29.2.1　垂直于弦的直径 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦垂径定理及其推论，通过剪圆形纸片对折的情境引入，引导学生动手探究圆的轴对称性，构建从对称性到定理推导的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于结合动手操作与实际问题，如赵州桥半径计算、拱门高度求解，培养学生几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。采用例题与勾股定理结合、跟踪训练巩固的教学方法，课堂小结清晰，助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

29.2.1　 垂直于弦的直径 第二十九章　29.2　圆的有关性质 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学习目标 1.通过折叠、作图等方法，探究圆是轴对称图形，理解圆的轴对称性. 2.利用圆的轴对称性，探索垂径定理，理解垂径定理的内容与其推论的内容.(重点) 3.会利用垂径定理与其推论进行简单的证明和计算，并在解题过程中提高解决问题的能力与数学应用意识.(难点) 情境引入 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？你能得到圆具有怎样的对称性？你能证明这个结论吗？它有什么作用？本节课我们将要学习这个问题. 一、 垂径定理 问题　(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的　　都是圆的对称轴，即圆有　　　条对称轴.理由：如图所示，设AB是☉O的任意一条直径，如果M为☉O上点A，B以外的任意一点，M'是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM'的　　　　 　.因为圆心O在AB上，所以OM'=　　　，因此点M'在　　　上. (2)根据圆是轴对称图形，可知图中的MN=　　　　　，=　　　　　，=　　　　，因此，直径AB平分弦MM'，并且平分. 直线 无数 垂直平分线 OM ☉O M'N 知识梳理 垂径定理的内容如表. 内容 符号表示 垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的______   如图所示，MM'是☉O的一条弦，AB是☉O的一条直径，如果AB⊥MM'，那么MN=M'N，==______ 平分弦 两条弧 例1　(课本P124例1)如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 解　如图，所在圆的圆心为O，半径长为R m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37，CD=7.23， 例1　(课本P124例1)如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 解　所以AD=AB=×37=18.5. 则OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 即R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3. 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为27.3 m. 反思感悟 本题的求解过程给我们两点启示：①垂径定理中的“径”，不仅仅是指一条直径，还可以是一条半径，或者是一条经过圆心的直线；②因为利用垂径定理能得到直角三角形，所以垂径定理常与勾股定理相结合，并且这个直角三角形很有特点，即斜边是圆的一条半径，另两条直角边分别是弦的一半与弦心距. 跟踪训练1　(1)高速公路的隧道和桥梁较多.如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，净高CD=9米，则此圆的半径OA等于 A.5米 B.6米 C.米 D.米 √ 解析　∵CD⊥AB且CD经过点O， ∴AD=AB=6(米)， ∵CD=9米， ∴OD=(9-OA)米， 在Rt△ADO中，根据勾股定理，可得OA2=OD2+AD2， 即OA2=62+(9-OA)2， 解得OA=米. (2)如图，AB为☉O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D.如果AB=10 cm，CD=3 cm，那么☉O的半径 是　 　cm. 解析　连接OA，如图所示， ∵半径OC⊥AB，AB=10 cm， ∴AD=BD=AB=5(cm)， 设☉O的半径为r cm，则OD=(r-3)cm， 在Rt△AOD中，由勾股定理得52+(r-3)2=r2，解得r=， 即☉O的半径为 cm. 二、 垂径定理的推论 知识梳理 垂径定理的推论内容如表. 内容 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 符号表示   如图所示，AB为☉O的直径，CD为☉O的弦，如果AB平分CD，那么AB⊥CD，== 主要应用 ①得到直线之间的垂直关系；②得到相等的弧；③与垂径定理、勾股定理相结合进行计算 例2　如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端AB=1.8 m. (1)求拱门最高点D到地面的距离； 解　如图1，连接AO. ∵C为AB中点，∴AC=BC=0.9 m. ∴CD⊥AB. ∵CD经过圆心O，∴OC===1.2(m). ∴CD=OD+OC=1.5+1.2=2.7(m). 即拱门最高点D到地面的距离为2.7 m. 例2　如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端AB=1.8 m. (2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2 m，高为1.2 m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5 m，判断搬运该桌子时能否通过拱门.(参考数据：≈2.236，≈1.414) 解　如图2，在点O下方作弦EF⊥CD，使得EF=2 m， 设EF与CD交于点J，连接OE. ∵CD⊥EF，CD经过圆心， ∴EJ=JF=1 m. 例2　如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端AB=1.8 m. (2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2 m，高为1.2 m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5 m，判断搬运该桌子时能否通过拱门.(参考数据：≈2.236，≈1.414) 解　∴根据勾股定理，得OJ==≈1.118(m). ∴CJ=OC-OJ=1.2-1.118=0.082(m). 在点O上方作弦GI⊥DC，使得CH=0.5+1.2=1.7(m)， 设GI与CD交于点H，连接OG. 例2　如图1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端AB=1.8 m. (2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2 m，高为1.2 m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5 m，判断搬运该桌子时能否通过拱门.(参考数据：≈2.236，≈1.414) 解　由题意得OG=1.5 m，OH=0.5 m， ∴GH≈1.414 m，GI=2.828 m， ∵0.5>0.082，2.828>2， ∴搬运该桌子时能够通过拱门. 反思感悟 垂径定理与其推论的文字类似，是两个极易混淆的定理，因此容易出现用错用混的错误.实际上，它们明显的不同是已知条件不同，前者的已知是直径与弦垂直，而后者是直径平分弦(不含直径). 跟踪训练2　如图，☉O的直径AB与弦CD(不是直径)交于点E，且CE=DE，∠A=30°，OC=4，那么CD的长为 A.2 B.4 C.4 D.8 √ 解析　∵☉O的直径AB与弦CD(不是直径)交于点E，且CE=DE， ∴AB⊥CD. ∵∠A=30°，∴∠COB=60°，得∠OCE=30°，∴OE=OC=2. ∴Rt△OCE中，根据勾股定理，得CE===2，∴CD=4. 课堂小结 1.下列说法正确的是 A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于直径的弦平分这条直径 D.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 √ 随堂演练 随堂演练 解析　垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项A正确； 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，选项B错误； 垂直于直径的弦被直径平分，选项C错误； 过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项D错误. 2.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=6，CD=4，则☉O的半径长是 A. B.3 C.4 D.5 √ 随堂演练 随堂演练 解析　连接OC，如图， 设圆的半径是r， ∵CD⊥AB， ∴CE=CD=×4=2， ∵BE=6， ∴OE=6-r， 在Rt△CEO中，根据勾股定理得OC2=OE2+CE2，∴r2=(6-r)2+22， 解得r=，∴☉O的半径长是. 3.河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦AB长为16 m，轮子的吃水深度CD为2 m，则轮子的直径为 A.34 m B.32 m C.20 m D.17 m 随堂演练 √ 解析　连接OA，如图所示，由条件可知AD=AB=8(m)，设轮子的半径为r m， 由题意得OD=(r-2)m，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2， ∴r2=(r-2)2+82， ∴r=17， ∴轮子的直径为34 m. 4.如图，☉O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为 A.2 B.3 C.4 D.5 随堂演练 √ 解析　①当点M与点A或点B重合时，OM最长，等于半径5； ②∵半径为5，弦AB=8， ∴当∠OMA=90°时，OA=5，AM=4， ∴OM最短为=3， ∴3≤OM≤5，因此OM不可能为2. 5.如图，☉O的半径为2，弦AB=2，E为的中点，OE交AB于点F，则EF的长为　　　. 随堂演练 1 解析　∵E为的中点，∴OE⊥AB于点F， ∵AB=2，∴AF=BF=， 在Rt△OAF中，OA=2，OF===1， ∴EF=OE-OF=2-1=1. 谢谢观看 $