13.2与三角形有关的线段 同步训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

数学 · 八年级上 13.2　与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的边 【巩固提升】 1．如图，小明为了估计池塘两岸 间的距离，在池塘一侧选取了点 ，测得 m， m，那么 间的距离不可能是（　） A．6 m B．7 m C．13 m D．15 m 2．一个等腰三角形的三边长分别为 3 cm， cm，6 cm，则它的周长是（　） A．12 cm B．15 cm C．12 cm 或 15 cm D．不能确定 3．若三角形的三边长分别是 3，4，，则 的取值范围是（　） A． B． C． D． 4．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棒首尾顺次相接组成一个三角形，已知三根小木棒的长度分别为 5 cm，9 cm，10.5 cm，若只能对 10.5 cm 的小木棒进行裁切（裁切后，参与组成三角形的小木棒的长度为整数），则同学们最多能组成的不同的三角形的个数为（　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．小明说：“虽然我的新圆规的带有针尖的脚只有 9 cm，但我能画出半径为 20 cm 的圆。”我觉得小明说的话＿＿＿（填“合理”或“不合理”），理由是＿＿＿． 6．三角形的周长小于 13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有＿＿＿个． 【素养创新】 7．在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根 12 cm 长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，组成一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长 cm，第二段的长比第一段的 3 倍少 2 cm。试判断第一段的长能否为 3 cm，并说明理由． (2)如图，小亮先把木棒剪成 和 两段，已知 cm， cm，现要将木棒 从点 处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的 的整数长度． 【提优挑战】 8．如图，已知 为 内两点，试说明：． 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 【巩固提升】 9．如图，在方格纸中，点 都在格点上，则 的重心是（　） A．点 B．点 C．点 D．点 10．如图，在 中，点 是边 上的一点，且 的面积与 的面积相等，则线段 为 的（　） A．高 B．中线 C．角平分线 D．不能确定 11．如图，在 中， 为中线， 和 分别为 和 的高。若 ，，，则 ＿＿＿． 12．如图，在 中， 平分 ，，若 ，则 的度数为＿＿＿°． 13．如图， 为 的中线， 为 的中线． (1)过 的顶点 ，分别画出它的高 ； (2)若 的面积为 40，，求 的高 的长． 【素养创新】 14．李叔叔想将如图所示的三角形土地分成面积相等的四块，请你帮他设计至少两种划分方案． 【提优挑战】 15．在等腰三角形 中，，一腰上的中线 将这个等腰三角形的周长分成 12 和 6 两个部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． 16．（综合与实践）【问题情境】数学活动课上，老师提出了如下问题：在 中，， 是边 所在直线上一点，过点 作 ，，垂足分别为 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ． (1)【特例探究】如图①，当 为 边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段 之间的数量关系为＿＿＿． (2)【深入探究】如图②，当 为 边上的任意一点时，(1)中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由． (3)【拓展探究】如图③，当点 在 边的延长线上时，①试猜想线段 之间的数量关系，并证明你的猜想；②若 ，，，则线段 的长为＿＿＿． 参考答案 1．D　解析：在 中， m， m，则 ，即 m m，所以 间的距离不可能是 15 m。故选 D。 2．B　解析：当 时，三角形的三边长分别为 3 cm，3 cm，6 cm，因为 ，所以不能组成三角形。当 时，三角形的三边长分别为 3 cm，6 cm，6 cm，因为 ，所以可以组成三角形，所以周长为 (cm)。故选 B。 3．B　解析：根据题意，得 且 ，解得 。故选 B。 4．C　解析：设长为 10.5 cm 的小木棒裁切后的长度为 cm，则 ，即 。因为 ，且 为整数，所以 的值可能为 5，6，7，8，9，10，所以同学们最多能组成 6 个不同的三角形。故选 C。 5．不合理；三角形两边之和大于第三边　解析：因为三角形两边之和大于第三边，所以带有针尖的脚只有 9 cm 的圆规只能画出半径小于 18 cm 的圆，故小明说的话不合理。 6．3　解析：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于 13，知其中的任何一边不能超过 6.5。根据三角形各边长为整数，所以任何一边的长都大于 1，且小于 6，故三边可能的长度为 2，3，4，5。根据各边长都不相等可得，三边的长度为 2，3，4；2，4，5；3，4，5。故这样的三角形共有 3 个。 7．解：(1)第一段的长不能为 3 cm。理由如下：根据题意，若第一段长 3 cm，则第二段的长为 (cm)，第三段的长为 (cm)。因为 ，所以这三段木棒不能组成一个三角形木框，所以第一段的长不能为 3 cm。(2)设 cm，则 cm。因为 能组成三角形，所以 ，且 ，解得 ，所以整数 为 3 或 4 或 5，即符合条件的 的整数长度为 3 cm 或 4 cm 或 5 cm。 8．解：方法一：如图①，延长 交 于点 ，延长 交 于点 。在 中，。①　在 中，。②　在 中，。③　由①＋②＋③，得 ，所以 ，即 。方法二：如图②，延长 交 于点 ，延长 交 于点 。在 中，。①　在 中，。②　在 中，。③　由①＋②＋③，得 ，所以 ，即 。 9．B　解析：如图所示，取线段 的中点 ，线段 的中点 ，连接 。因为 与 的交点为 ，所以点 是 的重心。故选 B。 10．B　解析：因为 的边 上的高和 的边 上的高相同，且两个三角形的面积相等，所以 。故选 B。 11．2　解析：因为 中， 为中线，所以 ，所以 。由题意可知， 于点 ， 于点 ，，，，所以 ，所以 ，所以 。 12．134　解析：因为 平分 ，，所以 ，。因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 。 13．解：(1)如图所示， 即为所求。(2)因为 为 的中线， 为 的中线，所以 ，，所以 。因为 的面积为 40，，所以 ，所以 ，即 的高 的长为 4。 14．解：如图①，在 中， 为 的中点， 分别为 的中点，连接 ，则 。如图②，在 中， 分别为 的中点，连接 ，则 。如图③，在 中， 为 的中点，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 。如图④，在 中， 分别为 的中点，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 。（答案不唯一，只要设计至少两种合理的方案即可） 15．解：由题意可知， 是 边上的中线，所以 。因为 ，所以设 ，，则 。分两种情况：①当 ， 时，可得 且 ，解得 ，。所以 ，所以这个等腰三角形的腰长为 8，底边长为 2。②当 ， 时，可得 且 ，解得 ，。所以 。因为 ，所以不能组成三角形。综上所述，这个等腰三角形的腰长为 8，底边长为 2。 16．解：(1)因为 ，，，，所以 。因为 ，所以 。故答案为 。(2)(1)中的数量关系仍然成立。证明如下：因为 ，，，，所以 。因为 ，所以 。(3)①猜想：，证明如下：因为 ，，，，所以 。因为 ，所以 。②因为 ，，所以 ，所以 。由①可知 ，所以 。故答案为 6。 人教版八年级上 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $