第2章 第1节 函数的概念及其表示(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习讲义围绕函数概念及其表示核心考点，涵盖函数定义、定义域、解析式、分段函数等内容，按概念理解、要素应用、综合问题的逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学环节，帮助学生突破定义域求解、解析式转化等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如在函数解析式教学中，通过配凑法、换元法、待定系数法等对比训练，引导学生用数学语言表达函数关系。设置分层练习与真题改编题组，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导，提升学生应考能力。

第1节　函数的概念及其表示 课标解读 1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．　3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念及其表示 (1)函数的概念 (2)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法； (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 2．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数． 3．复合函数 对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．(人A必修一P65例2改编)函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为(　　) A． B．∪(1，＋∞) C．∪(1，＋∞) D． 解析：C　要使函数f(x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x＞且x≠1，因此，函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞)．故选C. 2．(苏教必修一P115练习T4改编)下列图象中，y不是x的函数的是(　　) 解析：D　任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此D中图象不表示函数关系．故选D. 3．(人A必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A．y＝2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 解析：B　函数y＝2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝ ＝|x|与y＝x的对应关系不同，也不是同一个函数．故选B. 4．(人A必修一P101复习参考题T7改编)已知函数f(x)＝则f＝(　　) A．62 B．63 C．64 D．65 解析：B　因为f＝－＋1＝－4， 所以f＝f(－4)＝4×16－1＝63.故选B. 考点一　函数概念的理解(自主练透) 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数值域中的每一个数在定义域内一定存在一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 解析：AC　函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应，故A正确；函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}，故B错误；根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应，故C正确；当x的值不同时，y的值可能相同，如函数y＝x2，当x＝1或x＝－1时，y＝1，故D错误．故选AC. 2．(2025·江苏常州二模)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：C　函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，可知A图象定义域不满足条件；B图象函数的值域不满足条件；C图象满足题目要求；D图象，不是函数的图象．故选C. 3．已知函数y＝|x－2|是从集合A到集合B的函数，若B＝{0，1}，则集合A不可能是(　　) A．{1，2} B．{－1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 解析：B　当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝0，当x＝3时，y＝1，当x＝－1时，y＝3，此时y不在集合B内，因此集合A不可能是{－1，2}．故选B. 4．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝ ，g(x)＝x B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝x－2 D．f(x)＝1和g(x)＝x0 解析：B　对于A，f(x)和g(x)定义域均为R，f(x)＝＝|x|，故f(x)和g(x)定义域相同，对应关系不同，f(x)和g(x)不是同一个函数，故A错误；对于B，f(x)和g(x)定义域均为R，f(x)＝|x＋1|＝ x≠0}，故f(x)和g(x)定义域不相同，f(x)和g(x)不是同一个函数，故D错误．故选B. 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)当且仅当给定两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一个函数，否则表示不同的函数． 考点二　函数的定义域(师生共研) 例1　(1)函数f(x)＝ ＋lg (1－3x)的定义域为(　　) A． B．(0，1] C． D． 解析：C　要使函数有意义，则 解得x<，所以函数f(x)＝ ＋lg (1－3x)的定义域为.故选C. (2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2026]，则函数g(x)＝的定义域为________． 解析：要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2026，解得－1≤x≤2025，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2025].所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x<1或1<x≤2025.故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2025]. 答案：[－1，1)∪(1，2025] 函数定义域的求法 (1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． (2)求抽象函数定义域的方法 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 1．若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为 (　　) A．[－2，2] B．[－2，4] C．[－4，4] D．[－8，8] 解析：C　因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8].对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有 解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4].故选C. 2．若函数f(x)＝的定义域为[－2，＋∞)，则实数a＝________，实数b的取值范围为________． 解析：由函数f(x)＝，得 即 因为函数f(x)＝ 的定义域为[－2，＋∞)，故a＝2，b<－2. 答案：2　(－∞，－2) 考点三　函数的解析式(师生共研) 例2　(1)(一题多解)已知f(x)满足f＝x－2 ，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次函数，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1，且f(0)＝3，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)法一(配凑法)：因为x－2 ＝2－1，所以f＝2－1，因为x≥0，所以 －1≥－1.所以f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二(换元法)：设u＝ －1，则 ＝u＋1(u≥－1)，所以f(u)＝(u＋1)2－2(u＋1)＝u2－1(u≥－1)，即f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x＋1.即2ax＋a＋b＝2x＋1，所以解得又因为f(0)＝3，所以c＝3，所以f(x)＝x2＋3. (3)(方程组法)：因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)与f(－x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 1．已知一次函数f(x)满足2f(x)＋f(x＋1)＝9x＋6，则f(4)＝(　　) A．12 B．13　 C．14　 D．15 解析：B　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x)＋f(x＋1)＝2ax＋2b＋a(x＋1)＋b＝3ax＋a＋3b.因为2f(x)＋f(x＋1)＝9x＋6，所以解得所以f(x)＝3x＋1，f(4)＝13.故选B. 2．已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________． 解析：因为f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，所以f(x)＝－(x≠0)． 答案：－(x≠0) 考点四　分段函数(多维探究) 角度1　分段函数求值 例3　(1)(2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　将x＝－1代入，得到f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0，所以f(f(－1))＝f(0)，将x＝0代入，得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.因此，f(f(－1))＝f(0)＝1.故选B. (2)已知f(x)＝则f＝(　　) A．2 B． C． D．1 解析：D　函数f(x)＝所以f＝2f＝2× ＝1.故选D. 角度2　分段函数与方程、不等式 例4　已知函数f(x)＝若f(a)＝－1，则a＝________；不等式f(x)≤2的解集为________． 解析：当a<0 时，f(a)＝a2－2a＝－1，解得a＝1(舍去)，当a≥0 时，f(a)＝－2a＋3＝－1，解得a＝2，所以若f(a)＝－1，则a＝2.当x<0 时，由f(x)≤2，得1－ ≤x<0，当x≥0 时，由f(x)≤2，得x≥，故不等式f(x)≤2 的解集为∪. 答案：2　∪ 分段函数相关问题的解题思路 (1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 1．已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则a＝________． 解析：当a>0时，log2a＝1，解得a＝2；当a≤0时，2a＝1，解得a＝0.所以a＝0或2. 答案：0或2 2．若函数f(x)＝则f(f(－1))＝____，不等式f(x)>2的解集是_____________________． 解析：因为f(x)＝所以f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝3.当x≤0时，f(x)＝x2＋1>2，则x2>1，解得x<－1；当x>0时，f(x)＝3>2恒成立，所以不等式f(x)>2的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)． 答案：3　(－∞，－1)∪(0，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $