综合与实践 生活中的优化问题 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

综合与实践 生活中的优化问题 1 学习任务 活动一: 分析快递货车上标准包裹箱的数量 一辆快递货车穿行在 A 城、B 城之间, 中间有若干集散点. 在货车从 A 城驶往 B 城的过程中, 每停靠一个集散点, 要卸下前面各集散点发给该集散点的标准包裹箱各 1 个, 同时又要装上该集散点发往以后各集散点的标准包裹箱各 1 个. 2 学习任务 任务 1: 若 A 城、B 城之间有 10 个集散点(包括 A 城、B 城), 快递货车最多可装 16 个标准包裹箱, 这辆货车能完成这次快递任务吗? 21 > 16, 所以这辆货车不能完成这次快递任务. 卸下 装上 此时车上有 从 A 城出发 到第 2 个点 到第 3 个点 卸下 1 个 (A → 2) 装上 8 个 (2 → 3 到 10) 9 - 1 + 8 = 16 (个) 包裹 卸下 2 个 (A → 3, 2 → 3) 装上 7 个 (3 → 4 到 10) 16 - 2 + 7 = 21 (个) 包裹 9 (个)包裹 装 9 个包裹 (发往第 2 个点到第 10 个点) 3 学习任务 任务 2: 把任务 1 中的问题一般化. 假设 A 城、B 城之间有 n 个集散点(包括 A 城、B 城), 货车经过各集散点时, 其装载的标准包裹箱数量如何变化? 货车上至少有多少个标准包裹箱的空间才能完成快递任务? 离开哪个集散点时, 货车上标准包裹箱的数量最多? 卸下 装上 离开第 x 个集散点时 的包裹箱个数 从第 x 个点到第(x + 1)个点 x 个包裹箱 (前 x 个点发往第 (x + 1)个点) y = x(n - x) [n - (x + 1)]个包裹箱 (第(x + 1)个点发往后 面的[n - (x + 1)]个点) 设货车离开第 x 个集散点(1 ≤ x ≤ n - 1)时, 车上包裹箱数量为 y 个. 4 学习任务 当 n 为偶数时, x = , y 取得最大值 ; 当 n 为奇数时, x = , y 取得最大值 . 当 n 为偶数时, 货车上至少有 个标准包裹箱的空间才能完成任务, 离开第 个集散点时, 货车上的标准包裹箱的数量最多. 当 n 为奇数时, 货车上至少有 个标准包裹箱的空间才能完成任务, 离开第 个集散点时, 货车上的标准包裹箱的数量最多. 5 学习任务 6 学习任务 活动二: 寻找最大射门角度 足球场上, 球员进行直线带球过程中的射门训练, 射门时球员与球门两端会形成一个角度, 什么时候这个射门角度最大? 我们把这个问题简化, 只考虑足球沿草坪直线运动的情况, 射门角度最大的问题可以简化为: 直线上的点在什么位置时与线段两个端点的连线形成的角度最大的问题. 7 学习任务 任务 1: 如图,当球员带球行进的路线 l 与球门(线段 AB)所在的直线平行时, 直线 l 上是否存在点 C, 使 ∠ACB 最大? 为什么? 如果存在这样的点 C, 如何确定点 C 的位置? l C A B 作过点 A, B 且与直线 l 相切的圆, 切点为 C, 则点 C 就是使∠ACB 最大的点. 根据同弧所对的圆周角相等, 且同弧所对圆周角大于顶点在圆外的角, 而切点 C 在圆上, 所以∠ACB 最大. 8 学习任务 任务 2: 如图, 当球员带球行进的路线 m 与球门所在的直线垂直时, 直线 m 上是否存在点 C, 使 ∠ACB 最大? 为什么? 如果存在这样的点 C, 如何确定点 C 的位置? m C A B D ①直线 m 与线段 AB 相交的情况. 当直线 m 与线段 AB 相交时, 交点处∠ACB = 180°, 随着点 C 远离交点, ∠ACB 逐渐减小. 9 学习任务 任务 2: 如图, 当球员带球行进的路线 m 与球门所在的直线垂直时, 直线 m 上是否存在点 C, 使 ∠ACB 最大? 为什么? 如果存在这样的点 C, 如何确定点 C 的位置? m C A B D ②直线 m 与线段 AB 的延长线相交的情况. 当直线 m 与线段 AB 的延长线相交(交于一点 D)时, 点 C 从点 D 出发, 沿直线 m 远离交点 D, ∠ACB 先变大后变小, 故存在唯一的点C 使∠ACB 最大. 此点为直线 m 与 △ABC 的外接圆的切点. 10 学习任务 任务 3: 如图, 当球员带球行进的路线 n 与球门所在的直线相交但不垂直时, 直线 n 上是否存在点 C, 使 ∠ACB 最大? 为什么? 如果存在这样的点C, 如何确定点 C 的位置? n C A B D ①直线 n 与线段 AB 相交的情况. 当直线 n 与线段 AB 相交时, 交点处∠ACB = 180°, 随着点 C 远离交点, ∠ACB 逐渐减小. 11 学习任务 任务 3: 如图, 当球员带球行进的路线 n 与球门所在的直线相交但不垂直时, 直线 n 上是否存在点 C, 使 ∠ACB 最大? 为什么? 如果存在这样的点C, 如何确定点 C 的位置? n C A B D ②直线 n 与线段 AB 的延长线相交的情况. 当直线 n 与线段 AB 的延长线相交(交于一点 D)时, 设过 A, B 且与直线 n 相切的圆为☉O, 切点为 C. C' E 在直线 n 上任取一点 C'(C' ≠ C),连接 AC', BC', 设 AC' 与☉O 交于点 E. 由圆周角定理可知, ∠AEB =∠ACB.∵∠AEB 是△BEC'的外角, ∴ ∠AEB > ∠AC'B. ∴∠ACB > ∠AC'B, 点 C 位于☉O 与直线 n 的切点处时,∠ACB 最大. 12 学习任务 任务 4: 你还能提出类似上述问题的其他现实问题吗? 13 学习任务 活动三: 产品包装箱的设计 生活中我们经常看到很多包装箱, 里面的物品是圆柱体(如饮料瓶、罐头), 怎样设计包装箱才能最省包装纸? 当圆柱体单层排列时, 长方体包装箱的表面积和什么有关? 14 学习任务 任务 1: 当圆柱体产品单层排列时, 研究使得长方体包装箱表面积最小的排列方式. (1)当圆柱体产品底面半径 r = 60 mm, 高 h =123 mm, 规格为 12 个/箱时, 有几种齐排列方案? 分别计算它们的包装箱表面积, 哪种方案的包装箱表面积最小? (2)对于(1)中的圆柱体产品, 按照错排列的方式, 有几种方案? 分别计算它们的包装箱表面积, 哪种方案的包装箱表面积最小? (3)综合比较齐排列与错排列的方式, 找出最省料的包装方式. 齐排列 错排列 15 学习任务 任务 1: 当圆柱体产品单层排列时, 研究使得长方体包装箱表面积最小的排列方式. (1) 列出 12 的因数分解情况: 齐排列 错排列 1×12, 2×6, 3×4, 共 3 种齐排列方案. 小组代表汇报计算结果, 全班对比分析, 得出齐排列的最优方案. 16 学习任务 任务 1: 当圆柱体产品单层排列时, 研究使得长方体包装箱表面积最小的排列方式. 齐排列 错排列 (2)观察错排列示意图, 理解底面圆心位置的变化规律, 推导底面垂直间距为 r.列出错排列的主要方案. 2 行 6 列、3 行 4 列、 6 行 2 列、4 行 3 列时表面积的计算. 对比两种错排列方案的表面积, 得出错排列的最优方案. 17 学习任务 任务 1: 当圆柱体产品单层排列时, 研究使得长方体包装箱表面积最小的排列方式. 齐排列 错排列 (3)对比两种排列方式的最小表面积, 直观感受错排列的优势. 思考并回答“错排列更省材料的原因”, 理解几何优化的本质. 18 学习任务 任务 2: 当圆柱体产品多层排列时, 研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式. 当圆柱体产品底面半径 r = 60 mm, 高 h = 123 mm, 规格为 12 个/箱时, 有几种齐排列方案? 分别计算它们的包装箱的表面积, 哪种方案的包装箱表面积最小? 列出 12 的正整数因数对(层数 > 1): 2层×(6×1)个/层; 2层×(2×3)个/层; 3层×(4×1)个/层; 3层×(2×2)个/层; 4层×(3×1)个/层; 6层×(2×1)个/层; 12层×1个/层. 19 学习任务 任务 2: 当圆柱体产品多层排列时, 研究使长方体包装箱表面积最小的排列方式. 当圆柱体产品底面半径 r = 60 mm, 高 h = 123 mm, 规格为 12 个/箱时, 有几种齐排列方案? 分别计算它们的包装箱的表面积, 哪种方案的包装箱表面积最小? 对比各方案的表面积, 得出结论: 2层×(2×3)个/层的方案表面积最小. 20 学习任务 任务 3: 类比上述解决圆柱体产品包装箱表面积最小问题的方法, 研究长方体产品的包装箱表面积最小的问题. 建立模型: 将长方体产品抽象为长方体, 包装箱也是长方体, 排列方式为 m × n × k (m, n, k 为正整数, 且 m × n × k = 总个数). 21 学习任务 活动四: 成果展示与交流 1. 各小组整理三个活动的成果, 制作演示文稿. 2. 各小组代表依次进行成果展示, 分享小组的学习过程、数学模型、求解过程、验证结论以及心得体会. 3. 其他小组对展示的成果进行评价, 提出问题与建议. 4. 评选优秀小组与优秀成果. 22 感 谢 观 看 $