21.5 反比例函数 第2课时 (课件) 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

21.5 反比例函数 第2课时 反比例函数的图象和性质 第21章 二次函数与反比例函数 1 旧知回顾 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是怎样的？如何做出？ 答：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，过点(0，b)和(－，0)可以作出它的图象． 2．一次函数图象有何性质？ 答：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．　 知识模块一　反比例函数的图象与性质 例2 画出函数的图象. 探究新知 解：函数的自变量x取值范围为 列表： x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 … 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用光滑的曲线分别自左向右顺次连接第一、三象限内的各个点，即可得反比例函数的图象． 观察图象可知： （1）因为自变量,所以y轴把函数的图象分隔成两个分支，它们分别在第一、三象限内； 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 观察图象可知： （2）在每个象限内，图象自左向右下降，y随x的增大而减小，图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交. 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 观察图象可知： （3）如果点在函数的图象上，那么点也应在它的图象上. 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 观察函数和的图象. 都是双曲线. 既是轴对称图形（对称轴为y=x和y=-x）， 也是中心对称图形（对称中心为原点）． 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 观察函数和的图象. 两支曲线分别位于第一、三象限内，每支图像自左往右下降，y随x的增大而减小; 5 10 x 5 10 -5 -10 -5 -10 y O 观察函数和的图象. 两支曲线分别位于第二、四象限内，每支图像自左往右上升，y随x的增大而增大; 结合 和 时的反比例函数图象与性质整理，你能总结出反比例函数的图象与性质吗？ 思考 形状: 反比例函数的图象叫作双曲线. 位置：由k决定： 当k>0时,图象的两个分支分别位于第一、三象限内，在每个象限内，图像自左往右下降，y随x的增大而减小; 当k<0时,图象的两个分支分别位于第二、四象限内；在每个象限内，图像自左往右上升，y随x的增大而增大. 范例 已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1)． (1)若点A(1，2)在这个函数的图象上，求k的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)若k＝13，试判断点B(3，4)，C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由． 解：(1)代入A(1，2)，得k－1＝2，解得k＝3. (2)由题意，得k－1＞0，解得k＞1. (3)当k＝13时，y＝.当x＝3时，y＝4；当x＝2时，y＝6. ∴点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上． 知识模块二　比例系数k的几何意义 范例 如图，A是反比例函数y＝的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，若△ABO的面积是3，则k的值是____． 6 仿例 如图，A，B两点在双曲线y＝上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝____． 6 知识模块三　反比例函数与正比例函数综合 反比例函数与正比例函数的图象的交点有何特征？ 反比例函数与正比例函数图象的交点关于原点对称，即横、纵坐标互为相反数. 范例： 如图，若直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(1，－3)，则其另一个交点坐标是 ( ) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，－3) D．(－1，3) D 变例1 如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A(x1，y2)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为____． 24 变例2 已知反比例函数y＝的图象与一次函数 y＝2x＋1的图象交于点A(1，m). (1)求反比例函数的表达式； (2)求两个函数图象的另一个交点坐标． 解：(1)将A(1，m)代入y＝2x＋1，得2×1＋1＝m，解得m＝3. ∴A(1，3). 将A(1，3)代入y＝，得k＝3. ∴反比例函数的表达式为y＝. (2)联立 解得 或 ∴另一个交点坐标为(-,-2). y= y=2x+1 x=1 y=3 x=- y=-2 1.填空 （1）对于函数，自变量x得取值范围是______，当时， _____0，当时， _____ 0； （2）对于函数,当时，y随x的增大而_____ ，当时，y随x的增大而_____ . 增大 增大 练习 2.已知反比例函数的图象经过点P(-2,2). (1)求这个函数表达式； (2)判断点M(-4,1),N(1,4)是否在这个函数的图象上； (3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，y随x的增大如何变化？ 解:(1)把点（-2，2）代入中， 所以函数表达式为 . 得 解得 (2)当时， 所以点M在函数图象上. 当时， 所以点N不在函数图象上. (3)图象位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大. 3.已知反比例函数 . (1)如果这个函数图象经过点(-3,5),求k的值； (2)如果当或时，函数y随x的增大而减小，求k的取值范围. 解（1）因为函数图象经过点（-3，5），代入函数的表达式，得 解方程，得 (2)根据题意，有 解不等式， 得 4.正比例函数与反比例函数的图象都经过点A(m,2). (1)求的值. (2)在同一平面直角坐标系中画出正比例函数和反比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围. 解：(1)将A(m,2)代入反比例函数中，得 解方程，得 将A(3,2)代入正比例函数中，得 解方程，得 . (2)由图象可知，这两个函数的图象有两个交点，交点坐标分别是(3，2)和( -3，-2 ). 所以当正比例函数值大于反比例函数值时，的取值范围为或 1.已知反比例函数 的函数经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 （ ） A. (-6，1) B. (1，6) C. (2，-3) D. (3，-2) 巩固练习 B 2.若点 、、 在反比例函数 的图象上，则 、、 的大小关系为（　　） A. B. C. D. D 3. 反比例函数 y = 的图象如图所示，则k___0；在每个象限内，y随x的增大而______. < 增大 4．已知一次函数y＝x－b与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，则b的值为______． －1 课堂小结 比例系数 图象 图象形状 经过象限 增减性 y = k>0 k<0 双曲线 第一、三象限 第二、四象限 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 反比例函数的图象和性质 $