23.1.1 锐角的三角函数 第2课时 正弦和余弦 (课件) 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

23.1 锐角的三角函数 锐角的三角函数 第2课时 正弦和余弦 第23章 解直角三角形 1 导入新课 1.分别求出图中∠A，∠B 的正切值. A B C A B C 6 2 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 邻边 b 对边 a 斜边 c 3 知识模块一　正弦和余弦的定义 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系？你能试着分析一下吗？ 探究新知 A B C A' B' C' 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值． A B C A' B' C' ∠A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦（sine），记作 sin A ， 即 A B C c a b 对边 斜边 ∠A 的对边记作 a，∠B 的对边记作 b，∠C 的对边记作 c 归纳总结 sin A= = 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 200，sin A = 0.6，求 BC 的长. 解： 在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中， A B C ∴ BC = 200×0.6 = 120. 典例精析 变式 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 20， sin A= .求: △ABC 的周长和面积. 解：在 Rt△ABC 中， 20 ┐ A B C ∴ sin A= = .BC=20 ∴ = . ∴AB= =25.AC= =15 ∴ =25+20+15=60. = = 150. 1.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 20，. 求: △ABC 的周长和面积. 20 ┐ A B C 练一练 解：在 Rt△ABC 中， ∴AB=25， ∴C△ABC=25+15+20=60 根据勾股定理可得：AC=15. ∴S△ABC=20×15÷2=150 20 ┐ A B C 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与有什么关系？你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 合作探究 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值． 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C' A B C A' B' C' ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine），记作 cos A，即 A B C c a b 对边 斜边 在图中，∠A 的对边记作 a，∠B 的对边记作 b，∠C 的对边记作 c 归纳总结 cos A= = 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如图，已知 AC = 12，BC = 5，求∠A 的各个三角函数. ┌ A C B 12 5 练一练 解：在 Rt△ABC 中，AB=12，BC=5，∠C=90° ∴AC= =13 ∴ sin A= = . cos A= = . tan A= = . ┌ A C B 12 5 15 知识模块二　锐角的三角函数 什么叫做锐角的三角函数？ 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做锐角A的三角函数． 典例精析 在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sin B，cos B，tan B的值． A B C 解：过点A作AD⊥BC于D，则BD＝BC＝×6＝3. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝4， ∴sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝ . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，cos A＝ . (1)求BC的长； (2)求sin A的值． 练一练 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2. ∵cos A＝ ， ∴AB＝3. ∴BC＝=＝ . (2)在Rt△ABC中,∠C＝90,AB＝3,BC＝ , ∴sin A＝ ＝ . 随堂练习 随堂练习 巩固练习 1.如图，在矩形纸片中， ，.将折叠到 的位置，交于点，则 的值为( ). A. B. C. D. C 2. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示出sin α的值，正确的是(　　) A. B. C. D. B 3. 我们将等腰三角形的腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若一个等腰三角形的腰长为10，“边长正度值”为6，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于________． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值． 解：∵=， A B C 6 10 ∴=0.6 又∵AC=8， ∴==0.8 ∴ 5.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4)，连接 OP. 求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的各个三角函数值. x y O α P(3，4) x y O α P(3，4) Q 解：过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q. ∴ sin α = cos α = tan α = 在 Rt△PQO 中，OQ = 3，QP = 4， 得OP = = 5. 课堂总结 课堂小结 cos A= = sin A= = tan A= = $