【刷考点】2.1等式与不等式性质大总结（8个考点题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

等式性质与不等式性质·考点一遍过 目录 考点01 用不等式表示不等关系 考点02 用不等式性质比较代数式大小 考点03 用作差法比较代数式大小 考点04 用作商法比较代数式大小 考点05 利用条件判断不等式真假 考点06 由不等式性质证明不等式 考点07 利用待定系数法求范围 考点08 糖水不等式 【知识梳理】 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 解题须注意： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 2 传递性 不可逆 3 可加性 4 可乘性 c的 符号 5 同向可加性 同向 6 同向同正 可乘性 同向 同正 7 可乘方性 同正 特别地： (1)若，则；若，则. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. (3)若，，则 考点01 用不等式表示不等关系 1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元， 设木工人，瓦工人，可得总的工资为， 又因为现有工人工资预算元，故，化简可得. 考点02 由不等式性质比较代数式大小 2．下列命题为真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则，所以，故A为假命题； 对于B，若，则，且，所以，故B为假命题； 对于C，若，当时，，故C为假命题； 对于D，若，则，所以，故D为真命题． 3．若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若a＜b＜0，则 【答案】B 【详解】对于A，当时不成立，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以，所以， 不等式两边同时乘以，，所以，故B正确； 对于C，取，时，，，则不成立，故C错误； 对于D，若a＜b＜0，则，所以，又，所以，因此D不正确． 故选：B． 考点03 用作差法比较代数式大小 4．比较下列各题中两个代数式值的大小. (1) 与 ; (2) 与 (). 【答案】(1) （当 时取等号）.(2). 【详解】（1）作差：.因为恒成立，故（当时取等）. （2）作差：. 因为 ，所以 ，，，. 因此 ，所以 . 考点04 用作商法比较代数式大小 5．已知，则与的大小是__________． 【答案】 【详解】，，，，，故答案为： 6．已知，试比较与的大小. 【答案】 【详解】，，. 两数作商，. 考点05 利用条件判断不等式真假 7．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：由可得，即.当时，，即，A错误. 选项B：当时，，此时，不满足，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：由，得，因此，D错误. 8．已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且可得，且因为，所以 又因为，所以，所以 考点06 由不等式性质证明不等式 9．已知，求证：． 【答案】证明：因为，所以，，， 所以，所以， 即，所以． 10．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以，所以，所以，所以，即，所以，又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以，所以，因此. 考点07 利用待定系数法求范围 11．求解下列问题： （1）已知，，求，取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）因为，由不等式的性质可得，则，又，故.又，，故.综上， （2）令，即， 则，解得.则，， 所以，即.综上 12．求解下列问题： （1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【详解】（1）因为，，所以，，，， 所以，，所以.故，，． （2）设，则，解得，故， 由得，由得，所以. 考点08 糖水不等式 13．，，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，.，因为，，故，，因此，即；又，故. ，因为，，故，， 因此，即；又，故.综上，即. 学科网（北京）股份有限公司 $等式性质与不等式性质·考点- 目录 考点01用不等式表示不等关系 考点02用不等式性质比较代数式大小 考点03用作差法比较代数式大小 考点04用作商法比较代数式大小 考点05利用条件判断不等式真假 考点06由不等式性质证明不等式 考点07利用待定系数法求范围 考点08糖水不等式 ·遍过 【知识梳理】 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 大于，高于，超小于，低于，少 文字语言 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 过 于 符号语言 > ≥ ≤ 解题须注意： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接 (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b台b<a 9 2 传递性 a>b,b>c→a>c 不可逆 3 可加性 a>b台a+c>b+c 台 a>b,c>0→ac>bc c的 4 可乘性 a>b,c<0→ac<bc 符号 5 同向可加性 a>b,c>d→a+c>b+d 同向 同向同正 同向 6 a>b>0,c>d>0→ac>bd 可乘性 同正 a>b>0→a">b"(n∈N,n≥2) 可乘方性 同正 特别地： 11 >二>0 11<0 (1)若a>b>0,则ba；若a<b<0,则ba (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. a、a+mba+m (3)若a>b>0,m>0,则bb+m’ab+m 考点01用不等式表示不等关系 1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算 20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是() A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 考点O2由不等式性质比较代数式大小 2.下列命题为真命题的是() 11 A.若a>b>0:则a6 B.若a<b<0,则a2<b2 b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a<b<0:则。<1 3.若a、b、C为实数，则下列命题正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2>ab>b2 11 b a C.若a<b,则ab D.若a<b<0,则。>6 考点03用作差法比较代数式大小 4.比较下列各题中两个代数式值的大小： a+与+2+1： a2-b2 a-b (2)a2+b2与a+b(a>b>0). 考点04用作商法比较代数式大小 a.a+1 5.已知a>b>0,则6与6+1的大小是 a2+b2 a+b 6.已知a<b<0,试比较a2-b2与a-b的大小. 考点05利用条件判断不等式真假 7.已知a>b>0,c∈R,则下列说法正确的是() A.ab B. C.a+ezb+c D 8.已知a+b<0,且a>0,则下列不等式正确的是( A.a2<-ab<b2 B. C.a2<b2<-ab D ac2 be2 11 d>6 ) b2<-ab<a? -ab<b2<a2 考点06由不等式性质证明不等式 1+1+4≥0 9.己知a>b>c:求证：a-bb-ec-a a b 10.已知c>a>b>0,求证：(c-a}2(c-b月 考点07利用待定系数法求范围 11.求解下列问题： (1)已知2<a<6’1<b<3,求a-2b,6取值范围： (2)已知1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范围. 12.求解下列问题： (1)设2<a<7,1<b<2,求a+3b,2a-b,b的范围. (2)已知-l≤a+b≤1，-1≤a 考点08糖水不等式 13.a>b>0'm>0,n>0 A.88 b+m >a+n b+n b+m a+m b≤1，求2a+3b的取值范围. b a b+m atn 则a,b,a+m,b+n由大到小的顺序是（） b、b+ma+n>a B.aa+m b+nb aatnb+mb D.b?b+n a+m a