第2章 有理数的运算（B卷·综合能力培优卷）2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第2章 有理数的运算（B卷·综合能力培优卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025七上·武冈期末）据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船（中共一大会址）．数2500万用科学记数法表示为【 】 A． B． C． D． 2．（2025七上·平山期末）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025七上·嘉兴期中）若，，且，那么的值为（　　） A．或 B．2或 C．10或 D．2或10 4．（2025七上·衢州期中）某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表.根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为(　　) TA-TD TE-TD TF-TE TG- TF TB-TO 2.1 0.8 1.5 -1.2 1.6 A．B 处比A 处高 B．A 处比 B 处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 5．（2025七上·东莞期末）如果在数轴上点表示，那么在数轴上与点距离个单位长度的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．和 D． 6．（2025七上·龙川期中）如果两个有理数x，y满足，且，那么下列说法正确的是（　　） A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 7．（2025七上·新昌期中） 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②如果││，那么；③若有理数 ，则 互为相反数； ④平方等于本身的数是和0；⑤几个不等于0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数.其中正确的个数有（　　） A．个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2025七上·杭州月考）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（　　） A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5 9．（2026七上·杭州开学考）若 ， 均为整数，且 ，则 不可能是（　　） A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数 10．（2024七上·浙江月考）代数式可取得的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025七上·顺德期中）如果规定符号“”的意义是，则　 　． 12．（2025七上·凉州期中）绝对值小于的所有整数的积是　 　． 13．（2025七上·镇海区期中） 在学习完有理数后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，定义了一种新运算“*”，规则如下： (a、b不相等)， 则 　 　. 14．（2025七上·诸暨月考）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为-2，则输出的值为　 　． 15．（2025·南山模拟）现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算的结果是24，请你写出一个符合条件的算式　 　． 16．（2024七上·武城期中）已知a，b为实数，下列说法： ①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；⑤若，且，则，其中正确的是　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025七上·武威期末）计算 （1）； （2）； （3）． 18．（2025七上·杭州月考）规定：，.求： （1） 的值 （2） 的值. 19．（2025七上·右江期末）水是生命之源．某社区的居民积极响应政府的号召“珍惜水资源、节约用水”．原来每天的用水总量超过，现在每天的用水量在原来的基础上大幅度地下降，小武记录了这个社区的居民一周的用水量情况（以为基准，超出为正，低于为负）是，，，，，，，解答下列问题： （1）这个社区的居民这一周每天的用水量分别是多少？ （2）这个社区的居民这一周的总用水量是多少？ 20．（2025七上·东莞期末）小明同学在一根直立的细竹竿上作了刻度标记，一只蚂蚁从这根细竹竿上的虫眼开始上、下爬行．约定向上记为正，小明观察记录如下（单位：）： ． （1）记录中的“”表示的意义为________； （2）观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多远？在虫眼的上方还是下方？ （3）若蚂蚁平均每秒爬行，求小明同学观察期间蚂蚁爬行的总时间． 21．（2025七上·椒江期中）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． （1）请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________； （3）请你运用小明的解法计算：． 22．（2025七上·义乌月考）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料 （1）______，______； （2）已知 ，求的值； （3）当时，求． 23．（2024七上·杭州期中）如图1，，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足． （1）________，________； （2）若将图1中的数轴沿水平方向移动个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为________； （3）若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 第2章 有理数的运算（B卷·综合能力培优卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025七上·武冈期末）据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船（中共一大会址）．数2500万用科学记数法表示为【 】 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：，一共8位数， 从而． 故选B． 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为的形式(，为整数)．先将原数转化为符合a范围的数，再根据小数点移动的位数确定n的值． 2．（2025七上·平山期末）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得，， 故答案为：． 【分析】首先根据新运算的定义，把的转化成常规运算，进而根据有理数的乘除法，即可求得答案。 3．（2025七上·嘉兴期中）若，，且，那么的值为（　　） A．或 B．2或 C．10或 D．2或10 【答案】A 【解析】【解答】解：∵|x|=4，|y|=6， ∴x=±4，y=±6， ∵x+y> 0， ∴x=±4，y=6， ∴x-y=4-6=-2或-4-6=-10， 故答案为：A. 【分析】由绝对值的定义及有理数的加法法则确定x，y的值，然后计算x-y即可. 4．（2025七上·衢州期中）某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表.根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为(　　) TA-TD TE-TD TF-TE TG- TF TB-TO 2.1 0.8 1.5 -1.2 1.6 A．B 处比A 处高 B．A 处比 B 处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【解析】【解答】解：设TD=x， ∵TA-TD=2.1 ∴TA=+2.1， ∵TB-TD=1.6， ∴TB=x+1.6， ∴TA-TB=(x+2.1)-(x+1.6)=0.5>0， ∴TA>TB， 故答案为：B. 【分析】设TD=x，表示出TA，TB，并求出它们的差即可得到答案. 5．（2025七上·东莞期末）如果在数轴上点表示，那么在数轴上与点距离个单位长度的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．和 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵点表示， ∴与点距离个单位长度的点所表示的数是或， 故答案为：． 【分析】利用数轴上两点之间的距离公式以及数在数轴上的表示方法分析求解即可. 6．（2025七上·龙川期中）如果两个有理数x，y满足，且，那么下列说法正确的是（　　） A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【解析】【解答】解：， ∴ x 和 y 异号，即一个为正数，一个为负数，故选项A、B错误， ，且一个正数一个负数， ∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值，故选项C正确，选项D错误． 故答案为：C． 【分析】利用，且，可得一个为正数，一个为负数且正数的绝对值大于负数的绝对值，再逐项分析判断即可. 7．（2025七上·新昌期中） 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②如果││，那么；③若有理数 ，则 互为相反数； ④平方等于本身的数是和0；⑤几个不等于0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数.其中正确的个数有（　　） A．个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】【解答】 ①有理数包括整数和分数，结论正确； ②当时，，结论错误； ③ 一对相反数的和为0，结论正确； ④平方等于它本身的数包括0和1，结论错误； ⑤几个不等于0的有理数相乘，结果的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数，反之积为负，结论正确. 故正确答案为：B 【分析】按照有理数的分类、绝对值的意义、相反数的性质、平方的意义和有理数的乘法法则逐项判断即可. 8．（2025七上·杭州月考）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示，则小明骑行的最短距离为（　　） A．5.3 B．6 C．6.3 D．4.5 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，得所有可能路线的距离如下： ，距离是； ，距离是； ，距离是； ，距离是； ，距离是； ，距离是； ∴小明骑行的最短距离是， 故答案为：A 【分析】先计算所有可能路线的距离，然后通过比较这些路线的距离得到答案. 9．（2026七上·杭州开学考）若 ， 均为整数，且 ，则 不可能是（　　） A．正数 B．负数 C．无理数 D．实数 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， 均为整数，且 ， 则 可能是正数、负数、有理数，但是不可能是无理数. 故答案为C. 【分析】当a、b同号时，是正数；当a、b异号时，是负数；当a是b的倍数时，是整数、也是有理数. 10．（2024七上·浙江月考）代数式可取得的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴当时，原式最小， 设，则 ∴ ∴原式最小值为 故答案为：B. 【分析】由于代数式中的每一项都是形如的形式，其中a可以是x1、x2、x3、x4或它们的乘积。根据绝对值的性质，的值取决于a的正负，如果a是正数，那么 =1，如果a是负数，那么 =-1；要使代数式取得最小值的条件，需要尽可能多的项取值为-1，由于代数式中有8项，每项取值为-1时， 代数式的值为-8；但是，由于x1、x2、x3、x4的正负性会影响它们乘积的正负性，因此需要合理安排x1、x2、x3、x4的正负性，以使尽可能多的项取值为-1；可以设 x1＞0、x2＜0、x3＞0、x4＜0，这样，x1、x3的项取值为1，x2、x4的项取值为-1，而x1x2，x2x3、x3x4、x1x4的项取值为-1，从而即可求出代数式的最小值. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025七上·顺德期中）如果规定符号“”的意义是，则　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：根据规定得，， 故答案为：1． 【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式，再利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可. 12．（2025七上·凉州期中）绝对值小于的所有整数的积是　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解：∵绝对值小于的所有整数中包含0， ∴这些整数的积为0； 故答案为：0. 【分析】利用绝对值的性质以及定义可得符合条件的所有的数之和为0，从而得解. 13．（2025七上·镇海区期中） 在学习完有理数后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣，定义了一种新运算“*”，规则如下： (a、b不相等)， 则 　 　. 【答案】-40 【解析】【解答】解： 故答案为：-40 . 【分析】按照新运算的概念分两步进行有理数的加减乘除混合运算即可. 14．（2025七上·诸暨月考）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为-2，则输出的值为　 　． 【答案】-10 【解析】【解答】解：由题可知，将x=-2代入， -2×3-(-2)=-6+2=-4， -4>-5， 故继续代入， -4×3-(-2)=-12+2=-10， 故答案为：-10 . 【分析】根据操作步骤输入数据依次进行计算即可，再与-5进行比较，若小于-5则输出，若大于-5则继续输入一直到小于-5输出即可. 15．（2025·南山模拟）现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算的结果是24，请你写出一个符合条件的算式　 　． 【答案】3×（10-4）-（-6）=24 【解析】【解答】3×[（-6）+4+10]=24；4-（-6）÷3×10=24；3×（10-4）-（-6）=24． 【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式． 16．（2024七上·武城期中）已知a，b为实数，下列说法： ①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；⑤若，且，则，其中正确的是　 　． 【答案】①②③⑤ 【解析】【解答】解：①∵，且，互为相反数， ∴，故本选项正确； ②∵， ∴与同号， ∵， ∴，， ∴，故本选项正确； ③若，当，则是正数， 当时，是正数， 当时，是正数， 当时，是正数，本选项正确； ④∵，即， ，即，本选项错误； ⑤∵， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； ∴，， ， 则，本选项正确， 故答案为：①②③⑤． 【分析】利用相反数的定义及计算方法；有理数的乘法、有理数的加法及绝对值的性质化简，再逐项分析判断即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025七上·武威期末）计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方，绝对值性质即可求出答案. （2）根据有理数的混合运算即可求出答案. （3）根据有理数的混合运算即可求出答案. （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（2025七上·杭州月考）规定：，.求： （1） 的值 （2） 的值. 【答案】（1）解：∵， ∴=4+（-5）-1=-1-1=-2. （2）解：∵， ∴=7+（-3）-1=7-4=3； ∵， ∴==-2×3-（-2）2=-6-4=-10. 【解析】【分析】⑴根据“”求值即可. ⑵根据“”“”求值即可. 19．（2025七上·右江期末）水是生命之源．某社区的居民积极响应政府的号召“珍惜水资源、节约用水”．原来每天的用水总量超过，现在每天的用水量在原来的基础上大幅度地下降，小武记录了这个社区的居民一周的用水量情况（以为基准，超出为正，低于为负）是，，，，，，，解答下列问题： （1）这个社区的居民这一周每天的用水量分别是多少？ （2）这个社区的居民这一周的总用水量是多少？ 【答案】（1）解：根据题意，得 周一的用水量为：； 周二的用水量为：； 周三的用水量为：； 周四的用水量为：； 周五的用水量为：； 周六的用水量为：； 周日的用水量为：． （2）解：居民这一周的总用水量是： ． 答：这个社区的居民这一周的总用水量是． 【解析】【分析】（1）根据题干中的数据求出每一天的用水量即可； （2）先求出每一天的水量，再相加即可. （1）解：根据题意，得 周一的用水量为：； 周二的用水量为：； 周三的用水量为：； 周四的用水量为：； 周五的用水量为：； 周六的用水量为：； 周日的用水量为：． （2）解：居民这一周的总用水量是： ． 答：这个社区的居民这一周的总用水量是． 20．（2025七上·东莞期末）小明同学在一根直立的细竹竿上作了刻度标记，一只蚂蚁从这根细竹竿上的虫眼开始上、下爬行．约定向上记为正，小明观察记录如下（单位：）： ． （1）记录中的“”表示的意义为________； （2）观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多远？在虫眼的上方还是下方？ （3）若蚂蚁平均每秒爬行，求小明同学观察期间蚂蚁爬行的总时间． 【答案】（1）向下爬行 （2）解：∵， ∴观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼，在虫眼的上方. （3）解：， 答：小明同学观察期间蚂蚁爬行的总时间为秒． 【解析】【解答】（1）解：∵向上记为正， ∴表示向下爬行， 故答案为：向下爬行. 【分析】（1）利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可； （2）将题干中的数据相加，再根据结果分析判断即可； （3）先求出总路程，再利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可. （1）解：∵向上记为正， ∴表示向下爬行， 故答案为：向下爬行； （2）解：∵， ∴观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼，在虫眼的上方； （3）解：， 答：小明同学观察期间蚂蚁爬行的总时间为秒． 21．（2025七上·椒江期中）老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为，所以． （1）请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】（1）解： =（）÷（） =×（-2） =， 由此可知，小明的解法正确. （2）这个数 （3）解：原式的倒数= =×24 = =8-4+9 =13， ∴原式=. 【解析】【解答】解：（2）根据题意可知：一个数的倒数的倒数等于这个数， 故答案为：这个数； 【分析】（1）直接根据有理数的混合法则进行计算即可；（2）根据题意总结结论：一个数的倒数的倒数等于这个数即可；（3）由题意可知，先求得原式的倒数，再求这个倒数的倒数即可得出答案． （1）解：原式 ， 小明的解法正确； （2）解：由（1）可得到：一个数的倒数的倒数等于这个数， 故答案为：这个数； （3）解：原式的倒数为 ， 所以． 22．（2025七上·义乌月考）有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料 （1）______，______； （2）已知 ，求的值； （3）当时，求． 【答案】（1）3，2 （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵，且， ∴， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述：的值为或 【解析】【解答】解：（1）， . 故答案为：3，2． 【分析】（1）根据定义代入即可得出答案； （2）根据已知条件和定义列出关于x的方程式，求得x，再代入，最后利用定义即可得出答案； （3）根据已知条件和定义列出关于x的方程式，求得x值后，根据定义计算的值即可． （1）解：根据定义，得，， 故答案为：3，2． （2）解：根据， 得， 解得， 根据定义，得． （3）解：根据， 得， 整理得到， 解得或 当时，； 当时，； 故的值为或． 23．（2024七上·杭州期中）如图1，，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足． （1）________，________； （2）若将图1中的数轴沿水平方向移动个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为________； （3）若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 【答案】（1），2． （2）或 （3）解：刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，设N表示的数为n， ∵刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合， ∴， ∴N的刻度为：， ∴， 则这把刻度尺有刻度一侧的长度为． 【解析】【解答】 （1） 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2． （2） 解：∵，， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：， ∵， ∴对应数轴上的数为， 若向左移动一个单位，则对应， 若向右移动一个单位，则对应， ∴对应的数为或 【分析】 （1）几个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0； （2）先由题意可得出刻度尺上1个单位长度等于数轴上2个单位长度，则可得出不移动数轴时对应的数字在正半轴上，即，再分类讨论数轴向左或向右移动1个单位长度后对应的数字即可； （3）设N表示的数为n，则由向右移动的单位长度数及最后对应的数字可求出n的值，进而可得出N的刻度，则可求出刻度尺有刻度一侧的长度． （1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2． （2）解：∵，， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：， ∵， ∴对应数轴上的数为， 若向左移动一个单位，则对应， 若向右移动一个单位，则对应， ∴对应的数为或 （3）解：刻度尺沿数轴向右移动个单位长度， 设N表示的数为：n， ∵刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合， ∴， ∴N的刻度为：， ∴， 则这把刻度尺有刻度一侧的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $