27.2反比例函数的图像和性质（5大知识点+11大题型+分层训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数图像和性质核心知识点，系统梳理k值对图像所在象限、增减性的影响，对称性特征，几何意义及与一次函数关系，构建从图像绘制到性质应用的完整学习支架。 通过表格对比k值特征培养几何直观，项目式探究（如例11响度模型）发展推理能力，分层训练落实应用意识。课中助教师系统授课，课后供学生巩固提升，有效查漏补缺。

27.2反比例函数的图像和性质 学习目标导航 1、掌握画反比例函数图像的方法，能利用表达式的代数特征推理图像的特征。 2、通过观察图像和解析式，探索并理解当k>0和k<0时反比例函数的主要性质（如所在象限、增减性等）。 3、进一步体会函数三种表示方法（解析式、列表、图像）的联系和转化，发展代数推理能力和几何直观能力。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【注意】 （1）在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”； （2）反比例函数的图象的位置和函数的增减性由的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定的符号 知识点二 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 【解题技巧】 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 知识点三 反比例函数的几何意义 值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系 文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接 图示 的几何意义 【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 核心题型◆归纳 题型01 根据反比例函数解析式判断其性质 题型02 比较反比例函数值/自变量的大小 题型03 已知反比例函数增减性求参数 题型04 已知双曲线分布象限求参数 题型05 反比例函数代数最值问题 题型06 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型07 比较反比例系数大小 题型08 根据反比例函数图象确定比例系数k的范围 题型09 与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题 题型10 判断反比例函数图象 题型11 根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 根据反比例函数解析式判断其性质 例1．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限内 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点都在函数的图像上，且时，则 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可得出答案. 【详解】∵反比例函数中； ∴A选项，图像分布在第二、四象限内，说法正确，不符合题意； B选项，当时，随的增大而增大，说法正确，不符合题意； C选项，将代入函数得，故图像经过点，说法正确，不符合题意； D选项，取，，则，代入得，，此时，故该说法不正确，符合题意. 题型02 比较反比例函数值/自变量的大小 例2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应y值后，直接比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 把代入得 把代入得 把代入得 ∵ ∴． 题型03 已知反比例函数增减性求参数 例3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，正确理解反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，函数在每一象限内随的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， 比例系数， 解得：． 故答案为：． 题型04 已知双曲线分布象限求参数 例4．已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__． 【答案】 【详解】解：由题意可知，反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得． 题型05 反比例函数代数最值问题 例5．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，进而根据当时，函数的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解． 【详解】解： ∴反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大， 当时，函数的最大值和最小值之差为4， ， 解得：． 故选：D 题型06 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例6．若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 题型07 比较反比例系数大小 例7．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 题型08 根据反比例函数图象确定比例系数k的范围 例8．反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 题型09 与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题 例9．已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用已知条件写解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可以确定此函数的解析式一般形式，再分析得出符合要求的解析式，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得符合上述条件的函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 题型10 判断反比例函数图象 例10．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 题型11 根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质 例11．项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 【答案】（1）；（2）4，3；（3）见解析；（4）是，0；（5）1．2或；（6）函数图像关于轴对称（不唯一）．（7）图象分别位于三、四象限（不唯一）． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、绝对值、画反比例函数图像等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可解答； （2）将，代入函数解析式求解即可； （3）按照描点、连线的步骤解答即可； （4）根据（3）所得的函数图像解答即可； （5）根据（3）所得的函数图像解答即可； （6）根据（3）所得的函数图像解答即可； （7）类比的图像进行解答即可； 【详解】解：（1）由反比例函数的定义可知：； 故答案为：； （2）当时，；当时，； 故答案为：4，3； （3）根据题意：画出函数图像如下： （4）由（3）函数图像可得：该函数图象是轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为0． 故答案为：是，0； （5）由（3）函数图像可得：该当时，对应的自变量的值约为1．2或． 故答案为：1．2或； （6）由（3）函数图像可得：该函数图像关于轴对称（不唯一）． 故答案为：函数图像关于轴对称； （7）对于函数，当时，该函数图像分别位于三、四象限（不唯一）． ABC分层训练 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 6．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 7．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【答案】6 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求出四边形的面积． 【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、， 所以矩形的面积． 9．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】连接，根据平行线间的距离相等，可得与同底等高，面积相等，利用反比例函数的几何意义求出的值，结合图象所在象限确定的符号，即可得出解析式． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式为， 轴，轴轴， 轴， 的面积的面积， 又的面积， ， ， 又反比例函数的图象的一支位于第二象限， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、坐标系中的平移 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 13．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知双曲线分布的象限，求参数范围、判断反比例函数的增减性、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 14．已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 15．在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】先根据题意确定a的正负，然后再确定二次函数的开口方向和对称轴即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为， 故只有选项C符合题意． 16．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据三角形中线求面积 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】利用平方根解方程、反比例函数与几何综合 【分析】设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 19．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的图象和性质，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握“友好点”的定义，设点，其“友好点”，根据函数的图象和性质，进行解答，即可． 【详解】解：设点，其“友好点”， ∵点的“友好点”在反比例函数的图像上 ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点或点． 20．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 21．若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是____________． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，先画出函数图象，结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：函数的图象如图所示： 故直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是或， 故答案为：或． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求直线围成的图形面积、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2反比例函数的图像和性质 学习目标导航 1、掌握画反比例函数图像的方法，能利用表达式的代数特征推理图像的特征。 2、通过观察图像和解析式，探索并理解当k>0和k<0时反比例函数的主要性质（如所在象限、增减性等）。 3、进一步体会函数三种表示方法（解析式、列表、图像）的联系和转化，发展代数推理能力和几何直观能力。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【注意】 （1）在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”； （2）反比例函数的图象的位置和函数的增减性由的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定的符号 知识点二 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 【解题技巧】 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 知识点三 反比例函数的几何意义 值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系 文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接 图示 的几何意义 【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 知识点五 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 核心题型◆归纳 题型01 根据反比例函数解析式判断其性质 题型02 比较反比例函数值/自变量的大小 题型03 已知反比例函数增减性求参数 题型04 已知双曲线分布象限求参数 题型05 反比例函数代数最值问题 题型06 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型07 比较反比例系数大小 题型08 根据反比例函数图象确定比例系数k的范围 题型09 与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题 题型10 判断反比例函数图象 题型11 根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 根据反比例函数解析式判断其性质 例1．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限内 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点都在函数的图像上，且时，则 题型02 比较反比例函数值/自变量的大小 例2．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型03 已知反比例函数增减性求参数 例3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 题型04 已知双曲线分布象限求参数 例4．已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__． 题型05 反比例函数代数最值问题 例5．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 例6．若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 题型07 比较反比例系数大小 例7．反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型08 根据反比例函数图象确定比例系数k的范围 例8．反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 题型09 与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题 例9．已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______． 题型10 判断反比例函数图象 例10．函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 题型11 根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质 例11．项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． ABC分层训练 1．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 6．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 9．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 13．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 14．已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 15．在反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则二次函数的图象大致是下图中的（     ） A．B． C． D． 16．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 19．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 20．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 21．若直线（m为常数）与函数的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是____________． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $