第2章 第1节 函数的概念及其表示(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示高考核心考点，涵盖函数定义、定义域、解析式、分段函数等内容，按概念要素、表示方法、应用拓展逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、分层训练、真题对接环节，帮助学生构建函数问题解题框架。 讲义以新课标核心素养为导向，设微提醒强化概念辨析培养数学眼光，用待定系数法等多方法求解析式发展数学思维，结合自测诊断与对点练保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第一节　函数的概念及其表示 【课程标准】　1.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．　2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数．　3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 1.函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B). 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y=f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称它们是同一个函数. [微提醒]　若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y=x2(x≥0)与y=x2. 3.表示函数的方法 表示函数的主要方法有解析法、列表法和图象法. 4.分段函数 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数. [微提醒]　分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. [常用结论] (1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数 B．函数y=f(x)的图象可以是一条封闭曲线 C．y=x0与y=1是同一个函数 D．函数f(x)=的定义域为R 答案：ABC 2.在下列图形中，能表示函数关系y=f(x)的是(　　) 答案：D 3.(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)=x2-2x-1与g(s)=s2-2s-1 B．f(x)=与g(x)=x C．f(x)=与g(x)= D．f(x)=x与g(x)= 答案：AC 解析：f(x)=与g(x)=x的值域不同；f(x)=x与g(x)==|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确. 4. (双空题)已知函数f(x)=x+，则f(x)的定义域为　　　　；若f(a)=2，则a的值为　　　　.  答案：(-∞，0)∪(0，+∞)　1 解析：要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).由f(a)=2得a+=2，解得a=1. 5.已知函数f(x)=则f(f(-))=　　　　.  答案：1 解析：f=3，则f=f(3)=log33=1. 学生用书⬇第18页 考点一　求函数的定义域自主练透 1.( 2026·湖北武汉模拟)函数f(x)=+的定义域为(　　) A．[-2，0)∪(0，2] B．(-1，0)∪(0，2] C．[-2，2] D．(-1，2] 答案：B 解析：要使函数有意义，则需解得-1<x≤2且x≠0，所以x∈(-1，0)∪(0，2].故选B． 2.已知函数y=f(x)的定义域为[-8，1]，则函数g(x)=的定义域是(　　) A．(-∞，-2)∪(-2，3] B．(-8，-2)∪(-2，1] C．∪ D． 答案：C 解析：因为f(x)的定义域为，所以解得-≤x≤0，且x≠-2.所以g(x)的定义域为∪.故选C． 3.若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围是 (　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意知，ax2-4ax+2>0的解集为R.当a=0时，2>0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0<a<.综上，实数a的取值范围是.故选D． 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 对点练1.(1)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S=f(x)的定义域为(　　) A．(0，+∞) B．(0，a) C．[0，+∞) D． (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1，2]，则函数f(4x+1)的定义域为(　　) A．[3，5] B． C．[5，9] D． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)矩形的一条边长为x>0，则另一条边长为>0，得x<，所以0<x<，故f(x)的定义域为.故选D． (2)在f(2x+1)中，x∈[1，2]，所以2x+1∈[3，5]，所以在f(4x+1)中，4x+1∈[3，5]，所以x∈.故选B． 考点二　求函数的解析式师生共研 (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，则f(x)=　　　　　　　.  (2)已知f=lg x，则f(x)=　　　　.  (3)已知f=x4+，则f(x)=　　　　.  (4)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)=2f·-1，则f(x)=　　　　.  答案：(1)2x+或-2x-8　(2)lg(x>1)　(3)x2-2，x∈[2，+∞)　(4)+ 解析：(1)(待定系数法)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b，又f(f(x))=4x+8，所以a2x+ab+b=4x+8，即解得或所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (2)(换元法)令t=+1(t>1)，则x=， 所以f=lg，即f(x)=lg(x>1). (3)(配凑法)因为f=-2， 所以f(x)=x2-2，x∈[2，+∞). (4)(构造法)在f(x)=2f·-1中，将x换成，得f=2f(x)·-1， 由 解得f(x)=+. 求函数解析式的四种方法 对点练2.(1)若f=，则f(x)=　　　　.  (2)若f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=　　　　.  (3)已知f(x)是二次函数且f(0)=2，f(x+1)-f(x)=x-1，则f(x)的解析式为　　　　　　.  答案：(1)(x≠0且x≠1)　(2)3x　(3)f(x)=x2-x+2 解析：(1)f(x)==(x≠0且x≠1). (2)因为2f(x)+f(-x)=3x①，将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x②，由①②得f(x)=3x. (3)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=2，得c=2，f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1，即2ax+a+b=x-1，所以即所以f(x)=x2-x+2. 学生用书⬇第19页 考点三　分段函数(高考超重点)多维探究 角度1　分段函数求值 已知函数f(x)=则f=(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：f=f=f=f=f=+=3+=.故选A． 求分段函数函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. 角度2　分段函数与方程、不等式 (1)已知函数f(x)=若f(a-2)=f(a)，则f=(　　) A．11 B．6 C．4 D．2 (2)已知函数f(x)=则f(x)<f(x+1)的解集为　　　　.  答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题意得函数f(x)在(-∞，0]和(0，+∞)上均为增函数，因为f(a-2)=f(a)，所以解得0<a≤2，所以a2+a=5(a-2)+6，即a2-4a+4=0，解得a=2，符合题意，所以f=f(1)=12+1=2.故选D． (2)当x≤0时，x+1≤1，f(x)<f(x+1)等价于x2-1<(x+1)2-1，解得-<x≤0；当0<x≤1时，x+1>1，此时f(x)=x2-1≤0，f(x+1)=log2(x+1)>0， 所以当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x+1)； 当x>1时，x+1>2，f(x)<f(x+1)等价于log2x<log2(x+1)，此时也恒成立.综上，不等式f(x)<f(x+1)的解集为. 解决分段函数与不等式问题的基本策略 1.分类讨论：解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可. 2.数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题. 对点练3.(1)设x∈R，定义符号函数sgn(x)=则方程x2sgn(x)=2x-1的解是(　　) A．1 B．-1- C．1或-1- D．1或-1+或-1- (2)( 2026·山东泰安模拟)已知函数f=且f=-12，则f(6-m)=(　　) A．-1 B．-3 C．-5 D．-7 (3)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是　　　　.  答案：(1)C　(2)D　(3)(-∞，0) 解析：(1)当x>0时，方程x2sgn (x)=2x-1可化为x2=2x-1，化简得(x-1)2=0，解得x=1；当x=0时，方程x2sgn (x)=2x-1可化为0=-1，无解；当x<0时，方程x2sgn (x)=2x-1可化为-x2=2x-1，化简得x2+2x-1=0，解得x=-1+(舍去)或x=-1-.综上，方程x2sgn (x)=2x-1的解是1或-1-.故选C． (2)由题意知，当m≤1时，f(m)=2m+1-8=-12，得2m+1=-4，又2m+1>0，所以方程无解；当m>1时，f(m)=4(m+1)=-12，得(m+1)=-3=lo8，即m+1=8，解得m=7，所以f(6-m)=f(-1)=2-1+1-8=-7.故选D． (3)根据题意作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，满足f(x+1)<f(2x)时，则或所以x<0. [真题再现]　(2022·浙江卷)已知函数f=则f=　　　　；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大值是　.  答案： 　 3+ 解析：由已知f=-+2=，f=+-1=，所以 f=.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3，所以-1≤x≤1，当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+-1≤3，所以1<x≤2+，1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+，所以[a，b]⊆[-1，2+]，所以b-a的最大值为3+. [教材呈现]　(湘教版必修一P76练习2)已知函数f(x)= (1)求f(3)+f(-3)f的值； (2)对函数f(x)，若存在点x0，使得f(x0)=1，求实数x0的值. 点评：2022年浙江卷高考题与教材习题在考查函数的赋值与整体代换的思想的同时，又在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现. 学科网（北京）股份有限公司 $