第09讲 线段、射线、直线（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第09讲 线段、射线、直线（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.线段、射线、直线 2.直线的基本事实 3 .比较两条线段的长短 4.线段的中点 题型巩固 一、直线、线段、射线的数量问题 二、直线相交的交点个数问题 三、线段的应用 四、直线、射线、线段的联系与区别 五、画出直线、射线、线段 六、点与线的位置关系 七、两点确定一条直线 八、线段的和与差 九、线段中点的有关计算 十、线段n等分点的有关计算 十一、线段之间的数量关系 十二、与线段有关的动点问题 十三、两点之间线段最短 十四、两点间的距离 十五、作线段(尺规作图) 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.线段、射线、直线 1. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 2. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB(或 BA) 射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 知识点2.直线的基本事实 1. 画直线画直线的常用工具是直尺，经过一点 A 可以画出无数条直线， 如图 4.1-4所示 . 也就是说， 经过一点的直线有无数条 . 2. 直线的基本事实经过两点有且只有一条直线(这一事实可以简述为两点确定一条直线)，如图 4.1-5 所示 . 知识点3. 比较两条线段的长短 1. 线段的基本事实 线段的基本事实 两点之间的距离 举例 两 点 之 间 的所有连 线中，线 段 最 短，简单说成 : 两点 之 间线段最短 存在性； 最短性； 唯一性 两点之间线段的 长 度，叫作这两点之间的距离 图 中 所 有 连 接 A， B 两点的线中，线段AB 是最短的，线段AB 的 长 度 就是点 A与点 B 之间的距离 (1) 观察法： 当两条线段的长短相差很大时， 一般直接观察比较两条线段的长短 . (2) 度量法(数的比较)： 利用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . 示例 用度量法比较两条 线段的长短 如图，对于线段 AB 与线段 CD，测得 AB= 2 cm， CD=3 cm，所以线段 AB 的长度小于线段 CD 的长度，记作 AB<CD. (3)叠合法(图形的比较) 也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把 两 条 线 段的 一 个 端 点重合，另一个端 点 位 于 重合 端 点 的 同侧 并 在 同 一条直线上，通过 端 点 的 位置 关 系 比 较线段的长短 以线段 AB， CD 为例，把点 A 与点C重合，线 段 AB 与线段 CD 在同一条直线上并使点 B， D 都位于点 A(或点 C)的 同 侧，通过观察点 B 与点 D的位置关系比较线段的长短 因 为 点 D 在线 段 AB 上，所以 AB>CD 因 为 点 B 与点 D 重 合，所以 AB=CD 因为 点 B 在线段 CD 上，所以 AB<CD 2. 尺规作图    在数学中， 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图 . 知识点4.线段的中点 1. 线段的中点的定义  把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点 . 如图 4.1-7，如果点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB. 2. 等分线段  把 一 条 线 段 分 成 三 条 相 等 的 线 段的点叫 作线段的三等分点 . 如图 4.1-8，点 M， N 是 线 段 AB 的 三等分点，则有 AM=MN=NB=  AB. 题型巩固 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．根据题意画出图形，即可看出答案． 【详解】解：如图可以画3条直线或1条直线， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 【答案】(1)8 (2)10 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查了射线的定义以及图形变化规律，理解并应用图表数据中直线上点的个数与射线的条数的关系是解题的关键． （1）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案； （2）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：根据已知表格中数据变化规律得出：当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为8条； 故答案为：8； （2）根据已知表格中数据变化规律得出：若一条直线上共有20条射线时，则该直线上点的个数为10个． 题型二、直线相交的交点个数问题 4．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 5．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）平面上6条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】15 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查求直线的交点个数问题．根据条直线相交最多有个交点，进行求解即可． 【详解】解：两条直线两交有1个交点， 三条直线相交最多有3个交点， 四条直线相交有6个交点， 五条直线相交最多有10个交点， ， ∴条直线相交最多有个交点， ∴6条直线相交，最多有个交点； 故答案为：15． 6．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【知识点】图形类规律探索、直线相交的交点个数问题 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 题型三、线段的应用 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下列线段表示正确的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【知识点】线段的应用 【分析】本题考查线段的表示方法，根据线段可以用一个小写字母表示，或者用表示线段两个端点的大写字母表示，逐项判断，即可解题． 【详解】解：因为线段可以用一个小写字母表示，或者用表示线段两个端点的大写字母表示， 所以线段可以表示为线段， 故选：B． 8．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 【答案】10 【知识点】线段的应用 【分析】根据题意得出共有车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价． 【详解】解：由题意可知共有5个站点， ∴共有种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有种票价， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力，本题用了排列和组合的内容． 9．比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 【答案】见解析 【知识点】线段的应用 【分析】结合所给的图形，一条折线，一条线段，可以采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较即可． 【详解】解：采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较． 【点睛】本题考查了长度的测量方法，采用化曲为直的方法进行比较是解题关键． 题型四、直线、射线、线段的联系与区别 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条 （填“直线”“线段”或“射线”）． 【答案】射线 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段的区分，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义。 【详解】解：晚上，小明拿起手电筒照向远方，此时手电筒光线是一条射线． 故答案为：射线． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上的原点为O，点A表示3，点B表示． (1)数轴是什么图形？ (2)数轴在原点O右边的部分（包括原点）是什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (4)数轴上不小于且不大于3的数对应的点组成什么图形？怎样表示？ 【答案】(1)直线 (2)射线，射线 (3)非正数， (4)线段，线段 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，直线、射线、线段，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． （1）根据数轴的特征，即可解答； （2）根据数轴的特征，以及射线的定义即可解答； （3）根据数轴的特征，即可解答； （4）根据数轴的特征，以及线段的定义即可解答． 【详解】（1）数轴是直线； （2）数轴在原点右边的部分（包括原点）是射线，表示为射线； （3）射线上的点表示非正数，端点表示； （4）数轴上不小于且不大于的数对应的点组成线段，表示为线段． 题型五、画出直线、射线、线段 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）． A．延长到点C，使 B．延长线段到点C，使C为的中点 C．延长线段到点C，使 D．反向延长线段到点C，使 【答案】C 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了线段延长的方法，根据线段延长的方式逐项求解判断即可． 【详解】解：、延长到点C，使不成立，没有说明点D的位置，说法错误，不符合题意； 、延长线段到点C，不能使C为的中点，说法错误，不符合题意； 、延长线段到点C，使，说法正确，符合题意； 、反向延长线段到点C，不能使，说法错误，不符合题意． 故选：C． 14．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了画直线、射线； （1）根据要求画图即可求解； （2）根据要求画图即可求解； （3）根据要求画图即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 题型六、点与线的位置关系 16．（24-25七年级上·河北唐山·期末）正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】此题考查了网格作图，延长线段即可得到答案． 【详解】解：如图，可知直线经过的点是点， 故选：C． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点A在直线l ，点B在直线l ． 【答案】 上 外 【知识点】点与线的位置关系 【分析】此题考查了点和直线的位置关系，根据点A和点B的位置判断即可． 【详解】解：点A在直线l上，点B在直线l外． 故答案为：上，外． 18．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 【答案】见解析 【知识点】点与线的位置关系 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答 【详解】解：（1）点在直线上； （2）点在直线上； （3）点在直线外； （4）点不在直线上； （5）直线经过点； （6）直线经过点； （7）直线经过点和点； （8）直线不经过点． 【点睛】本题主要考查了几何作图，注意叙述要准确． 题型七、两点确定一条直线 19．（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线a比直线b长 B．延长直线，使得它经过点P C．因为两点确定一条直线，所以任何三个点都不可能在一条直线上． D．经过两点有且只有一条直线 【答案】D 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线、射线、线段；根据直线、射线、线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 根据直线是可以无限延长的，所以它不能比较大小，所以A选项错误； B．根据直线是无限延伸的，故延长直线这种说法错误，所以B选项错误； C．一条直线上可以有无数个点，只有不共线的三点不在同一直线上，所以C选项错误； D．经过两点有且只有一条直线，D正确； 故选：D． 20．（25-26七年级上·全国·期末）如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键；根据两点确定一条直线进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的依据是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，请你利用所学过的知识，说说其中的道理． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题可根据直线的性质来解释建筑工人砌墙时拉直线的原理．本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：∵ 建筑工人在两个墙角的位置分别立一根木桩，这两个木桩相当于两个点．两点确定一条直线． ∴ 在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，理由是两点确定一条直线． 题型八、线段的和与差 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．2或8 【答案】C 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 分类讨论：在线段上，在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当在线段上时，； 当在线段的延长线上时，． 综上所述：的长度为或． 故选：C． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，若为线段的三等分点，为线段上一点，，则线段的长为 ． 【答案】1 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段有关三等分点的计算，求出，，进而求得即可． 【详解】解：如图，若为线段的三等分点， ． 又， ， ． 故答案为：1． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是线段上不同的两点．完成下列填空： (1) ， + + ． (2) ． 【答案】(1) CD AB BC CD (2) AC BD 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查线段的和差关系，通过观察线段上各点的位置，利用线段的和差来填空． 【详解】（1）观察图形可知，是由和组成的 所以 线段是由依次连接而成的 所以． 故答案为：． （2）从图中可以看出， 所以 又因为 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和差关系，掌握线段的组成，利用和差关系确定线段之间的等量关系是解题的关键． 题型九、线段中点的有关计算 25．（25-26七年级上·全国·周测）已知线段的中点是，线段的中点是，则线段的长是线段长的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】此题考查了线段的和差和中点的相关计算，掌握线段的和差是解题的关键． 可设线段，再根据线段的中点是，线段的中点是，用分别表示出线段，线段即可求解． 【详解】解：设， ∵线段的中点是， ∴， ∵线段的中点是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 26．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则 ． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的中点，根据线段中点的定义可得，．进而可得答案． 【详解】解：为中点， ， ， ， 为中点， ． 故答案为：． 27．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型十、线段n等分点的有关计算 28．七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 【答案】B 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】首先单循环制是指任何两个选手之间都要比赛一次,也就是如果有个选手,则共有场比赛，据此求解即可． 【详解】七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排场比赛； 故选B 【点睛】本题考查了求两个队伍比赛之间关系，类比线段等分求线段的数量是解题的关键． 29．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，熟练掌握六等分点的含义是解题的关键； 根据与分别是的六等分点处，得出，然后结合几何根据线段和和与差求出即可． 【详解】解：∵洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型十一、线段之间的数量关系 31．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 32．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到的具体的数量关系，结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 题型十二、与线段有关的动点问题 34．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 35．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 36．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 题型十三、两点之间线段最短 37．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解题的关键是理解题意；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意可知这样做的理由是两点之间的所有连线中，线段最短； 故选C． 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间．小明同学捡到一片沿直线被折断的银杏叶（如图），他发现被折断了的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的基本性质，通过分析银杏叶被折断前后的周长变化，结合“两点之间，线段最短”的性质进行解释． 【详解】解：原银杏叶边缘的曲线长度，与被折断后替代曲线的线段长度相比，根据“两点之间，线段最短”，曲线长度大于连接对应两点的线段长度，所以被折断的银杏叶周长更小． 故答案为：两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了线段的性质“两点之间，线段最短”，解题关键是把银杏叶边缘的长度变化转化为线段与曲线的长度比较问题． 39．（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，在同一平面内有四个点． (1)作射线． (2)作直线与射线相交于点． (3)分别连接． (4)我们容易判断出线段与的数量关系是________，理由是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)  两点之间，线段最短 【知识点】作线段(尺规作图)、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了作图—基本作图，射线，直线，线段，角，熟记相关概念和线段的性质是解题的关键． （1）以点为端点，连接并延长，射线即为所求； （2）连接并向两边延长，与射线交于点； （3）连接点和点，连接点和点； （4）根据两点之间，线段最短进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：连接并向两边延长，与射线交于点； （3）解：如图，连接点和点，连接点和点； （4）解：我们容易判断出线段与的数量关系是：，理由是：两点之间，线段最短， 故答案为：，两点之间，线段最短． 题型十四、两点间的距离 40．（24-25七年级上·广西贵港·期末）点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 【答案】C 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况，分类讨论计算即可． 【详解】解：当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况： ①时，； ②时，； ③时，． 故选：C． 41．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或， 故答案为：4或8． 42．（22-23七年级上·河南安阳·期末）如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    【答案】图见解析，A树距B，C两树的实际距离分别是200m，173.2m． 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是正确画出图形，进行测量和换算．画出直角三角形ABC，其中内角分别是 ，，，然后量出，的长，再根据代表进行换算即可得到答案． 【详解】解：如图，    经测量可得：，， 换算可知：A树距B树的实际距离为， A树距C树的实际距离为． 题型十五、作线段(尺规作图) 43．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，使用圆规比较线段和线段的长短，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了比较线段的长短，根据图形，即可解答． 【详解】解：如图，使用圆规比较线段和线段的长短，， 故选：B． 44．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，根据题意得，，，即可得出结论．理解作图过程及点与点重合是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，点与点恰好重合， ∴，， ∴ ， ∴的长度为． 故答案为：． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知线段a，b，作线段AB，使（注明作图步骤并保留作图痕迹，说明作图结果） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作图-复杂作图，两点之间的距离，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取点B使得，线段即为所求． 【详解】解：如图所示． ①作射线． ②在射线上顺次截取． ③在线段上截取． 线段即为所作的线段． 强化训练 一、单选题 1．在一条直线上依次有、、、四点．若点是线段的中点，点是线段的中点，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，即可得到EF＝FG，EG＝GH，进而得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵点F是线段EG的中点， ∴EF＝FG， ∵点G是线段EH的中点， ∴EG＝GH， ∴FG＝GH， 故选：D． 【点睛】本题主要考查由图判断线段关系，涉及线段的中点概念：把一条线段分成两条相等的线段的点，读懂图形中各个线段之间的关系是解决问题的关键． 2．如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一小部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 根据两点之间，线段最短解答即可． 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小， 能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：C． 3．平面上有三点，如果，则下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线外 D．点可能在直线上，也可能在直线外 【答案】A 【分析】画出图形，根据线段的长度进行分析即可得到答案，本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系，再根据正确画出的图形解题是关键． 【详解】 解：根据题意画出图形， ， ∵， ∴从图中我们可以发现，所以点C在线段上． 故选：A． 4．平面内的5条直线两两相交，交点最多有个，最少有个，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了直线的交点问题，注意掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个． 由题意可得5条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出x，y的值，进而可得答案． 【详解】解：根据题意可得：5条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即；任意两直线相交都产生一个互不重合的交点时，交点最多，此时交点为：，即；则． 故选：B． 5．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．如果是线段延长线上一点，且，那么等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出图形，设BC为k，然后用k表示出AB，最后求出即可． 【详解】解：根据题意可画出下图： ∵，设BC为k， ∴AC=3k， ∴AB=AC-BC=2k， ∴=2k∶k=2∶1． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了线段的和差，根据题意画出图形成为解答本题的关键． 7．平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（    ） A．1或4 B．1或6 C．4或6 D．1或4或6 【答案】D 【分析】平面上四点的位置关系由三种情况，即四点在同一直线上时，可以画一条直线；三点在同一条直线上，可以画四条直线；任意三点均不在同一条直线上，则可画六条直线． 【详解】解：如图所示： 分别根据四点在同一直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线可知： 平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6． 故选D． 【点睛】本题考查的是两点确定一条直线，解答此题的关键是正确分析四点在同一平面内的位置关系，再画出图形进行解答． 8．如图，线段，点C、D分别是线段上两点，用圆规在线段上分别截取，若点E与点F恰好重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点有关的计算及作图，由作图可得点C和点D分别是AE、BF的中点，再根据线段中点的定义可得答案． 【详解】∵，点E与点F恰好重合， ∴点C和点D分别是的中点， ∴ ∵， ∴ 故选：C． 9．如图，点N为线段AM上一点，线段．第一次操作：分别取线段AM和AN的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作，则第十次操作所取两个中点形成的线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与线段中点有关的线段的和差，根据线段中点的定义得出是解题关键．根据规律即可得到答案． 【详解】解：线段，线段和的中点，， ， 线段和的中点，； ， 线段和的中点，； ， ， ． 故选：A． 二、填空题 10．如图，从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，由两点之间，线段最短，即可得到答案，关键掌握是掌握两点之间，线段最短． 【详解】解：从地到地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的道理是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 11．画直线，并在直线上截取线段，再在直线上截取线段，则线段的长是 ． 【答案】3或7/7或3 【分析】分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，利用线段的和与差即可求解． 【详解】解：当点C在线段上时， ， 当点C在线段的延长线上时， ， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了线段的和与差，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 12．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点， ∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个， ∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点， 故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点， 故答案为：． 13．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 14．如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 【点睛】本题考查了线段、直线、射线的定义，其中理解能用字母表示线段、直线、射线是解本题的关键． 15．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据“两点之间线段最短”和“两点确定一条直线”两个公理进行分析判断即可． 【详解】解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“两点之间线段最短”解释，故不符合题意； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线，理解并掌握两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题关键． 三、解答题 16．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？ 【答案】34个 【分析】画出图形，数出交点个数即可． 【详解】解：如图，图中共有34个交点． 【点睛】此题考查了图形的变化规律，画出图形是解题的关键．先根据具体数值得出规律，即可计算出正确结果． 17．如图，点A、B、C、D四点共线． （1）图中共有 　 　条射线； （2）图中共有 　　 条线段，它们是　 　． 【答案】（1）4；（2）6；线段AD、线段AC、线段AB、线段DC、线段DB、线段CB 【分析】（1）一条射线上的一点对应一条射线，从而可得出A、B、C、D四点为端点的射线数量； （2）根据线段的概念求解． 【详解】解：（1）一条射线上的一点对应一条射线，从而可得出以点为端点的射线数量，共有4条； （2）结合图像可知图中有线段AD、线段AC、线段AB、线段DC、线段DB、线段CB，共6条线段； 【点睛】本题考查了直线、射线、线段：直线用一个小写字母表示，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB；射线是直线的一部分，用一个小写字母表示；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA；线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． 18．（1）已知：如图，点C在线段AB上，线段，，点M、N分别是、的中点，求的长度． （2）根据（1）的计算过程与结果，设，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用一句简洁的语言表达你发现的规律． 【答案】（1）10；（2），发现的规律是：线段上的点把线段分成两条线段，这两条线段中点间的距离是原线段长的一半． 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的中点可得，，再由即可解答； （2）根据线段的中点可得，，再由即可解答． 【详解】解：（1）∵，，点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴． （2）猜想：，证明如下： ∵点M、N分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． 发现的规律是：线段上的点把线段分成两条线段，这两条线段中点间的距离是原线段长的一半． 19．根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点A、B、C、D． ①画射线AD． ②画出一点P，使P到A、B、C、D的距离之和最小，理由是　　　． (2)在（1）的条件下填空：图中共有　　　条线段． 【答案】(1)①见解析；②两点之间线段最短 (2)7 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差，正确进行计算是解题关键． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）根据两点确定一条线段求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2）图中有线段，共有7条线段， 故答案为：7． 20．如图，点C在线段上，M，N分别是线段，的中点． (1)若，，求线段的长度； (2)设，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请用一句简洁的话表述你发现的规律． 【答案】(1)； (2)，规律：线段上任意一点把线段分成两部分，这两部分中点间的距离等于原线段长度的一半． 【分析】本题考查了线段中点的定义，如果点C把线段分成相等的两条线段与，那么点C叫做线段的中点，这时，或． （1）根据线段中点的定义作答即可； （2）根据线段中点的定义作答即可． 【详解】（1）∵M，N分别是线段，的中点 ∴， ∴ （2）∵M，N分别是线段，的中点 ∴， ∴． 规律：线段上任意一点把线段分成两部分，这两部分中点间的距离等于原线段长度的一半． 21．如图，已知线段，点D是线段上的一点，延长到C，使． (1)请补全图形； (2)若．求线段的长． (3)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作一条线段等于已知线段，线段的和差，解题的关键在于结合图形进行分析． （1）根据作一条线段等于已知线段的作图步骤，作线段即可； （2）根据线段的和差结合图形分析即可； （3）根据线段的和差结合图形分析说明即可； 【详解】（1）解：所作线段如图所示： （2）解：， ， ， ； （3）解： ． 22．（1）如图，平面上有射线和B，C两点，按要求画图． 画射线；连接，并延长到点E，使；    （2）已知如图1，点B在线段上，点D在线段上，若，，D为线段的中点，求线段的长度；    【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】本题考查了作射线，作线段，与线段中点有关的计算．熟练掌握作射线，作线段，与线段中点有关的计算是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题意知，，由中点可得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线，点E即为所求；    （2）解：由题意知，， ∵D为线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 线段、射线、直线（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.线段、射线、直线 2.直线的基本事实 3 .比较两条线段的长短 4.线段的中点 题型巩固 一、直线、线段、射线的数量问题 二、直线相交的交点个数问题 三、线段的应用 四、直线、射线、线段的联系与区别 五、画出直线、射线、线段 六、点与线的位置关系 七、两点确定一条直线 八、线段的和与差 九、线段中点的有关计算 十、线段n等分点的有关计算 十一、线段之间的数量关系 十二、与线段有关的动点问题 十三、两点之间线段最短 十四、两点间的距离 十五、作线段(尺规作图) 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.线段、射线、直线 1. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 2. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB(或 BA) 射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 知识点2.直线的基本事实 1. 画直线画直线的常用工具是直尺，经过一点 A 可以画出无数条直线， 如图 4.1-4所示 . 也就是说， 经过一点的直线有无数条 . 2. 直线的基本事实经过两点有且只有一条直线(这一事实可以简述为两点确定一条直线)，如图 4.1-5 所示 . 知识点3. 比较两条线段的长短 1. 线段的基本事实 线段的基本事实 两点之间的距离 举例 两 点 之 间 的所有连 线中，线 段 最 短，简单说成 : 两点 之 间线段最短 存在性； 最短性； 唯一性 两点之间线段的 长 度，叫作这两点之间的距离 图 中 所 有 连 接 A， B 两点的线中，线段AB 是最短的，线段AB 的 长 度 就是点 A与点 B 之间的距离 (1) 观察法： 当两条线段的长短相差很大时， 一般直接观察比较两条线段的长短 . (2) 度量法(数的比较)： 利用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . 示例 用度量法比较两条 线段的长短 如图，对于线段 AB 与线段 CD，测得 AB= 2 cm， CD=3 cm，所以线段 AB 的长度小于线段 CD 的长度，记作 AB<CD. (3)叠合法(图形的比较) 也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把 两 条 线 段的 一 个 端 点重合，另一个端 点 位 于 重合 端 点 的 同侧 并 在 同 一条直线上，通过 端 点 的 位置 关 系 比 较线段的长短 以线段 AB， CD 为例，把点 A 与点C重合，线 段 AB 与线段 CD 在同一条直线上并使点 B， D 都位于点 A(或点 C)的 同 侧，通过观察点 B 与点 D的位置关系比较线段的长短 因 为 点 D 在线 段 AB 上，所以 AB>CD 因 为 点 B 与点 D 重 合，所以 AB=CD 因为 点 B 在线段 CD 上，所以 AB<CD 2. 尺规作图    在数学中， 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图 . 知识点4.线段的中点 1. 线段的中点的定义  把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点 . 如图 4.1-7，如果点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB. 2. 等分线段  把 一 条 线 段 分 成 三 条 相 等 的 线 段的点叫 作线段的三等分点 . 如图 4.1-8，点 M， N 是 线 段 AB 的 三等分点，则有 AM=MN=NB=  AB. 题型巩固 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 3．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）在学习《线段、射线、直线》时，小明通过画图尝试，发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有射线条数    1 2    2 4    3 6 … … … (1)当直线上点的个数为4时，共有射线的条数为________； (2)若一条直线上共有20条射线时，请你求出该直线上点的个数． 题型二、直线相交的交点个数问题 4．（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）平面上6条直线两两相交，最多有 个交点． 6．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 题型三、线段的应用 7．（2024七年级上·全国·专题练习）下列线段表示正确的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 8．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 9．比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 题型四、直线、射线、线段的联系与区别 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）晚上，小明拿起手电筒照向远方，他发现手电筒光线可近似看成一条 （填“直线”“线段”或“射线”）． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上的原点为O，点A表示3，点B表示． (1)数轴是什么图形？ (2)数轴在原点O右边的部分（包括原点）是什么图形？怎样表示？ (3)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (4)数轴上不小于且不大于3的数对应的点组成什么图形？怎样表示？ 题型五、画出直线、射线、线段 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）． A．延长到点C，使 B．延长线段到点C，使C为的中点 C．延长线段到点C，使 D．反向延长线段到点C，使 14．两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点 处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 15．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接与射线交于点E． 题型六、点与线的位置关系 16．（24-25七年级上·河北唐山·期末）正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点A在直线l ，点B在直线l ． 18．（22-23七年级上·陕西渭南·期末）用适当的语句表述图中点与直线的关系．（至少写3句） 题型七、两点确定一条直线 19．（24-25七年级上·甘肃白银·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线a比直线b长 B．延长直线，使得它经过点P C．因为两点确定一条直线，所以任何三个点都不可能在一条直线上． D．经过两点有且只有一条直线 20．（25-26七年级上·全国·期末）如图，用两个钉子，就可以把一个横排挂钩固定在墙上，这样做的依据是 ． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，请你利用所学过的知识，说说其中的道理． 题型八、线段的和与差 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段，点C在直线AB上，且线段，则线段AC的长为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．2或8 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，若为线段的三等分点，为线段上一点，，则线段的长为 ． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是线段上不同的两点．完成下列填空： (1) ， + + ． (2) ． 题型九、线段中点的有关计算 25．（25-26七年级上·全国·周测）已知线段的中点是，线段的中点是，则线段的长是线段长的（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则 ． 27．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 题型十、线段n等分点的有关计算 28．七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 29．（24-25七年级上·浙江温州·期末）都江堰李冰石人的肩部和脚部通常被用作测量水位．洪水水位与枯水水位分别位于整尊石人的六等分点处，，已知，则整尊石人的高度 ． 30．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 题型十一、线段之间的数量关系 31．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 32．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 题型十二、与线段有关的动点问题 34．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 36．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 题型十三、两点之间线段最短 37．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，两个村庄在公路（不计公路的宽度）的两侧，现要在公路旁建一个货物中转站，使它到，两个村庄的距离之和最小．图中的点（与的交点）即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是（  ） A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．经过一点有无数条直线 38．（25-26七年级上·全国·课后作业）金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间．小明同学捡到一片沿直线被折断的银杏叶（如图），他发现被折断了的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 39．（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，在同一平面内有四个点． (1)作射线． (2)作直线与射线相交于点． (3)分别连接． (4)我们容易判断出线段与的数量关系是________，理由是________． 题型十四、两点间的距离 40．（24-25七年级上·广西贵港·期末）点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 41．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 42．（22-23七年级上·河南安阳·期末）如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    题型十五、作线段(尺规作图) 43．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，使用圆规比较线段和线段的长短，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为 ． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知线段a，b，作线段AB，使（注明作图步骤并保留作图痕迹，说明作图结果） 强化训练 一、单选题 1．在一条直线上依次有、、、四点．若点是线段的中点，点是线段的中点，则有（　　） A． B． C． D． 2．如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一小部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．经过两点，有且仅有一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 3．平面上有三点，如果，则下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线外 D．点可能在直线上，也可能在直线外 4．平面内的5条直线两两相交，交点最多有个，最少有个，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 6．如果是线段延长线上一点，且，那么等于（    ）． A． B． C． D． 7．平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为（    ） A．1或4 B．1或6 C．4或6 D．1或4或6 8．如图，线段，点C、D分别是线段上两点，用圆规在线段上分别截取，若点E与点F恰好重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，点N为线段AM上一点，线段．第一次操作：分别取线段AM和AN的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；……连续这样操作，则第十次操作所取两个中点形成的线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，从A地到C地有四条道路，某同学认为第③条路线最近，其中的数学道理是 ． 11．画直线，并在直线上截取线段，再在直线上截取线段，则线段的长是 ． 12．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 13．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 14．如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 15．有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 三、解答题 16．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？ 17．如图，点A、B、C、D四点共线． （1）图中共有 　 　条射线； （2）图中共有 　　 条线段，它们是　 　． 18．（1）已知：如图，点C在线段AB上，线段，，点M、N分别是、的中点，求的长度． （2）根据（1）的计算过程与结果，设，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用一句简洁的语言表达你发现的规律． 19．根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点A、B、C、D． ①画射线AD． ②画出一点P，使P到A、B、C、D的距离之和最小，理由是　　　． (2)在（1）的条件下填空：图中共有　　　条线段． 20．如图，点C在线段上，M，N分别是线段，的中点． (1)若，，求线段的长度； (2)设，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请用一句简洁的话表述你发现的规律． 21．如图，已知线段，点D是线段上的一点，延长到C，使． (1)请补全图形； (2)若．求线段的长． (3)试说明：． 22．（1）如图，平面上有射线和B，C两点，按要求画图． 画射线；连接，并延长到点E，使；    （2）已知如图1，点B在线段上，点D在线段上，若，，D为线段的中点，求线段的长度；    学科网（北京）股份有限公司 $