专题25.2 降次--解一元二次方程（7大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“降次——解一元二次方程”核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等基础解法，衔接根的判别式、韦达定理及换元法等综合应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料以分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）设计为亮点，融入几何图形应用、新定义问题等情境，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）与数学眼光（抽象能力、创新意识），课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题25.2 降次--解一元二次方程 知识点1：直接开平方法 　　1、适用方程形式：可化为或的一元二次方程，且需满足方可求解。 　　2、根的判定规则 的取值范围 方程根的情况 有两个不相等的实数根， 有两个相等的实数根， 无实数根 　　3、解题步骤：先将方程整理为标准平方形式，再对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程，求解得到原方程的根。 知识点2：配方法 　　1、定义：通过配方将一元二次方程左边化为完全平方式，右边为常数，再利用直接开平方法降次求解的方法。 　　2、通用解题步骤（五步配方法） 　　一移：移项，将常数项移至方程右侧，含未知数项留在左侧； 　　二化：二次项系数化为1，方程左右两边同除以二次项系数； 　　三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，完成配方； 　　四开：对完全平方式直接开平方； 　　五解：解一元一次方程，得到方程的两个根。 　　3、核心依据：完全平方公式，是配方变形的理论基础。 　　4、拓展应用：可用于求二次三项式的最值、比较代数式大小、判断几何图形形状等。 知识点3：一元二次方程根的判别式 　　1、判别式定义：对于一元二次方程，式子叫做根的判别式。 　　2、判别式与根的对应关系 判别式取值 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 　　3、核心用途：不解方程判断根的情况、根据根的情况求参数取值范围。 知识点4：公式法 　　1、求根公式：当时，一元二次方程的根为。 　　2、解题步骤：先将方程化为一般形式，确定的值；计算判别式；根据的取值，代入公式求根或判定无实根。 知识点5：因式分解法 　　1、定义：将一元二次方程右边化为0，左边因式分解为两个一次式的乘积，令两个一次式分别为0，实现降次求解的方法，是解方程最简便的常用方法。 　　2、解题四步骤：一移（右项归0）、二分（左边因式分解）、三化（拆为两个一次方程）、四解（求方程根）。 　　3、常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 知识点6：特殊解方程方法 　　1、换元法：将方程中重复出现的代数式设为新未知数，简化复杂高次、复合方程，实现化繁为简、降次求解。 　　2、绝对值方程解法：利用分类讨论思想，根据绝对值内代数式的正负性分段去绝对值，转化为普通一元二次方程求解，舍去不符合范围的根。 知识点7：根与系数的关系（韦达定理） 　　1、核心结论：若一元二次方程的两根为，且，则，。 2、适用场景：不解方程求两根代数式的值、已知一根求另一根、根据根的关系求参数、综合判别式求解综合问题。 【基础必考题型】 【题型1】直接开平方法解方程 1.核心知识点 　　掌握与型方程的求解规则，明确非负数开平方的双值性，区分方程有无实数根的条件。 2.解题方法技巧 先整理方程为标准平方形式，判断右侧常数正负；正数开平方得两个互为相反数的根，0得两个相等实根，负数无实根；避免漏写负根。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开方法求出的值即可； （2）先化简，再利用直接开方法求出的值即可． 【详解】（1）解：直接开平方，得， 解得，． （2）解：方程可化为， 则， 直接开平方，得， 解得，． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程左边为完全平方式，直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【变式题1-3】.（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 【题型2】基础配方变形 1.核心知识点 　　掌握完全平方公式的逆用，熟练完成二次项系数为1和不为1的多项式配方变形，理解配方的核心是补全一次项系数一半的平方。 2.解题方法技巧 二次项系数不为1时，先提取系数再配方；配方变形严格遵循等式性质，左右两边同步加减常数，保证等式恒等。 【例题2】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解； （2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， 或； 解得：或； （2）， ， ， ， ， 所以或， 解得：或． 【题型3】根的判别式判断根的情况 1.核心知识点 　　熟记判别式的计算方法，掌握判别式正负与一元二次方程根的数量的对应关系。 2.解题方法技巧 先将方程化为一般形式，准确识别（含符号）；精准计算判别式，根据取值直接判定根的情况，无需解方程。 【例题3】.（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用根的判别式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根． 【题型4】因式分解法解方程 1.核心知识点 　　掌握提公因式、公式法、十字相乘法因式分解，理解因式分解降次的数学思想，熟练掌握解方程四步流程。 2.解题方法技巧 优先移项使方程右侧为0，严禁直接约去含未知数的因式（避免漏根）；根据方程结构选择最简因式分解方式。 【例题4】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 直接开平方，得． 即或， 解得． （2）解：， 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 【题型5】公式法规范解方程 1.核心知识点 　　熟记一元二次方程求根公式，掌握公式法通用解题流程，明确公式法适用于所有有实根的一元二次方程。 2.解题方法技巧 规范书写解题步骤，先判判别式再代入公式；根式结果及时化简，区分两个相等、不相等实根的书写格式。 【例题5】.（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小颖在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程，老师判了错误． 解：将原方程化为一般形式，得： …第一步； 这里，，…第二步； …第三步； …第四步； 即，…第五步． (1)小颖从第______步开始出错填序号“一、二、三、四、五”中其中一个； (2)请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 【答案】(1)一 (2) 解：将原方程化为一般形式为， ，，， ， ， ，． 【分析】本题考查了解一元二次方程——公式法，熟练掌握用公式法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤判断即可； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：第一步移项没有变符号，出现错误， 故答案为：一； （2）略 【变式题5-3】.（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 【培优高频题型】 【题型6】根据根的情况求参数范围 1.核心知识点 　　结合根的判别式与一元二次方程定义，兼顾二次项系数不为0的隐藏条件，求解参数取值范围，含分类讨论思想。 2.解题方法技巧 先根据根的情况列判别式不等式，再结合一元二次方程定义排除二次项系数为0的情况，综合确定参数范围。 【例题6】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 【变式题6-1】.（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列不等式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 【题型7】根与系数关系基础求值 1.核心知识点 　　掌握韦达定理核心公式，能将含两根的代数式（和、积、倒数和、平方和等）变形为仅含两根和与积的形式，整体代入计算。 2.解题方法技巧 熟记常见代数式变形公式，不解方程、不单独求根；计算前必须验证判别式≥0，保证方程有实根。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 【变式题7-1】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 【题型8】换元法解复合方程 1.核心知识点 　　运用整体换元思想，将重复出现的复合代数式设为新元，将高次、复杂方程转化为普通一元二次方程，实现降次化简。 2.解题方法技巧 精准选取换元整体，求解新元后回代求原未知数；舍去不符合取值范围的根，避免增根。 【例题8】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·浙江·寒假作业）换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 【压轴素养题型】 【题型9】配方法求代数式最值 1.核心知识点 　　利用配方将二次三项式转化为平方项加常数的形式，结合平方数的非负性，求解代数式的最大、最小值，属于素养型应用题型。 2.解题方法技巧 对代数式恒等变形配方，保留平方整体结构；根据平方项≥0的性质，确定代数式的取值边界，求解最值。 【例题9】.（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【答案】（1）（2） （3） （4），理由如下： 先对配方， 得到              ， 要让为完美数，可令， 即， 又、是整数， 和也是整数，符合“完美数”的定义， 符合条件的一个值为．（答案不唯一） 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为即可； （2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式，对比得出和的值进行计算即可； （3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出，的值，再计算即可； （4）先对进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数的值，使剩余项抵消即可． 【详解】解：（1），符合“完美数”的定义． 故答案为（答案不唯一）； （2）对配方， 得到              ， ， ． 故答案为； （3）对式子进行配方                                     ， ， 且， ， ． 故答案为； （4）略 【题型10】判别式与韦达定理综合求值 1.核心知识点 　　综合运用根的判别式、韦达定理、方程根的定义，解决含参数、代数式求值、根的范围限定的综合问题，是中考高频题型。 2.解题方法技巧 先利用判别式锁定参数范围，再用韦达定理整体代入，结合方程根的降次思想化简高次代数式，分步求解。 【例题10】.（25-26八年级下·北京房山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 【题型11】方程解与几何图形综合应用 1.核心知识点 　　结合三角形边长、几何图形面积等情境，利用一元二次方程的根求解几何参数，融合几何直观与数学建模素养。 2.解题方法技巧 利用方程根求出边长、线段长度后，结合几何三边关系、面积公式检验根的合理性，舍去不符合几何情境的根。 【例题11】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 【变式题11-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为16或14 【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0； （）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况． 【详解】（1）证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 【点睛】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·河南洛阳·期末）你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为______． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为______． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为______． (1)将横线上的内容补充完整． (2)请利用上述的思考过程，设计求方程正解的过程． (3)仿照上述的思考过程，请你写出求方程负解的过程． 【答案】(1)3；； (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、利用平方根解方程，熟练掌握几何方法是解题关键． （1）利用长方形的长减去宽可得小正方形的边长；先求出大正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得大正方形的面积；先求出，再根据平方根的性质可得，由此即可得； （2）先将方程变形为，再构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为2，大正方形的边长为，参考（1）的方法求解即可得； （3）先将方程变形为，再令，则，然后构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为2，大正方形的边长为，参考（1）的方法求解即可得． 【详解】（1）解：第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，即， ∵和都为边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， 可求得方程的正解为． 故答案为：3；；． （2）解：对于方程， 将方程变形为， ∴，即， 如图1，构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3， 如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∵大正方形的面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ∴，即， ∵为长方形的边长， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴方程的正解为． （3）解：对于方程， 将方程变形为， ∴，即， 令，则，即， 如图1，构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3， 如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∵大正方形的面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ∴，即， ∵为长方形的边长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴方程的负解为． 【题型12】创新定义型方程求解 1.核心知识点 　　结合新定义运算、跨学科情境、探究式命题，将陌生运算规则转化为一元二次方程，考查知识迁移与创新思维。 2.解题方法技巧 读懂新定义规则，严格按照定义转化为常规方程，再选用合适方法求解，结合题目限定条件筛选有效解。 【例题12】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 易错点 1、直接开平方法漏根：开平方时忽略正负双值，只写正根，或对的情况误写两个不等根。 2、配方违背等式性质：配方时仅在方程左边加常数，右边未同步添加，导致方程变形错误；二次项系数不为1时，未先化1直接配方。 3、判别式应用遗漏条件：含参数一元二次方程，利用判别式求范围时，忘记二次项系数a≠0的隐藏限制。 4、因式分解法漏根：方程两边直接约去含未知数的因式，丢失使因式为0的根，造成解题失误。 5、韦达定理使用前提缺失：使用根与系数关系计算时，未验证，在方程无实根的情况下盲目计算。 重点 1、四大基础解法：熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的解题步骤，能规范求解各类常规一元二次方程。 2、根的判别式应用：精准计算判别式，能不解方程判断根的情况，熟练根据根的情况求解参数取值。 3、韦达定理基础应用：掌握两根和、两根积的核心公式，能完成基础代数式整体代入求值。 4、配方法的拓展应用：掌握利用配方法求代数式最值、比较代数式大小的核心思路。 难点 1、解法择优与综合运用：根据复杂方程结构快速选择最优解法，灵活切换多种方法解题。 2、综合题型解题：判别式、韦达定理、方程根的定义、几何情境的综合应用题，需要多知识点融合、分类讨论、整体降次思想。 3、创新题型迁移应用：新定义、跨学科、探究式题型，需要灵活迁移知识点，拆解陌生情境转化为常规方程问题。 4、含绝对值、换元法的复杂方程求解：分类讨论不重不漏，换元后回代检验，精准筛选有效根。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足有两实数根、两根和为2，结合根与系数的关系及判别式判断； 【详解】解：A选项：方程，两根和为，不符合； B选项：方程，两根和为，，有两个实数根，符合； C选项：方程，，无实数根，不符合； D选项：方程，两根和为，不符合． 2．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 3．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 二、填空题 4．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 6．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 三、解答题 7．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ，． （2）解： 或 ，． （3）解： ，． （4）解： 根据题意可知，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 利用公式法解方程得 ，． 8．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 9．有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【答案】(1)③ (2)解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 【分析】（1）过程③应该是，出现错误； （2）根据配方法的步骤进行作答即可； （3）根据配方法的步骤进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2 降次--解一元二次方程 知识点1：直接开平方法 　　1、适用方程形式：可化为或的一元二次方程，且需满足方可求解。 　　2、根的判定规则 的取值范围 方程根的情况 有两个不相等的实数根， 有两个相等的实数根， 无实数根 　　3、解题步骤：先将方程整理为标准平方形式，再对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程，求解得到原方程的根。 知识点2：配方法 　　1、定义：通过配方将一元二次方程左边化为完全平方式，右边为常数，再利用直接开平方法降次求解的方法。 　　2、通用解题步骤（五步配方法） 　　一移：移项，将常数项移至方程右侧，含未知数项留在左侧； 　　二化：二次项系数化为1，方程左右两边同除以二次项系数； 　　三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，完成配方； 　　四开：对完全平方式直接开平方； 　　五解：解一元一次方程，得到方程的两个根。 　　3、核心依据：完全平方公式，是配方变形的理论基础。 　　4、拓展应用：可用于求二次三项式的最值、比较代数式大小、判断几何图形形状等。 知识点3：一元二次方程根的判别式 　　1、判别式定义：对于一元二次方程，式子叫做根的判别式。 　　2、判别式与根的对应关系 判别式取值 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 　　3、核心用途：不解方程判断根的情况、根据根的情况求参数取值范围。 知识点4：公式法 　　1、求根公式：当时，一元二次方程的根为。 　　2、解题步骤：先将方程化为一般形式，确定的值；计算判别式；根据的取值，代入公式求根或判定无实根。 知识点5：因式分解法 　　1、定义：将一元二次方程右边化为0，左边因式分解为两个一次式的乘积，令两个一次式分别为0，实现降次求解的方法，是解方程最简便的常用方法。 　　2、解题四步骤：一移（右项归0）、二分（左边因式分解）、三化（拆为两个一次方程）、四解（求方程根）。 　　3、常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 知识点6：特殊解方程方法 　　1、换元法：将方程中重复出现的代数式设为新未知数，简化复杂高次、复合方程，实现化繁为简、降次求解。 　　2、绝对值方程解法：利用分类讨论思想，根据绝对值内代数式的正负性分段去绝对值，转化为普通一元二次方程求解，舍去不符合范围的根。 知识点7：根与系数的关系（韦达定理） 　　1、核心结论：若一元二次方程的两根为，且，则，。 2、适用场景：不解方程求两根代数式的值、已知一根求另一根、根据根的关系求参数、综合判别式求解综合问题。 【基础必考题型】 【题型1】直接开平方法解方程 1.核心知识点 　　掌握与型方程的求解规则，明确非负数开平方的双值性，区分方程有无实数根的条件。 2.解题方法技巧 先整理方程为标准平方形式，判断右侧常数正负；正数开平方得两个互为相反数的根，0得两个相等实根，负数无实根；避免漏写负根。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： (1)． (2)． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【题型2】基础配方变形 1.核心知识点 　　掌握完全平方公式的逆用，熟练完成二次项系数为1和不为1的多项式配方变形，理解配方的核心是补全一次项系数一半的平方。 2.解题方法技巧 二次项系数不为1时，先提取系数再配方；配方变形严格遵循等式性质，左右两边同步加减常数，保证等式恒等。 【例题2】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【题型3】根的判别式判断根的情况 1.核心知识点 　　熟记判别式的计算方法，掌握判别式正负与一元二次方程根的数量的对应关系。 2.解题方法技巧 先将方程化为一般形式，准确识别（含符号）；精准计算判别式，根据取值直接判定根的情况，无需解方程。 【例题3】.（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式题3-1】.（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【题型4】因式分解法解方程 1.核心知识点 　　掌握提公因式、公式法、十字相乘法因式分解，理解因式分解降次的数学思想，熟练掌握解方程四步流程。 2.解题方法技巧 优先移项使方程右侧为0，严禁直接约去含未知数的因式（避免漏根）；根据方程结构选择最简因式分解方式。 【例题4】.（2026九年级上·全国·专题练习）解方程： 【变式题4-1】.（26-27九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1) (2) 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）解方程： (1)； (2)． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【题型5】公式法规范解方程 1.核心知识点 　　熟记一元二次方程求根公式，掌握公式法通用解题流程，明确公式法适用于所有有实根的一元二次方程。 2.解题方法技巧 规范书写解题步骤，先判判别式再代入公式；根式结果及时化简，区分两个相等、不相等实根的书写格式。 【例题5】.（2026八年级下·全国·专题练习）使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小颖在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程，老师判了错误． 解：将原方程化为一般形式，得： …第一步； 这里，，…第二步； …第三步； …第四步； 即，…第五步． (1)小颖从第______步开始出错填序号“一、二、三、四、五”中其中一个； (2)请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【培优高频题型】 【题型6】根据根的情况求参数范围 1.核心知识点 　　结合根的判别式与一元二次方程定义，兼顾二次项系数不为0的隐藏条件，求解参数取值范围，含分类讨论思想。 2.解题方法技巧 先根据根的情况列判别式不等式，再结合一元二次方程定义排除二次项系数为0的情况，综合确定参数范围。 【例题6】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【变式题6-1】.（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·甘肃定西·期中）若一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【题型7】根与系数关系基础求值 1.核心知识点 　　掌握韦达定理核心公式，能将含两根的代数式（和、积、倒数和、平方和等）变形为仅含两根和与积的形式，整体代入计算。 2.解题方法技巧 熟记常见代数式变形公式，不解方程、不单独求根；计算前必须验证判别式≥0，保证方程有实根。 【例题7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，是方程的两个根，则__________． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·浙江台州·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【题型8】换元法解复合方程 1.核心知识点 　　运用整体换元思想，将重复出现的复合代数式设为新元，将高次、复杂方程转化为普通一元二次方程，实现降次化简。 2.解题方法技巧 精准选取换元整体，求解新元后回代求原未知数；舍去不符合取值范围的根，避免增根。 【例题8】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·浙江·寒假作业）换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 【压轴素养题型】 【题型9】配方法求代数式最值 1.核心知识点 　　利用配方将二次三项式转化为平方项加常数的形式，结合平方数的非负性，求解代数式的最大、最小值，属于素养型应用题型。 2.解题方法技巧 对代数式恒等变形配方，保留平方整体结构；根据平方项≥0的性质，确定代数式的取值边界，求解最值。 【例题9】.（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【变式题9-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知25是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式________； （2）若可配方成（、为常数），则________； 【探究问题】 （3）已知，则________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【题型10】判别式与韦达定理综合求值 1.核心知识点 　　综合运用根的判别式、韦达定理、方程根的定义，解决含参数、代数式求值、根的范围限定的综合问题，是中考高频题型。 2.解题方法技巧 先利用判别式锁定参数范围，再用韦达定理整体代入，结合方程根的降次思想化简高次代数式，分步求解。 【例题10】.（25-26八年级下·北京房山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【题型11】方程解与几何图形综合应用 1.核心知识点 　　结合三角形边长、几何图形面积等情境，利用一元二次方程的根求解几何参数，融合几何直观与数学建模素养。 2.解题方法技巧 利用方程根求出边长、线段长度后，结合几何三边关系、面积公式检验根的合理性，舍去不符合几何情境的根。 【例题11】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【变式题11-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·河南洛阳·期末）你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为______． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为______． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为______． (1)将横线上的内容补充完整． (2)请利用上述的思考过程，设计求方程正解的过程． (3)仿照上述的思考过程，请你写出求方程负解的过程． 【题型12】创新定义型方程求解 1.核心知识点 　　结合新定义运算、跨学科情境、探究式命题，将陌生运算规则转化为一元二次方程，考查知识迁移与创新思维。 2.解题方法技巧 读懂新定义规则，严格按照定义转化为常规方程，再选用合适方法求解，结合题目限定条件筛选有效解。 【例题12】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 易错点 1、直接开平方法漏根：开平方时忽略正负双值，只写正根，或对的情况误写两个不等根。 2、配方违背等式性质：配方时仅在方程左边加常数，右边未同步添加，导致方程变形错误；二次项系数不为1时，未先化1直接配方。 3、判别式应用遗漏条件：含参数一元二次方程，利用判别式求范围时，忘记二次项系数a≠0的隐藏限制。 4、因式分解法漏根：方程两边直接约去含未知数的因式，丢失使因式为0的根，造成解题失误。 5、韦达定理使用前提缺失：使用根与系数关系计算时，未验证，在方程无实根的情况下盲目计算。 重点 1、四大基础解法：熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的解题步骤，能规范求解各类常规一元二次方程。 2、根的判别式应用：精准计算判别式，能不解方程判断根的情况，熟练根据根的情况求解参数取值。 3、韦达定理基础应用：掌握两根和、两根积的核心公式，能完成基础代数式整体代入求值。 4、配方法的拓展应用：掌握利用配方法求代数式最值、比较代数式大小的核心思路。 难点 1、解法择优与综合运用：根据复杂方程结构快速选择最优解法，灵活切换多种方法解题。 2、综合题型解题：判别式、韦达定理、方程根的定义、几何情境的综合应用题，需要多知识点融合、分类讨论、整体降次思想。 3、创新题型迁移应用：新定义、跨学科、探究式题型，需要灵活迁移知识点，拆解陌生情境转化为常规方程问题。 4、含绝对值、换元法的复杂方程求解：分类讨论不重不漏，换元后回代检验，精准筛选有效根。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 4．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 5．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 6．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 三、解答题 7．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) (4)． 8．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 9．有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $