14.2三角形全等的判定 同步训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

数学 · 八年级上 14.2　三角形全等的判定 第1课时 三角形全等的判定(一)(SAS) 【巩固提升】 1．如图，已知 的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与 全等的三角形是（　） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 2．如图，， 互相平分，且交于点 ，则 与 的关系是（　） A．平行 B．相等 C．平行且相等 D．无法确定 3．如图，已知点 ，，， 在同一条直线上，，，要使 ，还需要添加的一个条件是（　） A． B． C． D． 4．如图，，垂足为 ，且 ，延长 至点 ，若 ，则 的度数为＿＿。 5．6 个边长相等的正方形的组合图形如图所示，则 ＿＿。 6．如图，在 和 中，，，。求证：。 7．如图，， 是四边形 的对角线 上的两点，，，。求证：。 8．如图，在 和 中，，，。 分别交 ， 于点 ，。 (1)求证：； (2)当 时，求 的度数。 9．如图，在 中，， 分别是 ， 两边上的高，在 上截取 ，在 的延长线上截取 ，连接 ，。 (1)求证：； (2)判断 与 的位置关系，并说明理由。 【提优挑战】 10．如图①，正方形 的边 ， 分别在等腰直角三角形 的腰 ， 上，点 在 内，则有 (不必证明)。将正方形 绕点 逆时针旋转一定的角度 ()后，连接 ，。请在图②中用实线补全图形，这时 还成立吗？请说明理由。 第2课时 三角形全等的判定(二)(ASA,AAS) 【巩固提升】 11．在 中，，将 沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　） A．A B．B C．C D．D 12．如图，，，，不能判定 的是（　） A． B． C． D． 13．如图，在 中，点 是高 和 的交点，且 ，，则线段 的长为（　） A． B．4 C． D． 14．如图，在 中， 是 上一点，，，， 三点共线，请添加一个条件＿＿＿，使得 。（添加一种情况即可） 15．如图，有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 点，两条直角边分别与 交于点 ，与 的延长线交于点 ，则四边形 的面积是＿＿。 16．如图，点 和点 在线段 上，，，。求证：。 17．如图，在 中，，将 沿 向下翻折后，再绕点 按顺时针方向旋转 ()，得到 ，其中斜边 交 于点 ，直角边 分别交 ， 于点 ，。 求证：(1)； (2)。 【素养创新】 18．（综合与实践）某数学研究小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如下。课题：测量教学楼的高度 。测量工具：测角仪、皮尺等。测量示意图：如图。测量说明：如图，，，甲同学在小树 与楼 之间的点 处，分别测得 ，，发现 与 互余。测量数据： m， m。请你根据上述信息求出教学楼的高度 。 19．如图，，， 为线段 的中点，，，垂足分别为 ，，那么 ，。这两个结论是否正确？为什么？ 【提优挑战】 20．在 中，，，直线 经过点 ，且 于点 ， 于点 。 【初步探究】(1)当直线 绕点 旋转到图①的位置时，求证：①；②。 【深入探究】(2)当直线 绕点 旋转到图②的位置时，求证：。 【归纳探究】(3)当直线 绕点 旋转到图③的位置时，，， 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。 第3课时 三角形全等的判定(三)(SSS) 【巩固提升】 21．如图所示，，，图中全等三角形的对数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 22．利用基本作图求作三角形，下列条件中不能作出唯一的三角形的是（　） A．已知三边 B．已知两边和其中一边的对角 C．已知两边和它们的夹角 D．已知两角和一边 23．在下列各组条件中，能判定 和 全等的是（　） A．，， B．，， C．，， D．，， 24．如图，已知 与 ()，分别以点 ， 为圆心，同样的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ，，交 ， 于点 ，。以点 为圆心， 的长为半径作弧，在 的内部交弧 于点 ，作射线 。下列结论正确的是（　） A． B． C． D． 25．如图，以 的顶点 为圆心， 的长为半径作弧；再以顶点 为圆心， 的长为半径作弧，两弧交于点 ；连接 ，。若 ，则 的大小为＿＿。 26．如图，在 中，，，，则 ＿＿。 27．如图，，，，，则 的度数是＿＿。 28．如图，点 是直线 外一点，利用直尺和圆规过点 作直线 的平行线（利用“内错角相等，两直线平行”作图）。 29．如图，在 中， 是三角形的中线，点 ， 在直线 上，且 。求证：。 30．如图， 与 交于点 ，，， 是 上两点，且 ，。 求证：(1)； (2)。 【素养创新】 31．如图①，点 ，，， 在同一条直线上，，，。 (1)试说明 ，； (2)把图①中的 沿直线 平移到四个不同位置，如图②③④，仍有上面的结论吗？ 32．（新定义题）如图①，四边形 中，，。我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。 (1)试猜想筝形的对角线 与 有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； (2)如图②，过点 作 交 于点 ，若 ，，求 的长。 第4课时 三角形全等的判定(四)(HL) 【巩固提升】 33．如图，， 于点 ， 于点 ，图中全等三角形的组数是（　） A．2 B．3 C．4 D．5 34．在课堂上，老师发给每人一张印有 (如图所示)的卡片，然后，要同学们尝试画一个 ，使得 。小赵和小刘两位同学先画出了 之后，后续画图的主要过程分别如图所示。老师评价：他俩的作法都正确。小刘判定全等的依据是＿＿，小赵判定全等的依据是＿＿。 35．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图①所示，再将两张三角形纸片摆成如图②所示的形式，使点 ，，， 在同一条直线上。 (1)求证：； (2)若 ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予说明。 【素养创新】 36．【问题背景】如图①， cm，，，垂足分别为 ，， cm。点 在线段 上以 2 cm/s 的速度由点 向点 运动，同时点 在射线 上运动，它们运动的时间为 s(当点 结束运动时，点 随之结束运动)。 【初步探究】(1)若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时，判断 与 是否全等，并判断此时线段 和线段 的位置关系，请分别说明理由。 【深入探究】(2)如图②，若将“，”改为“”，点 的运动速度为 cm/s，其他条件不变，当 的值为多少时， 与 全等？ 参考答案 1．D　解析：甲图有两边与 分别相等，而两边的夹角不一定相等，二者不一定全等。乙图与 有两边及其夹角分别相等，二者全等。丙图与 有两边及其夹角分别相等，二者全等。 2．C　解析：因为 ， 互相平分，所以 ，。又 ，所以 (SAS)。所以 ，，所以 。 3．B　解析：只有选项 B 符合“SAS”，其他选项都是“SSA”，不能判定全等。 4．92　解析：在 和 中，，，，所以 (SAS)。所以 。所以 。 5．135　解析：如图，由“SAS”易证 ，所以 。因为 ，所以 。又因为 ，所以 。 6．证明：因为 ，所以 ，即 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。 7．证明：因为 ，所以 。因为 ，所以 ，即 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。 8．解：(1)证明：因为 ，所以 ，即 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。所以 。(2)由(1)，知 ，所以 。因为 ，，所以 。 9．解：(1)证明：因为 ，，所以 。又因为 ，所以 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。所以 。(2)。理由：因为 ，所以 。又因为 ，，所以 ，所以 。 10．解：补全图形如图所示， 成立。理由：因为 ，所以 ，即 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。所以 。 11．D　解析：A 项，根据“SAS”可以推出剪下的两个三角形全等。B 项，根据“SAS”可以推出剪下的两个三角形全等。C 项，如图，因为 且 ，所以 。因为 ，所以 。因为 ，，所以 (ASA)。进而得到 。D 项，如图，由 C 项可得 。因为 ，，但 是 和 的夹边， 不是 和 的夹边，所以两个三角形不一定全等。 12．C　解析：如图，因为 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。又 ，当 时，(SAS)；当 时，(AAS)；当 时，无法判定两个三角形全等；当 时，又 ，可得 ，所以 (AAS)。 13．B 14．（答案不唯一）　解析：因为 ，所以 ，。所以添加条件 （或 是 的中点），可以使得 (AAS)。添加条件 ，可以使得 (ASA)。进而得到 。 15．16　解析：因为 ，，所以 。又因为 ，，所以 (ASA)，所以四边形 的面积 正方形 的面积 。 16．证明：因为 ，，所以 ，。在 和 中，，，，所以 (AAS)。所以 ，所以 ，即 。 17．证明：(1)由翻折和旋转，知 ，，所以 。因为 ，，所以 。(2)由题意，得 ，。在 和 中，，，，所以 (ASA)。 18．解：因为 m， m，所以 (m)。因为 ，，所以 ，所以 与 互余。因为 与 互余，，，所以 。在 和 中，，，，所以 (AAS)。所以 m。答：教学楼的高度 为 21 m。 19．解：这两个结论都是正确的。理由如下：方法一：因为 ，，所以 ，。所以 。又因为 ，，所以 (ASA)。所以 ，。又因为 为线段 的中点，所以 ，所以 。方法二：因为 ，所以 。又因为 ，所以 。所以 。所以 。又因为 ，，所以 (AAS)。所以 ，。又因为 为线段 的中点，所以 ，所以 。 20．解：(1)证明：①因为 ，所以 ，。所以 。因为 ，所以 (AAS)。②由①，知 ，所以 ，。所以 。(2)证明：因为 ，所以 。又因为 ，所以 (AAS)。所以 ，，所以 。(3)(或 ，)。理由如下：因为 ，所以 。又因为 ，所以 (AAS)。所以 ，，所以 。 21．B　解析：因为 ，，，所以 (SSS)。所以 。同理得 。又因为 ，，所以 (AAS)。 22．B　解析：A 项，符合“SSS”判定方法，能作出唯一的三角形，不符合题意；B 项，已知两边和其中一边的对角，不符合全等三角形的判定方法，不能作出唯一的三角形，符合题意；C 项，符合“SAS”判定方法，能作出唯一的三角形，不符合题意；D 项，符合“ASA”或“AAS”判定方法，能作出唯一的三角形，不符合题意。 23．D 24．D　解析：如图，连接 。由作图过程可知，，，。所以 (SSS)。所以 。 25．65　解析：因为以顶点 为圆心， 的长为半径作弧；以顶点 为圆心， 的长为半径作弧，两弧交于点 ，所以 ，。在 和 中，，，，所以 (SSS)。所以 。 26．97　解析：在 和 中，，，，所以 (SSS)。所以 ，所以 。 27．127　解析：因为 ，，，所以 (SSS)。所以 ，，所以 。 28．解：作法：(1)如图，过点 任意作一条直线 交 于点 ；(2)以点 为角的顶点， 为角的一边，作 ；(3)反向延长 ，得直线 ，则直线 。 29．证明：因为 是 的中线，所以 。因为 ，所以 ，。所以 (AAS)。所以 。 30．证明：(1)在 和 中，，，，所以 (SSS)。所以 。(2)因为 ，所以 ，所以 ，所以 。 31．解：(1)因为 ，所以 ，即 。在 和 中，，，，所以 (SSS)。所以 ，，所以 ，，所以 。(2)在题图②中，， 和 在同一条直线上；题图③④⑤中，，。证明方法与(1)类似。 32．解：(1)筝形的对角线 与 的位置关系是 。证明如下：在 和 中，，，，所以 (SSS)。所以 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。所以 。因为 ，所以 ，所以 。(2)因为 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。过点 作 (图略)。由作图可知 。在 和 中，，，，所以 (AAS)，所以 。因为 ，，所以 ，所以 。 33．C　解析：由已知用“AAS”可证 ，所以 ，用“HL”可证 ，所以 ，用“AAS”“SAS”“ASA”都可证 ，所以 ，用“SSS”可证 。 34．SAS；HL　解析：小刘是画两条直角边，故依据是 SAS，小赵是画一条直角边和斜边，故依据是 HL。 35．解：(1)证明：由已知条件，易得 ，则有 。又 ，所以 ，即 。(2)。理由如下：由(1)可得 ，所以 。在 和 中，，，，所以 (ASA)。 36．解：(1)，。理由如下：因为 ，，所以 。当 时， cm，所以 (cm)，所以 。在 和 中，，，，所以 (SAS)。所以 。因为 ，所以 ，所以 ，所以 。(2)①若 ，则 ，，所以 ，，解得 ，。②若 ，则 ，，所以 ，，解得 ，。综上所述， 的值为 2 或 时， 与 全等。 人教版八年级上 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $