精品解析：青海省海东市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

海东市第一中学2023~2024学年度第一学期第一次月考 高 二 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解. 【详解】. 故选：C 2. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 4. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 5. 设点，，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 8. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出向量坐标，逐项判断可得答案. 【详解】在空间直角坐标系中，，，， ，， 对于A，因为，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D不正确. 故选：BC. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断. 【详解】对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.A错误， 对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误， 对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确 对于D，向量的模为，故D正确， 故选：CD 11. 已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在实数，使 C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】对于A，， 所以A正确； 对于B，，假设存在存在实数，使， ，显然方程组无实数解， 因此假设不成立，所以不存在实数，使，所以B不正确； 对于C，不互相垂直， 所以不是平面的法向量，因此C正确； 对于D，， 所以， 四边形的面积为：， 因此D正确. 故选：ACD. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 14. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 15. 在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形得出向量相等计算即可. 【详解】， 因为四边形为平行四边形，所以，所以， 故答案为：． 16. 已知，，则最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 【答案】（1），，，， （2） 【解析】 【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标； (2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解. 【小问1详解】 由题可知，，，，， 【小问2详解】 由（1）可知，，， 则， 则. 18. 已知空间三点，，，设，． （1）求，； （2）求与的夹角． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【小问1详解】 由题意，，， 【小问2详解】 由（1）得：，； 所以， 又，所以，即与的夹角为. 19. 如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. （1）求证: （2）若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 【答案】（1）证明：以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 可得，则， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法从而求证； （2）利用空间向量法求解异面直线所成的角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 是棱的中点，故，则， 设异面直线与所成角的大小为，， 则， 所以， 故异面直线与所成角的正切值为. 20. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 连接，显然，因为， ． 所以，于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有， ， 点到平面的距离为： . 21. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以，即， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明即可； （2）利用计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 22. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 【答案】（1） 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，设， 则，解得，即. 则， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. 因为，设平面的一个法向量为， 所以即，令，解得， 所以平面的一个法向量为， 又，所以平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明. （2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，解得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. ， 所以平面和平面夹角的大小为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海东市第一中学2023~2024学年度第一学期第一次月考 高 二 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 5. 设点，，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 11. 已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在实数，使 C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量，则______. 14. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 15. 在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则________． 16. 已知，，则最大值为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 18. 已知空间三点，，，设，． （1）求，； （2）求与的夹角． 19. 如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. （1）求证: （2）若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 20. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 21. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 22. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $