精品解析：山东省聊城第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性测试数学试题

聊城一中2026-2027学年高三年级9月阶段性测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､单选题（每题5分，共30分.只有一个答案正确） 1. 若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 3. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 4. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可 【详解】因为在上为增函数，且， 所以，所以， 所以，即， ， 因为在上为增函数，且， 所以，即， 因为在上为增函数，且， 所以，即， 所以， 故选：C 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 所以 ，选D. 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，根据函数的周期性，结合正弦函数的零点，列出相关的不等式，求解可得的取值范围. 【详解】由题意可得，，则的最小正周期是. 若函数在上没有零点，则，所以. 当时，. 所以. 所以或. 若，则； 若，则. 所以的取值范围是. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果. 【详解】因为，令，得到， 所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以函数的周期为， 令，则，又当时，， 所以，得到， 故，又，所以在上的图像如图， 又当时，由，得到，当，由，得到，即， 又，所以， ，， 又由，得到，即， 所以， 再结合图像知，在上的零点个数为21个， 故选：D. 二､多选题（每题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 10. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，，，，且，则（ ） A. m的取值范围是 B. C. 的最小值是9 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】作出函数图象，依据有四个不同实数根得到的范围，并得到且，，再逐一判断选项即可． 【详解】解：由题意作出函数的图像，方程的根即与交点的横坐标， 由图可知，A错误； 由可得，即，B正确； 由图可知，，可得，C错误； 由可得， 即，可得，即， 两边同除以可得，D正确. 故选：BD． 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若函数在上单调递增，则 C. 若函数在内有2个极值点，则 D. 如图所示，若，则点的纵坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的单调性、极值点的定义、余弦二倍角公式逐一判断即可. 【详解】由图象可知，函数图象过点， 因为，所以由，或， 当且时，显然，显然，不符合图象， 所以，因此选项A正确； 当时，， 要想在上单调递增， 只需，故选项B正确； 当时，， 要想函数在内有2个极值点， 只需，所以选项C不正确； 当，所以， 设， 当时，点是线段的中点， 因此得， 于是有， ，或舍去， 因此点的纵坐标为，因此选项D正确. 故选：ABD 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数.若时，f（x）取得最大值，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先用辅助角公式把化为并写出的正余弦值，再由最大值点得到与互余的关系，从而不必求出的具体值，直接代入两角和公式求值. 【详解】， 其中，，. 由时取得最大值知， 故（），即. 由诱导公式得，. 由两角和的余弦公式得. 13. 已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】先将用表示，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 由，得， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，则，所以当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，，且时，当时， 当时，函数在上单调递增， 所以的图象如下所示： 对于函数，令，即， 令，则， 要使恰有个不相等的实数根， 即关于的有两个不相等的实数根，且，， 令，则有两个不相等的零点均位于之间， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题. 三､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1. （1）求a的值； （2）若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域． 【答案】（1）a＝3 （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据loga3>loga2，判断出的范围，根据题意，解对数方程即可求得； （2）利用换元法，即可求得对数型二次函数的值域. 【详解】（1）因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数． 又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3. （2）函数y＝(log3x)2－log3＋2 ＝(log3x)2－log3x＋2 ＝2＋. 令t＝log3x，因为1≤x≤3， 所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1. 所以y＝2＋∈， 所以所求函数的值域为. 【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及对数型二次函数值域的求解，属综合中档题. 16. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由诱导公式结合计算即可得解； （3）结合诱导公式将代入计算可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， 又因为是第三象限角，所以， 所以. 【小问3详解】 当时，. 17. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，可得，利用周期公式，求得，代入即可得答案, （2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，参变分离可得在区间上有解，设，根据函数的单调性，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 ， 因为函数的最小正周期为，所以，即， 所以； 【小问2详解】 将曲线向右平移个单位长度后得到 ， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到，即. 问题转化为关于x的方程在区间上有解， 参变分离得：在区间上有解. 设，则， 由于在上单调递减， 所以， 此时对于中的每个m，都存在，使得， 所以m的取值范围为. 18. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. 【小问3详解】 由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； （2）设，，，若函数是奇函数． ①求函数取得最大值时x的取值集合； ②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，对称轴方程为 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据整体代换求邯郸的单调区间即对称轴方程即可； （2）①根据函数奇偶性可得，再利用正弦型函数取最值的条件代入即可求解； ②根据双变量问题转化为函数值域间的关系，由换元法，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系得到值域，再根据值域的包含关系求解即可. 【小问1详解】 令，解得， 则函数的单调递增区间为． 令，解得， 故函数图象的对称轴方程为． 【小问2详解】 ① ，若函数是奇函数， 则，即， 因为，所以令，得． 则． 令，解得， 即函数取得最大值时x的取值集合为． ②当时，，此时的值域为． 设函数的值域为B，由题意． 设，则，设函数， 所以． 当时，即，所以在上单调递减， 所以，又， 所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，又 由， 当时，，函数的最大值为， 由或，不合题意． 综上，a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城一中2026-2027学年高三年级9月阶段性测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､单选题（每题5分，共30分.只有一个答案正确） 1. 若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 4. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 二､多选题（每题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 10. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，，，，且，则（ ） A. m的取值范围是 B. C. 的最小值是9 D. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若函数在上单调递增，则 C. 若函数在内有2个极值点，则 D. 如图所示，若，则点的纵坐标为 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数.若时，f（x）取得最大值，则___________. 13. 已知，且，则的最小值为______． 14. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 三､解答题（共5小题，共77分） 15. 已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1. （1）求a的值； （2）若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域． 16. 已知． （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 17. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 18. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； （2）设，，，若函数是奇函数． ①求函数取得最大值时x的取值集合； ②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $