精品解析：河北唐山市第八中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则代数式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（ ） A. 8 B. 16 C. 64 D. 81 4. 已知二次函数，甲、乙两人提出以下看法，下列判断正确的是（ ） 甲：此函数图象上某个点的纵坐标为； 乙：此函数图象上某个点的纵坐标为16 A. 甲正确，乙错误 B. 甲错误，乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误 5. 若关于的一元二次方程能用公式法求解，则必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（ ） A. B. C. D. 8. 某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A. B. C. D. 9. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 若火车刹车后行驶的距离关于刹车时间的函数解析式是，则刹车后到停下来用时（ ） A. B. C. D. 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 12. 已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知二次函数，则______． 14. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 15. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 16. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． （1）解题步骤从第________步开始出错（写序号）； （2）请你用另一种方法解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）求的值； （2）求方程的另一个根． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式，并将结果化为的形式； （2）补全下面的表格，并在图中描点画出该函数的图象； 0 1 2 3 4 0 （3）直接写出当时，的取值范围． 20. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为直线________； （2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，已知点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 22. 如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． （1）边的长为________；（用含的代数式表示） （2）要使苗圃园的面积为，求的值； （3）对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 23. 踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … （2）在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； （3）甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． （1）填表： 图象 对应的函数解析式（注明自变量的取值范围） 顶点坐标 (_____，____) ———————————— (_____，____) （2）观察图象，解答下列问题． ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围； （3）已知为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最低点到直线的距离记为．直接写出当的取值在哪个范围时，的值保持不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若方程是关于的一元二次方程，则代数式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，原方程是关于的一元二次方程，方程整理后，的最高次数为，且只含未知数，依次代入选项验证即可． 【详解】解：选项A：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故A选项不符合要求； 选项B：将代入，可得：，整理为，是关于的一元二次方程，故B选项符合要求； 选项C：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故C选项不符合要求； 选项D：将代入，可得：，含有，两个未知数，不是关于的一元二次方程，故D选项不符合要求． 2. 已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程系数的定义，由常数项为求出参数，进而得到一次项系数． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，常数项为， ∵该方程二次项系数和常数项都是， ∴， ∴一次项系数为． 3. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“▲”表示的数是（ ） A. 8 B. 16 C. 64 D. 81 【答案】B 【解析】 【详解】解：一元二次方程，配方可得，， ∴“▲”表示的数为． 4. 已知二次函数，甲、乙两人提出以下看法，下列判断正确的是（ ） 甲：此函数图象上某个点的纵坐标为； 乙：此函数图象上某个点的纵坐标为16 A. 甲正确，乙错误 B. 甲错误，乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方的非负性确定二次函数值的取值范围，进而判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即函数的最大值为， ∵， ∴函数图象上不存在纵坐标为的点，甲错误； ∵， ∴函数图象上不存在纵坐标为的点，乙错误； 综上，甲、乙都错误． 5. 若关于的一元二次方程能用公式法求解，则必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程能用公式法求解，则其根的判别式大于等于零，据此即可解答． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程能用公式法求解． ∴ ，即． 6. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 7. 函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标约是，由此可以估计方程的负的实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数图象的对称轴性质进行估算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 函数图象与轴的两个公共点关于直线对称． 公共点的横坐标约为， 另一个公共点的横坐标约为， 方程 的负的实数根约为． 8. 某奶茶店月份线下饮品的销量统计如下表所示，若4、5月份该店线下饮品销量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量/杯 140 180 368 410 450 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵4、5月份月平均增长率为x， 又∵3月份销量为368杯，5月份销量为450杯， ∴5月份销量为杯， ∴可列方程． 9. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、与坐标轴交点、对称轴得到，，，进而判断四个结论的正误. 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为， 从图中可以看到，交点在轴正半轴， ，正确； 由图象可得，抛物线开口向下，即， 由对称轴公式：， ，即， ， ，错误； ，， ，正确； 当时，代入函数得， 从图象上看，这个点在抛物线上位于轴上方，此时， 即：，正确. 10. 若火车刹车后行驶的距离关于刹车时间的函数解析式是，则刹车后到停下来用时（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，火车刹车到停下时行驶距离达到最大值，对应二次函数取最大值时的自变量值即可． 【详解】解：由题意，火车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值． 对于二次函数， 当时，取得最大值， 即刹车后到停下来用时． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程根的定义将降次，再结合根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根． ∴，即． 代入原式得． ∵，是方程的两根． ∴，． ∴原式． 12. 已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用求根公式可得，．同理可得：，．再结合和比较大小即可． 【详解】解：将方程整理为． 由求根公式得． ∵， ∴，． 同理，方程的根为． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． 又∵， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 5 【解析】 【分析】方程已分解为两个一次因式的乘积，可直接得到方程的两个根，结合已知一个根为10即可确定另一个根． 【详解】解：∵， ∴方程的两个根为，， ∵已知方程的一个根是，且， ∴， ∴方程的另一个根为． 15. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设诸侯共有x人，则每人行礼次，又每两人都相互行礼一次，故x人共行礼次，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设诸侯共有x人，则每人行礼次， 由题意得：， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 故答案为：6． 16. 将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 分两种情形：如图，当直线过点B时和当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得， 则抛物线与x轴的交点为，， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方， ∴开口方向相反，开口大小一样 ∴二次项系数互为相反数，顶点坐标关于x轴对称 ∴翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标， 如图，当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得； 当直线与抛物线只有1个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得， 所以b的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． （1）解题步骤从第________步开始出错（写序号）； （2）请你用另一种方法解方程：． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（1）对每一步进行判断，即可判断出错误发生在第三步； （2）将原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 即， 解得， 故错误在第③步； 【小问2详解】 解：原方程可化为， ， ∴， 即． 18. 已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）求的值； （2）求方程的另一个根． 【答案】（1） （2）方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）将代入方程，得到关于的方程，求解即可； （2）把代入方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：将代入方程，得： ， ∴， 整理得：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：把代入得： ，即 解得：，， ∴方程的另一个根为． 19. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式，并将结果化为的形式； （2）补全下面的表格，并在图中描点画出该函数的图象； 0 1 2 3 4 0 （3）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2）补全表格，函数的图象如下： 0 1 2 3 4 0 1 0 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，再化为顶点式即可； （2）补全表格再画图象即可； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 补全表格，函数的图象略 【小问3详解】 解：根据函数图象可得当函数值时，或． 20. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为直线________； （2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，已知点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解析式求对称轴公式即可求得； （2）把（1）中求得的横坐标代入抛物线的解析式，得出顶点坐标，由于顶点在轴上，则其纵坐标为，由此求出的值，从而得到抛物线的解析式； （3）由可知，抛物线开口向下，则越接近对称轴，函数值越大，然后用绝对值表示距离，最后解不等式即可． 【小问1详解】 解：对称轴； 【小问2详解】 解：把代入抛物线得， ， ∵该抛物线的顶点在轴上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴该抛物线开口向下， 由二次函数的增减性可知，离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，即， 由绝对值的几何意义可得， ，解得． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）或4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 22. 如图1，学校生活实践小组的同学要围出一个一边靠墙的矩形苗圃园，另三边用长为的篱笆围成（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为． （1）边的长为________；（用含的代数式表示） （2）要使苗圃园的面积为，求的值； （3）对于能不能围成面积为的苗圃园，同学们展开了讨论，小丽通过如图2中的方法得出结论：不能围成面积为的苗圃园，请你用另一种不同的方法对小丽的结论进行验证． 【答案】（1） （2）的值为10 （3）解：假设能围成面积为的苗圃园， 由题意得， ， ∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的值． ∴不能围成面积为的苗圃园，小丽的结论正确． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再结合三边篱笆总长为即可求解； （2）根据题意可得，进行求解，再结合墙长为取合适的值即可； （3）假设能围成面积为的苗圃园，可得，运用根的判别式即可验证． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵三边篱笆总长为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得，， ∵墙长， ∴， ∴ 解得， ∴的值为； 【小问3详解】 略 23. 踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … （2）在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； （3）甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】（1） （2）解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． （1）填表： 图象 对应的函数解析式（注明自变量的取值范围） 顶点坐标 (_____，____) ———————————— (_____，____) （2）观察图象，解答下列问题． ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围； （3）已知为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为；为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最低点到直线的距离记为．直接写出当的取值在哪个范围时，的值保持不变． 【答案】（1）；；；； （2）①或；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解； ②令，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最低点，即可求解． 【小问1详解】 解：函数：的顶点坐标为， ∵将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象， ∴函数的解析式为，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①根据函数图象可得当或时，随的增大而减小； ②令， 解得：（舍去），， 又∵， 根据函数图象可得：当时，． 【小问3详解】 解：∵， 点为上一点，横坐标为，则， 点为上一点，横坐标为，即， ∵点为上一点，横坐标为3． 当时，，则， ∵过点作轴的平行线， ∴直线的解析式为， 在函数中，当时，， 情形一：如图，当，即时，最低点为， ，值不变，符合题意； 情形二：如图，当，即时，最低点为， ，值变化，不符合题意； 情形三：如图，当，即时，最低点为， ，值不变，符合题意； 综上所述，当的值保持不变时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $