第一章 空间向量与立体几何 重难点训练（二）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦高中数学“空间向量与立体几何”单元重难点，通过单选（8题40分）、多选（3题18分）、填空（3题15分）、解答（5题77分）覆盖共面向量定理、线面关系、二面角等核心知识，强化空间观念与运算推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|共面向量定理（第1题）、向量夹角（第2题）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多项选择题|3/18|线面平行（第9题B）、点面距离（第9题D）|能力提升，考查综合判断| |填空题|3/15|二面角中向量长度（第12题）、投影向量坐标（第13题）|情境创新，结合空间想象| |解答题|5/77|线面平行证明（第17题1）、二面角余弦值（第17题2）|综合应用，强化逻辑推理|

第一章 空间向量与立体几何 重难点训练（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 6．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．向量在向量上的投影向量的模长为 7．若向量是直线l的方向向量，向量是平面α的法向量，则直线l与平面α所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 10．集合为空间直角坐标系内的一个点集，任取不同的三个点，存在不全为0的实数，使得．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．向量共面 C． D．若，则该平行六面体的高为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 13．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 14．正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 16．已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 17．如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)已知，，，求二面角的余弦值． 18．如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，是的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图所示，正四棱台，其中，． (1)证明：平面；若棱台高为，求三棱锥的体积． (2)当时，求平面与平面所成的角． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章��空间向量与立体几何��重难点训练（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C D D D BCD CD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 2．B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 3．B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 4．D 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 5．C 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 6．D 【分析】应用向量的坐标运算结合勾股定理计算点到直线的距离判断A，由空间向量基底的性质判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，先求出投影向量再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为 ， 又 为 的一个方向向量， 则点 到直线 的距离，故A错误； 对于B， 因为 即共面，不能作为空间的一个基底，故B错误； 对于C，因为四边形为平行四边形，， 又， ，，， 因为在空间四边形中，与成角， 或， 又， ， 当时，， ，即此时两点间的距离为； 当时，， ，即此时两点间的距离为， 综上所述，两点间的距离为或，故C错误； 对于D，因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影模长为：，故D正确. 7．D 【分析】先求出线面所成角的正弦值，即两向量夹角余弦的绝对值，再结合同角三角函数中平方和为1的关系，求出线面所成角的余弦值. 【详解】设直线l与平面α所成的角为θ，则， 则，因此直线l与平面α所成角的余弦值为. 8．D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 9．BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    10．CD 【分析】分别假设选项中的点属于集合，求的值，即可判断. 【详解】由题意， A，若，则， 即，则，可为任意实数，此时可取 则不全为0，符合题意，即，故A错误； 对B，若，则， 即，则，故B错误； 对C，若，则， 即，则， 此时可取，则不全为0，符合题意，故C正确； 对D，若，则， 即，则，所以，故D正确. 故选：CD． 11．ACD 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 12． 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 13． 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 14． 【分析】先求出正四面体底面中心到顶点距离与体高，由得到动点在底面的轨迹是半径为1的圆；利用向量分解，消去垂直底面的，把异面直线夹角余弦转化为底面向量与夹角的表达式，结合的取值范围求得的范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设正的中心为，连接， 因为为正四面体，所以平面， 在正中，边长为，外接圆半径为， 在Rt中，正四面体的高为， 在Rt中，因为，，所以， 所以点在平面内的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因为平面，且平面，所以， 所以， 设在平面内向量与的夹角为， 则， 由异面直线所成角的定义得， 因为，所以，从而. 15．(1) (2) (3)． 【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解； （2）先设，利用即可求解； （3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，，得， 所以． （2）设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是． （3）由点是直线上的一个动点，得，即，于是 因此， 所以当时，取得最小值． 16．(1)8 (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1）与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． （2），且， ， 即，解得． 17．(1)取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以．     又因为平面，平面， 所以平面．     (2) 【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推证线面平行；（2）借助面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出各点坐标，分别求出两个半平面的法向量，计算法向量夹角余弦，结合图形判断二面角实际为钝角，得到最终余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接．因为，所以． 又因为侧面底面，且平面平面，平面， 所以平面．  如图，在平面中，作，则，，，建立空间直角坐标系． 连接，在中，因为，，所以． 在中，因为，，所以．   所以，，，，，． 所以，． 设平面的法向量是，则，即，     令，则，．于是． 因为平面，所以是平面的一个法向量．   所以． 由题意和图形可知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 18．(1)证明：取的中点，连接， ∵与都是边长为2的等边三角形， ∴，，且， 在中，，即 由勾股定理得，又， 平面，∴平面， 又平面，∴平面平面. (2). 【分析】（1）先取的中点，利用勾股定理证明出，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的定义求解即可. 【详解】（1）略. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 又∵是的中点，∴，， 设平面的法向量为， ，， 则，即， 化简得取， 则，则， 设直线与平面所成角为， 则. 19．(1)连接、交于，连接、交于，如图，上下底面为正方形， 由正棱台性质，可得，且，，， 所以四边形为平行四边形， 则，因为平面，平面， 所以平面． 三棱锥的体积为 (2) 【分析】（1）利用正棱台的性质可得，再由线面平行的性质，即可证明；结合条件，利用棱锥的体积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）证明略. 由正棱台性质，与上下底面均垂直，则， 所以． （2）分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，所以，因为，所以， 则平面与平面所成的角为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $