重难点专题06 二次函数的图象与a、b、c、Δ的关系（5大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以a、b、c、Δ为核心，构建“符号判断-交点分析-代数式求值-图象识别-综合论证”五步方法体系，通过几何直观与推理能力培养，实现二次函数图象与系数关系的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重难点一|7题|开口方向/对称轴“左同右异”/c与y轴交点|从系数符号到图象基本特征的直接对应| |重难点二|8题|Δ与x轴交点个数关系/参数范围限制|判别式与函数零点的逻辑推导| |重难点三|6题|特殊值(x=1,-1,0)代入判断代数式符号|函数值与坐标位置的几何直观转化| |重难点四|6题|系数符号→图象特征→选项匹配|一次函数与二次函数图象的关联性推理| |重难点五|9题|符号/特殊值/对称轴/增减性综合应用|多结论矛盾排查与代换化简的逻辑论证|

重难点专题06 二次函数的图象与a、b、c、Δ的关系 重难点一 二次函数的图象与a、b、c的关系 1.开口向上，开口向下； 2.利用左同右异判断符号，对称轴在轴左右决定同异，对称轴为轴则； 3.是抛物线与轴交点纵坐标，交点在轴上方，下方，过原点。 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 2．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知二次函数的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________（填“大于0、小于0或等于0”）． 7．若抛物线（）的示意图如图所示，则____0， ____0， ____0（填“”，“＝”或“”）． 重难点二 二次函数图象与x轴交点的个数与Δ的关系 1.图像与轴两个交点； 2.顶点刚好落在轴； 3.全程在轴上方或下方无交点； 4.求参数范围时必须附带的限制条件。 1．抛物线与轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线与x轴的交点个数是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．二次函数的图象与x轴的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 6．若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 7．若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______． 8．若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 重难点三 特殊值法判断代数式的符号 1.对应，对应，同理； 2.观察对应横坐标上抛物线上点的位置，点在轴上方代数式大于0，下方小于0。 1．如图，已知二次函数的图像如图所示，则下列6个代数式，，，，，中其值为正的式子个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ； ； ； ； ，其中正确结论的有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．当时，y随x的增大而增大 6．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 重难点四 利用系数判断函数的图象 1.先根据已知图象判断各项系数的正负性； 2.结合选项所给的图象进行逐一判断即可。 1．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 4．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过第____________象限 6．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 重难点五 对多个结论进行综合判断 1.逐条核对结论，综合运用符号、特殊值、对称轴、增减性、最值知识； 2.遇到推导类结论用代换法化简，存在矛盾的结论直接判定错误。 1．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 4．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，且，则 C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） ， ， ， ．    A． B． C． D． 6．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：    ①当时，． ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有_____． 9．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是_______(填序号)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题06 二次函数的图象与a、b、c、Δ的关系 重难点一 二次函数的图象与a、b、c的关系 1.开口向上，开口向下； 2.利用左同右异判断符号，对称轴在轴左右决定同异，对称轴为轴则； 3.是抛物线与轴交点纵坐标，交点在轴上方，下方，过原点。 1．如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 2．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由二次函数开口方向、与y轴交点位置，对称轴位置即可解答． 【详解】解：由题意知，二次函数开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在y轴右侧，则， ． 故选：C． 4．抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，结合开口方向、对称轴位置、与y轴交点，判断抛物线经过的象限．由于开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，且当时，故一定不经过第二象限． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线开口向下． ∵， ∴， ∴对称轴直线， 则对称轴在y轴右侧， 当时，， ∵， ∴，与y轴交于负半轴． 当时，， ∵，；，，， ∴；， ∴恒成立， 即时． ∴抛物线一定不经过第二象限． 故选B． 5．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数系数与图象的关系．根据二次函数图象得出，，的取值范围可得结论． 【详解】解：由图象得： ∵抛物线开口向下， ∴； 又抛物线与轴的正半轴相交， ∴； 又抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， 故选：D． 6．已知二次函数的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________（填“大于0、小于0或等于0”）． 【答案】大于0 【详解】解：对于二次函数，其图像的增减性由二次项系数的符号决定： ∵当时，函数图像开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小（即下降），在对称轴右侧随的增大而增大（即上升）； ∵题目中二次函数的图像在对称轴左侧是下降，右侧是上升， ∴该函数图像符合时的特征． 故答案为：大于0． 7．若抛物线（）的示意图如图所示，则____0， ____0， ____0（填“”，“＝”或“”）． 【答案】 【分析】根据二次函数图象与其各项系数的关系即可填写． 【详解】根据图象开口向上可知a>0，对称轴在y轴右侧可知b<0，与y轴交点在原点下方可知c<0． 故答案为：>，<，<． 【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系．熟知二次函数图象与各项系数的关系是解答本题的关键． 重难点二 二次函数图象与x轴交点的个数与Δ的关系 1.图像与轴两个交点； 2.顶点刚好落在轴； 3.全程在轴上方或下方无交点； 4.求参数范围时必须附带的限制条件。 1．抛物线与轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．通过计算一元二次方程的判别式，判断抛物线与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的实数根， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故抛物线与x轴有2个交点， 故选：C． 2．已知二次函数与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次函数与x轴无交点，得出方程无实数根，再列出不等式求解． 【详解】解：∵二次函数与x轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 3．抛物线与x轴的交点个数是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系．抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线与x轴的交点个数为2个， 故选：C． 4．二次函数的图象与x轴的交点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解与x轴交点个数即方程实数解的个数是解题的关键． 根据方程解的情况确定即可． 【详解】解：令， 则， ， 方程有2个不相等的实数根， 所以二次函数的图象与x轴的交点有2个． 故选：C． 5．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于零求出的取值范围，任取范围内一个值即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 6．若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】11 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．由抛物线（是常数）与轴只有一个交点可得，方程的判别式为零，即可求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴只有一个交点， 方程的判别式为零， ， 解得：， 故答案为：11． 7．若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，即二次方程 有实数根． 其中 , , ． ∴． 解得 ． 故答案为 ． 8．若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得． 故答案是：． 重难点三 特殊值法判断代数式的符号 1.对应，对应，同理； 2.观察对应横坐标上抛物线上点的位置，点在轴上方代数式大于0，下方小于0。 1．如图，已知二次函数的图像如图所示，则下列6个代数式，，，，，中其值为正的式子个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，从图象中获取信息是解题的关键． 根据抛物线的开口方向得，抛物线交y轴的负半轴，可知，可判断，当时，，可判断，当时，，可判断，然后根据，可判断，，． 【详解】∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即； ∵， ∴， ∴，，， 所以其值为正的式子的个数为2个． 故选：B． 2．如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在轴右侧，故， 又∵， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵点B在到之间，且在点B的左边， ∴，故B选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵是抛物线与x轴交点， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵点的横坐标在和0之间， ∴， ∵， ∴ ，故D选项正确，符合题意． 故选D． 3．二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ； ； ； ； ，其中正确结论的有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； 当时，，即，故错误； ∵当时， ∴，即，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最大值为：， ∴当为任意实数时，有， ∴，即，故正确； 综上所述，正确的有，共个， 故选：． 4．如图，抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号，再根据对称轴、当和时的取值，即可确定相关式子是否正确． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与y轴交于正半轴， ，，，与轴的另一个交点为， ， ，，故B选项和C选项错误，不合题意； 由图可知，当时， ，故A 选项错误，不合题意； 由图可知，当时， ， ∵， ∴，故D选项正确，符合题意， 故选：D． 5．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴位置、函数的增减性、特殊点的位置等进行逐项判断求解即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，，故选项A错误，不符合题意； B、∵图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，其对称轴为直线，图象经过点， ∴，，，， ∴，故选项B正确，符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而增大是错误的，故选项D不符合题意； 故选：B． 6．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上可得，，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，即可判断②错误；根据时的函数值与时的函数值相等可得当时，，由此即可判断③正确；求出当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，则结论②错误； 由函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，则结论③正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵当时，， ∴当时，， ∴，则结论④错误； 综上，正确结论的序号为①③， 故答案为：①③． 重难点四 利用系数判断函数的图象 1.先根据已知图象判断各项系数的正负性； 2.结合选项所给的图象进行逐一判断即可。 1．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 2．在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 3．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 4．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 5．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数 的图象不经过第____________象限 【答案】二/2 【分析】由抛物线的开口方向、与轴的交点以及对称轴，可确定，，的符号，继而可判定一次函数的图象不经过哪个象限即可． 【详解】解：开口向上， ， 与轴交于负半轴， ， 对称轴在轴左侧， ， 又∵， ， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【点睛】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质． 6．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 重难点五 对多个结论进行综合判断 1.逐条核对结论，综合运用符号、特殊值、对称轴、增减性、最值知识； 2.遇到推导类结论用代换法化简，存在矛盾的结论直接判定错误。 1．如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 2．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 3．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 4．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，且，则 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 利用二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得：图象开口向上，交于轴负半轴，则、， 对称轴，即、， 则， 故A、D错误； ， ， 即与的函数值相等， 、关于对称轴对称， ， ， 故B正确； 由对称轴，结合图象发现，时，对应的函数值大于零， 令，则， 故C错误； 故选：B． 5．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） ， ， ， ．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向上， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∴，故正确； 由图象可知，该抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故正确； 当时，， ∴，故错误； ∵抛物线的开口方向向上， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 6．抛物线的部分图像如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得，，故①正确；根据抛物线过点，可得，从而得到，进而得，故②正确；由抛物线的对称轴为直线，开口向下，可得当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为，可得到，故③错误；对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，得到方程的两根为，，故④正确；根据二次函数的性质可得当时，函数有最大值，再由直线经过点，可得，从而得到，进而得到，故⑤错误，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，关于对称轴的对称点为， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，故④正确； ， ∵， ∴当时，函数有最大值， ∵直线经过点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，函数有最大值，故⑤错误； ∴正确的有3个． 故选：B 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，故①错误； ②∵函数开口方向向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在和之间，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标要小于， ∴，且， ∴，故②正确； ③∵图象与y轴的交点在和之间， ∴， ∵图象与x轴交于点和， ∴的两根为和3， 由根与系数关系可知：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：②③④． 8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：    ①当时，． ②若且，则； ③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有_____． 【答案】①③④ 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线 关于对称轴对称，，故②错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得，， ， ∴点的坐标为，，故③正确； ，抛物线对称轴为直线， ，设， ，，， ， ， ，解得， ，故④正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 9．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是_______(填序号)． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，注意数形结合；利用抛物线与y轴的交点位置得到，抛物线开口向下得，利用对称轴在y轴的右侧得，于是可对①进行判断；根据抛物线与轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线可判断④；将方程变形为，根据交点坐标可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时，， ∴，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以④正确； 由可得， ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标不一定为3， 只有当时，则，此时点D的横坐标为3，否则不为3， ∴方程的一个根为0，另一个根不一定为3，所以⑤错误． 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $