29.2.1 垂直于弦的直径 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 1 导入新课 如何测量主桥拱的半径? 2 活动一：探究圆的轴对称性 圆是轴对称图形吗? 它有多少条对称轴? 对称轴有什么特点? 高效课堂 请将手中的圆形纸片任意对折, 打开后观察折痕与折痕两侧图形的特点. 再将纸片换个方向对折一次, 观察两条折痕的交点. 圆 轴对称图形 对称轴 直径所在的直线 多少条? 无数条 通过操作可以发现, 圆是轴对称图形, 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 你能证明这个结论吗? 3 如图, 设 AB 是 ☉O 的任意一条直径, 如果 M 为 ☉O 上点 A, B 以外的任意一点, M' 是点 M 关于直线 AB 的对称点, 那么直线 AB 是线段 MM' 的垂直平分线. 因为圆心 O 在 AB 上, 所以 OM' = OM, 因此点 M' 在 ☉O 上, 如果点 M 与点 A 或点 B 重合, 那么结论显然也成立. 高效课堂 要证明圆是轴对称图形, 只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. A B O M M' N 4 活动二：探究发现垂径定理 操作: 在圆形纸片上任意画一条弦 AB(不是直径), 再画出垂直于这条弦 AB 的直径 CD, 交 AB 于点 M. 高效课堂 用刻度尺度量 AM 与 BM 的长度, 并度量弧 AC 与弧 BC 的长度(或通过折叠比较). 垂直于弦的直径平分这条弦, 也平分这条弦所对的两条弧. 测量: 猜想: 5 高效课堂 A B O M D C 如图, 如果直径 CD 垂直于弦 AB, 垂足为 M, 那么 AM = BM, = , = . 如何证明 AM = BM ? 猜想: 思考: 图中能构造出全等三角形吗? 连接 OA, OB 后, △OAM 与△OBM 有什么特点? 等腰三角形“三线合一” 如何证明弧相等? 利用圆的轴对称可证明 AM = BM, = , = . 6 高效课堂 具体过程如下. A B O M D C 如果☉O 的直径 CD 垂直于弦 AB, 垂足为 M, 那么点 A 和点 B 是对称点. 把圆沿着直径 CD 折叠时, 点 A 与点 B 重合, AM 与 BM 重合, , 分别与 , 重合. 因此, AM = BM, = , = . 即直径 CD 平分弦 AB, 并且平分 , . 7 活动三：得出定理，理解内涵 垂径定理: 高效课堂 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 图形与符号语言: 如图, ∵CD 是直径, CD⊥AB 于 M, ∴ AM = BM, = , = . A B O M D C 定理的题设包含几个条件? 结论有几个? ①直径 ①平分弦 ②垂直于弦 ②平分弦所对的两条弧 8 平分弦的直径一定垂直于弦吗? 高效课堂 若被平分的弦是直径, 则直径不一定垂直该弦. A B O M D C 被平分的“弦”不能是直径. 9 活动四：探究推论，初步应用 探究推论: 如果将垂径定理的题设和结论适当互换, 哪些命题仍然成立? 高效课堂 推论 1: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. 推论 2: 弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧. A B O M D C 10 例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今已有 1 400 余年的历史, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶(如图).它的主桥拱是圆弧形, 跨度(弧所对的弦的长)为 37 m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m, 求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 高效课堂 分析: 解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形, 将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 11 高效课堂 由题设可知 AB = 37, CD = 7.23, 解: 如图, 表示主桥拱, 设 所在圆的圆心为 O, 半径长为 R m. A B O D C R 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC, D 为垂足, OC 与 相交于点 C, 连接 OA. 根据垂径定理, D 是 AB 的中点, C 是 的中点, CD 就是拱高. 所以 AD = AB = ×37=18.5, OD = OC - CD = R - 7.23. 在 Rt△OAD 中, 由勾股定理, 得 OA2 = AD2 + OD2, 即 R2 = 18.52 + (R - 7.23)2. 解得 R ≈ 27.3. 因此, 赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 12 课堂评价 1.如图, CD 是☉O 的直径, 弦 AB⊥CD 于点 E, 如果 AB = 4, 则 AE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 B 2.如图,☉O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E, 且 AB = 8, OB = 5, 则 CE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B A B O C D E O A B C D E 13 课堂评价 3.在半径为 5 cm 的☉O 中, 若弦 AB 与弦 CD 平行, 且 AB = 6 cm, CD = 8 cm, 则 AB 与 CD 之间的距离为 ( ) A. 1 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 1 cm 或 7 cm 点拨 先作出圆心与两弦的垂直距离, 作图后很容易用勾股定理算出圆心到弦 AB 的距离为 4 cm, 圆心到弦 CD 的距离为 3 cm. 如图 1, 若 AB, CD 位于圆心异侧, 则两平行弦的距离为 3 + 4 = 7 (cm); 如图 2, 若 AB, CD 位于圆心同侧, 则两平行弦的距离为 4 - 3 = 1 (cm). D 图 1 A B O C D E F 图 2 A B O C D E F 14 课堂评价 4.如图, 圆形拱门的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分, 如果 D 是☉O 中弦 AB 的中点, 连接 DO 并延长交☉O 于点 C, 并且 AB = 2 m, CD = 3 m, 则☉O 的半径为______. 点拨 先连接 OA, OB, 由等腰三角形“三线合一”得 AD = BD = 1 m, ∠ODA = 90°. 设☉O 的半径为 r m, 则 OA = OC = r m, 那么OD = CD - OC = (3 - r) m, 在 Rt△ODA 中, 根据 OA2 = OD2 + AD2, 列出方程, 然后解方程即可. C A B O D 15 A B O C D 课堂评价 5.如图 1, 在半径为 1 的☉O 中, 弦 AB = AC, 点 D 是 BO 的延长线与 AC 的交点, 连接 OA, OC. (1)求证: AO 平分∠BAC. (2)如图 2 ,当OD⊥AC 时, 求 BC 的长. A B O C D 图 1 图 2 16 A B O C D 课堂评价 答案 (1)∵点 A, B, C 都在☉O 上, ∴ OB = OC = OA = 1. (1)求证: AO 平分∠BAC. 在 △AOB 和 △AOC 中, ∴△AOB≌△AOC(SSS). ∴∠OAB =∠OAC, 即 AO 平分∠BAC. 17 课堂评价 (2) 当OD⊥AC 时, 求 BC 的长. A B O C D 如图, 连接 BC. ∵OD⊥AC, ∴AD = DC, ∴BA = BC. ∵AB = AC, ∴BA = BC = AC. ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC = 60°, 在 Rt△AOD 中, ∵OA = 1, ∠OAD=30°, ∴∠OAD = ∠BAC = 30°. ∴ OD = OA = , ∴ AD = = , ∴BC = AC = 2AD = . 18 课堂总结 知识层面: 圆的轴对称性、一个定理(垂径定理)、两个推论. 方法层面: 研究路径: 从图形的对称性(折纸)发现性质. 证明关键: 连接半径构造等腰三角形, 或作垂线构造直角三角形 (化曲为直). 应用核心: “半径 r、弦长的一半 、弦心距 d ” 的勾股定理模型(知二求一). 思想层面: 体会转化与化归的数学思想. 19 作业设计 基础性作业: 教材练习第 1, 2 题. 提高性作业: 设计一道能够应用垂径定理解决的实际生活中的测量问题(如测量一个圆柱形管道的内径), 并写出你的方案. 拓展性作业: 垂径定理反映了圆的轴对称性. 圆还具有旋转不变性. 根据你的观察, 圆的旋转不变性可能会带来哪些几何性质? 20 感 谢 观 看 $