3 分，正确运用线面角公式并得出结果得 3 分；（3）正确写出距离公式中的向量得 2 分，代入计算并得出结果得 4 分。 19．（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析。 【解析】以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，，。 （1），，，，故 ，所以异面直线 与 所成角的大小为 。 （2），。设平面 的法向量为 ，由 得 ，故 ，取 ，。又 ，故点 到平面 的距离 。 （3）不存在。假设在棱 上存在点 （），使得 平面 ，则 ，其中 为平面 的法向量。故存在实数 ，使得 ，即 且 ，矛盾。所以不存在满足条件的点 。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版本2019高中数学选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（二） 满分 150 分　　考试时间 120 分钟 姓名：＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本试卷共 19 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在本试卷指定位置上。 3．答选择题时，请将所选答案填涂在题号后的括号内；答非选择题时，请将答案写在试卷相应的位置上，书写要工整、清楚。 4．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，作图时须使用黑色字迹签字笔。 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在四面体 中， 为棱 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知空间向量 ，，且 ，则实数 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3．已知 、 是两个非零空间向量，且 ，则 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4．在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点为 ，关于平面 的对称点为 ，则 （　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5．如图，在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 （　　） 图 1 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6．已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则平面 与平面 所成锐二面角的大小为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7．已知平面 经过点 ，且一个法向量为 ；平面 经过点 ，且一个法向量为 ，则平面 与平面 的位置关系是（　　） A．平行　　　　B．垂直　　　　C．重合　　　　D．相交但不垂直 8．已知空间向量 、、 不共面，则下列向量组中，能作为空间的一组基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列关于空间向量数量积的命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 B．对任意空间向量 、、，都有 C．若 ，则 或 D．对任意空间向量 、，都有 10．已知 、、、 为空间不共面的四点，则下列条件中，能推出 、、、 四点共面的是（　　） A． B． C． D． 11．已知空间向量 ，，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知空间向量 、、 不共面，且 与 共线，则实数 ＿＿＿＿． 13．已知平面 经过点 ，且一个法向量为 ，则点 到平面 的距离为＿＿＿＿＿． 14．已知空间向量 、 满足 ，，且 ，则 与 夹角的大小为＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13 分）已知空间向量 ，。 （1）（6 分）求 的坐标与 ，并求 ； （2）（7 分）若向量 与 垂直，求实数 的值。 16．（15 分）如图，在正方体 中，棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 图 2 （1）（6 分）求证：； （2）（9 分）求平面 与平面 所成角的余弦值。 17．（15 分）如图，在平行六面体 中，设 ，，， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 图 3 （1）（7 分）用 、、 表示 与 ； （2）（8 分）求证： 平面 。 18．（17 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形，，，， 为棱 的中点。 图 4 （1）（5 分）求证：； （2）（6 分）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）（6 分）求点 到平面 的距离。 19．（17 分）如图，在直三棱柱 中，，。 图 5 （1）（5 分）求异面直线 与 所成角的大小； （2）（6 分）求点 到平面 的距离； （3）（6 分）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $