2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（8个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心内容，系统梳理一元二次不等式解法（标准化、判别式、求根、写解集步骤）、三个“二次”关系（函数图像、方程根、不等式解集关联）、根的分布、恒成立问题及实际应用，构建从基础到综合的递进学习支架。 资料以表格对比梳理知识、题型分类（含参数、整数解、根分布等）为特色，通过典型例题（如销售利润不等式模型）培养数学思维（分类讨论解含参问题）与数学语言（用区间表示解集），课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过巩固练习查漏补缺，提升问题解决能力。

2.3 二次函数与一元二次方程，不等式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．一元二次不等式的解法 设 表格 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 __两根______ _二重根_______ ___无实根_____ 不等式解集 ________ ________ ____全体实数____ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 2．一元二次不等式通用解题步骤 ①___标准化_____：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②__算判别式______：计算，判断根的个数； ③_求方程根_______：时解方程得到零点； ④___图象写解集_____：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤___拓展补充_____：特殊不等式快速处理 ⑥___含等号_____：解集端点包含根； ⑦___缺一次项_____：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧__缺常数项______：，因式分解. 3．三个“二次”的关系 判别式 二次函数的图像          一元二次方程的根 有两相异实根， 有两相等实根 没有实数根 的解集 ________ ________ R 的解集 ________ ________ ________ 4．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 5．恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 二次不等式恒成立________ 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立. 二次不等式恒成立 ________ 补充：若，当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立________ 在恒成立________ 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 类型 3：区间上有解问题 在有解________ 在有解________ 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 解不含参数的一元二次不等式/分式不等式 基础知识 核心知识 一元二次不等式 利用二次函数图像与一元二次方程的根求解 分式不等式 方法技巧 1.一元二次不等式先化二次项系数为正 2.求解对应一元二次方程的实数根 3.根据二次函数开口方向结合口诀大于取两边小于取中间写解集 4.分式不等式不能直接去分母转化为整式不等式必须标注分母不为0 5.最后写成集合或者区间形式 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 【例题2】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由不等式移项得，，化简得， 要求不等式的解集，等价于求不等式组的解集， 解得，因此该不等式的解集为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·四川遂宁·开学考试）关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】将绝对值不等式通过两边同时平方，转化成一元二次不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 整理得，即， 所以， 所以不等式的解集为. 【巩固练习2】（26-27高一上·福建泉州·开学考试）解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）移项后得到，然后转化为整式不等式求解即可； （2）移项后得到，因式分解后，转化为整式不等式，最后利用数轴穿根法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 【巩固练习3】（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 【题型2】 解含参一元二次不等式 基础知识 核心知识 不等式含参数需要分类讨论 讨论顺序：二次项系数是否为0→判别式正负→两根大小关系 当退化为一次不等式 方法技巧 1.第一层讨论：二次项系数等于0转化一次不等式 2.第二层讨论：计算判别式判断有无实根 3.第三层讨论：有两根时比较两个根的大小 4.结合开口方向画出草图写出解集 5.分类做到不重不漏 典型例题 【例题1】（26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【详解】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【巩固练习3】（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【答案】1.当时，不等式化为. （1）当时，不等式解集为：； （2）当时，不等式解集为：； 2.当时，不等式化为：. （1）当时，不等式解集为; （2）当时，不等式解集为; 3.当时，设不等式对应方程两根. （1）当时，，不等式解集为：或； （2）当时，，不等式解集为：； 4.当时，不等式对应方程的根为. （1）当时，不等式解集为：或； （2）当时，不等式解集为：； 5.当时，不等式对应方程无解. （1）当时，不等式解集为：R； （2）当时，不等式解集为：. 【题型3】 一元二次不等式的整数解问题 基础知识 核心知识 先求出不等式解集再在解集范围内筛选整数 常结合数轴确定整数边界 方法技巧 1.先求解一元二次不等式得到解集区间 2.在数轴上标出区间端点 3.找出区间内满足条件的整数 4.含参题型：根据给定整数解反向限制端点取值 5.注意端点开闭对整数取舍的影响 典型例题 【例题1】（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 【例题2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为 ，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【详解】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用三个二次关系计算参数，再解含参不等式，结合条件计算即可. 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【答案】 【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案. 【详解】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 【题型4】 “三个二次”之间的关系 基础知识 核心知识 三个二次：二次函数一元二次方程一元二次不等式 方程的根是二次函数图像与x轴交点横坐标 不等式解集对应函数图像在x轴上方或下方的x范围 方法技巧 1.看到方程根立刻联想二次函数零点 2.看到不等式解集可反推二次函数开口与方程根 3.已知解集求参数：将解集端点当作对应方程的根代入韦达定理 4.数形结合画图分析函数图像 典型例题 【例题1】（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 【例题2】（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【详解】（1）由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. （3）对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 【题型5】 一元二次不等式在R上恒成立/有解问题 基础知识 核心知识 对恒成立 对恒成立 有解：存在使不等式成立与恒成立逻辑相反 方法技巧 1.先讨论退化成一次不等式判断是否成立 2.时利用开口方向+判别式列式 3.恒成立：全部x满足；有解：至少一个x满足 4.恒成立求最小/最大值；有解求最大/最小值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题可得对任意实数恒成立，分两种情况讨论，结合二次函数开口方向，二次方程判别式可得答案. 【详解】即对任意实数恒成立. 当，得，当时不成立； 当，则二次函数图象恒在轴下方， 得. 综上可得：. 【例题2】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·山东德州·期末）若“，”是真命题，则的取值范围是__________ 【答案】 【详解】当时，恒成立， 或当，得， 综上，的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由一元二次不等式恒成立有，即可求范围. 【详解】由题设不等式恒成立，则， 所以，可得. 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可． 【详解】令，则，故， 对任意，，则恒成立， ∴ ∴，此时， ∴，当时取等号， 此时成立， ∴的最大值为． 故答案为：． 【题型6】 一元二次不等式在某区间上恒成立/有解问题 基础知识 核心知识 限定自变量在区间内 转化为二次函数在闭区间上最值问题 核心：分离参数法或者数形结合法 方法技巧 1.方法一分离参数：把参数单独放一侧转化函数最值 2.方法二不分离参数：讨论对称轴与给定区间的位置关系 3.恒大于0：区间内最小值>0；恒小于0：区间最大值<0 4.有解大于0：区间最大值>0；有解小于0：区间最小值<0 5.画出二次函数草图辅助判断 典型例题 【例题1】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为 ； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得 . 即所求的取值范围为. 【例题2】（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为． （2） . 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由不等式，可化为， 当时，不等式为，此时； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上所述：当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． （2）对于，不等式恒成立， 即对于，不等式恒成立，即在上恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以，解得：． （2）由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 【题型7】 一元二次方程根的分布问题 基础知识 核心知识 二次方程根落在指定区间 结合二次函数图像从开口判别式对称轴区间端点函数值列不等式组 方法技巧 1.设 2.画图列出约束条件：开口方向、、对称轴范围、端点函数符号 3.两根在同一区间：同时满足端点函数值符号 4.两根分跨两区间：只需端点函数值异号 5.联立不等式组求解参数范围 典型例题 【例题1】（2026高一·全国·专题练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 【例题2】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用判别式和韦达定理并结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 【题型8】 一元二次不等式的实际应用 基础知识 核心知识 从实际问题提取不等关系建立一元二次不等式模型 注意实际变量具有实际意义取值要符合现实约束 方法技巧 1.审题设变量找出数量关系 2.列出一元二次不等式 3.求解不等式解集 4.根据实际意义舍去不合理的解如负数非整数 典型例题 【例题1】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则 ， 即，化简得 解得，又因为，所以， 所以花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围． 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 【巩固练习2】（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知 ，，则 是 的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 2．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项通分后转化为求一元二次不等式的解集即可． 【详解】由，即，解得：， 所以不等式的解集为：. 3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 4．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 5．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 6．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解集得到，根据解集的端点和一元二次方程的根之间的关系，得到一元二次方程的根，进而得到、与的关系，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由题意知，，且方程的两根为-1和3. 由韦达定理知，化简得，（）. ， 当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为8. 故选：C. 7．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）对，不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式，再由不等式恒成立确定的范围，最后结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】整理得， 当时，解得；当时，解得； 当时，解得. 又，不等式恒成立，，即， 因为⫋，故 “”是“”的充分不必要条件， 故选：D． 二、多选题 8．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 9．（25-26高一上·重庆·期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【答案】BCD 【分析】根据三个“二次”的关系逐项判断A、B、C，代入消元求解判断D. 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 所以对应函数开口向上，所以，A错误； 对于B：由已知可知的两根为， 由韦达定理可得，所以，B正确； 对于C：因为不等式的解集为， 所以的解集为， 即的解集为，C正确； 对于D：由得， 所以， 当时，取得最大值，D正确； 故选：BCD. 三、填空题 10．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 11．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解. 【详解】由得：， ①当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有1个整数，所以； ②当时，不等式的解集为，不符合题意； ③当时，不等式的解集为：， 因为解集中恰有1个整数，所以； 综上所述：实数m的取值范围是：或. 故答案为：或 12．（25-26高二下·天津·期末）已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 四、解答题 13．（23-24高一下·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，转化为一元二次不等式，分解因式结合二次函数图象开口向上即可得到解集； （2）一元二次不等式在全体实数上恒大于0，只需判别式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为. （2）设，因为不等式，对于任意实数都成立， 所以， 解得， 故实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【分析】（1）问题转化为恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式求参数； （2）参变分离得到，由基本不等式求出的最小值，得到答案； （3）因式分解得到，分，，，，，求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意，上恒成立， 显然时在上不恒成立， 所以，则， 综上，； （2）由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为； （3）当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，此时，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，此时，不等式解集为； 若，此时，不等式解集为或. 综上， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 15．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 16．（25-26高一上·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【答案】（1）当时，解集为{或}；当时，解集为{且}；当时，解集为{或}． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）根据题意，将二次函数因式分解，分类讨论的取值范围即可求解； （2）根据题意，将不等式转化为，分类讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·四川南充·期中）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. (3)若关于的不等式的解集为，求的最小值. 【答案】(1)； (2) 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. (3)3. 【分析】（1）问题化为时，应用基本不等式求最小值，即可得； （2）由题设，讨论参数并求出对应解集； （3）由不等式解集及对应方程得 ，应用换元法，令并应用基本不等式求最小值. 【详解】（1）不等式，即， 当时，可变形为，即， 又，当且仅当，即时等号成立， ，即，实数的取值范围是； （2），等价于，即， 由，方程的两根为，， ①当时，即时，解不等式得：； ②当时，即，不等式的解集为； ③当时，即，解不等式得：. 综上所述， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. （3）由已知有且，是方程的两个根， 则，设 ， 令，则， 又，，当且仅当，即时等号成立， 此时，即，此时，满足方程有实根条件， 所以最小值为3. $2.3 二次函数与一元二次方程，不等式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．一元二次不等式的解法 设 表格 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 __两根______ _二重根_______ ___无实根_____ 不等式解集 ________ ________ ____全体实数____ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 2．一元二次不等式通用解题步骤 ①___标准化_____：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②__算判别式______：计算，判断根的个数； ③_求方程根_______：时解方程得到零点； ④___图象写解集_____：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤___拓展补充_____：特殊不等式快速处理 ⑥___含等号_____：解集端点包含根； ⑦___缺一次项_____：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧__缺常数项______：，因式分解. 3．三个“二次”的关系 判别式 二次函数的图像          一元二次方程的根 有两相异实根， 有两相等实根 没有实数根 的解集 ________ ________ R 的解集 ________ ________ ________ 4．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 5．恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 二次不等式恒成立________ 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立. 二次不等式恒成立 ________ 补充：若，当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立________ 在恒成立________ 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 类型 3：区间上有解问题 在有解________ 在有解________ 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 解不含参数的一元二次不等式/分式不等式 基础知识 核心知识 一元二次不等式 利用二次函数图像与一元二次方程的根求解 分式不等式 方法技巧 1.一元二次不等式先化二次项系数为正 2.求解对应一元二次方程的实数根 3.根据二次函数开口方向结合口诀大于取两边小于取中间写解集 4.分式不等式不能直接去分母转化为整式不等式必须标注分母不为0 5.最后写成集合或者区间形式 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例题2】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）不等式的解集为__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·四川遂宁·开学考试）关于的不等式的解集为__________． 【巩固练习2】（26-27高一上·福建泉州·开学考试）解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【巩固练习3】（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 解含参一元二次不等式 基础知识 核心知识 不等式含参数需要分类讨论 讨论顺序：二次项系数是否为0→判别式正负→两根大小关系 当退化为一次不等式 方法技巧 1.第一层讨论：二次项系数等于0转化一次不等式 2.第二层讨论：计算判别式判断有无实根 3.第三层讨论：有两根时比较两个根的大小 4.结合开口方向画出草图写出解集 5.分类做到不重不漏 典型例题 【例题1】（26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【巩固练习3】（25-26高一上·四川成都·期中）讨论关于的不等式的解集 【题型3】 一元二次不等式的整数解问题 基础知识 核心知识 先求出不等式解集再在解集范围内筛选整数 常结合数轴确定整数边界 方法技巧 1.先求解一元二次不等式得到解集区间 2.在数轴上标出区间端点 3.找出区间内满足条件的整数 4.含参题型：根据给定整数解反向限制端点取值 5.注意端点开闭对整数取舍的影响 典型例题 【例题1】（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【例题2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 【巩固练习2】（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【巩固练习3】（25-26高三上·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是______； 【题型4】 “三个二次”之间的关系 基础知识 核心知识 三个二次：二次函数一元二次方程一元二次不等式 方程的根是二次函数图像与x轴交点横坐标 不等式解集对应函数图像在x轴上方或下方的x范围 方法技巧 1.看到方程根立刻联想二次函数零点 2.看到不等式解集可反推二次函数开口与方程根 3.已知解集求参数：将解集端点当作对应方程的根代入韦达定理 4.数形结合画图分析函数图像 典型例题 【例题1】（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【例题2】（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【巩固练习2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 【题型5】 一元二次不等式在R上恒成立/有解问题 基础知识 核心知识 对恒成立 对恒成立 有解：存在使不等式成立与恒成立逻辑相反 方法技巧 1.先讨论退化成一次不等式判断是否成立 2.时利用开口方向+判别式列式 3.恒成立：全部x满足；有解：至少一个x满足 4.恒成立求最小/最大值；有解求最大/最小值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【例题2】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·山东德州·期末）若“，”是真命题，则的取值范围是__________ 【巩固练习2】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知恒成立，则实数的取值范围是_________. 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最大值为____. 【题型6】 一元二次不等式在某区间上恒成立/有解问题 基础知识 核心知识 限定自变量在区间内 转化为二次函数在闭区间上最值问题 核心：分离参数法或者数形结合法 方法技巧 1.方法一分离参数：把参数单独放一侧转化函数最值 2.方法二不分离参数：讨论对称轴与给定区间的位置关系 3.恒大于0：区间内最小值>0；恒小于0：区间最大值<0 4.有解大于0：区间最大值>0；有解小于0：区间最小值<0 5.画出二次函数草图辅助判断 典型例题 【例题1】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【例题2】（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数，的值； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【巩固练习3】（25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________． 【题型7】 一元二次方程根的分布问题 基础知识 核心知识 二次方程根落在指定区间 结合二次函数图像从开口判别式对称轴区间端点函数值列不等式组 方法技巧 1.设 2.画图列出约束条件：开口方向、、对称轴范围、端点函数符号 3.两根在同一区间：同时满足端点函数值符号 4.两根分跨两区间：只需端点函数值异号 5.联立不等式组求解参数范围 典型例题 【例题1】（2026高一·全国·专题练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【例题2】（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【巩固练习2】（25-26高一上·上海宝山·期中）若方程有两个正根，则实数的取值范围是__________. 【巩固练习3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【题型8】 一元二次不等式的实际应用 基础知识 核心知识 从实际问题提取不等关系建立一元二次不等式模型 注意实际变量具有实际意义取值要符合现实约束 方法技巧 1.审题设变量找出数量关系 2.列出一元二次不等式 3.求解不等式解集 4.根据实际意义舍去不合理的解如负数非整数 典型例题 【例题1】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【巩固练习2】（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知 ，，则 是 的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 4．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．4 7．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）对，不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 9．（25-26高一上·重庆·期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 三、填空题 10．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 11．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是______． 12．（25-26高二下·天津·期末）已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 四、解答题 13．（23-24高一下·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 15．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 16．（25-26高一上·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 17．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·四川南充·期中）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. (3)若关于的不等式的解集为，求的最小值. $