第2章 第8讲 对数与对数函数(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学高考复习讲义聚焦对数与对数函数核心考点，涵盖对数概念、运算性质、函数图象及性质、反函数等课标要求内容，按“概念—性质—应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建完整知识网络，突破运算技巧与函数性质应用难点。 讲义采用分层题型设计与素养导向教学，如通过对数函数图象分析参数范围培养几何直观（数学眼光），比较大小题用换底公式转化提升运算能力（数学思维），设置基础巩固到综合应用练习。其特色方法能在有限时间内强化学生解题逻辑，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第8讲　对数与对数函数 课标要求　1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．对数 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)对数的性质、运算性质与换底公式 ①对数的性质 alogaN＝N；logaab＝b(a＞0，且a≠1). ②对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R). ③换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1). 2．对数函数 (1)概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)图象及性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 提醒　对数函数y＝logax的3个特征： (1)底数a＞0，且a≠1；(2)自变量x＞0；(3)系数为1. 3．反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． 1．计算：2lg －lg 4＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg 5 解析：选B.原式＝lg ()2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 2．(必修第一册P133例3改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：选A.因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2＜π＜，所以c＞b＞1，又a＝log32＜1，所以a＜b＜c. 3．(多选)如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　) A.m<0 B．m>0 C．n>1 D．0<n<1 解析：选AD.由题图可得y＝m＋lognx在(0，＋∞)上单调递减，所以0<n<1，又x＝1时，y<0，即m＋logn1＝m<0，故A，D正确． 4．(必修第一册P140T1改编)函数y＝的定义域是________． 解析：由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1，所以函数y＝的定义域是. 答案： 5．已知函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或a＝. 答案：2或 常用结论 1.换底公式的三个重要结论 (1)logab＝；(2)logambn＝logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数图象的特点 (1)函数y＝logax与y＝logx(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称； (2)如图，在同一平面直角坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象越靠近x轴；当0<a<1时，随a的增大，对数函数的图象越远离x轴． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　对数的运算 1．(2026·临沂模拟)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(　　) A．11 B．12 C．16 D．17 解析：选D.因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＋y＝32＋23＝17. 2．(2026·天津模拟)若 3a＝5b＝15，则 ＋＝(　　) A．1 B．log35 C．log53 D．2 解析：选A.因为3a＝5b＝15，所以a＝log315，b＝log515，则＋＝log153＋log155＝log1515＝1. 3．(1)(lg 5)2＋lg 5×lg 2＋lg 8－lg 4＝________； (2)log381－log98×log23－2log23＋lg ＋lg ＝________． 解析：(1)(lg 5)2＋lg 5×lg 2＋lg 8－lg 4＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg (5×2)＝1. (2)原式＝log334－×log32×log23－3＋lg ＝4－－3＋＝0. 答案：(1)1　 (2)0 4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1)时，f(x)＝2x－1，则f的值为______． 解析：因为f(x＋2)＝f(x)，所以f＝f＝f(2－log23)＝f， 又0<log2<1，所以f＝f＝2－1＝－1＝. 答案： 【素养小结】　对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简、合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数的真数的积、商、幂的运算． 题型二　对数函数的图象及应用 [例1] (1)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<－1 B．a>1，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 (2)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________． 【解析】　(1)由题图知，函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b>0，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0. (2) 因为f(x)＝|log2x|，所以f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，所以0<a<1＜b且ab＝1，所以a2<a，当a2≤x≤b时，由图知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，所以a＝，所以b＝2，所以＋b＝4. 【答案】　(1)D　(2)4 【素养小结】　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [对点训练] 1.(多选)函数f(x)＝loga的图象可能为(　　) 解析：选ACD.由题意，函数f(x)＝loga的定义域为. ①当a>1时，函数f(x)单调递增，且0<<1，－1<－<0，又f(0)＝loga＝loga＝－1，故A可能，B不可能； ②当0<a<1时，函数f(x)单调递减，且>1，又f(－1)＝loga， 当1<<2时，f(－1)＝loga>loga1＝0，故C可能； 当＝2时，f(－1)＝loga＝loga1＝0，故D可能． 2．已知f(x)＝，其中a>0，若f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，a(x1＋x2)<x1x2，则a的取值范围为____________． 解析：易知f(x)的定义域为(a，＋∞)，因为f(x)＝＝ 根据y＝ln x的函数图象以及图象变换可画出f(x)的函数图象，如图， 则f(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增，在(a，a＋1)上单调递减， 不妨设0<a<x1<x2， 又f(x1)＝f(x2)， 则f(x1)＝－ln (x1－a)，f(x2)＝ln (x2－a)， 则－ln (x1－a)＝ln (x2－a)，即(x2－a)(x1－a)＝1，则x1x2－a(x1＋x2)＋a2＝1， 因为a(x1＋x2)<x1x2，则1－a2>0，得－1<a<1，则0<a<1， 故a的取值范围为(0，1). 答案：(0，1) 题型三　对数函数的性质及应用 考向1　比较大小 [例2] 设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 【解析】　因为a＝log43＝log4333＝log6427，b＝log86＝log8262＝log6436， 所以log648<log6427<log6436，即<a<b； 又log62<log6＝，所以c<a<b. 【答案】　D 【素养小结】　比较对数值大小的方法 (1)若底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． (2)若底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同：常借助1，0等中间量进行比较． 考向2　解不等式 [例3] (2026·天津调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(2)，则实数a的取值范围是________． 【解析】　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)＝f(|x|)，因为loga＝log2－1a＝－log2a，所以由f(log2a)＋f(loga)≤2f(2)，可得2f(2)≥f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，即f(log2a)≤f(2)，即f(|log2a|)≤f(2)，所以|log2a|≤2，即－2≤log2a≤2，解得≤a≤4.因此实数a的取值范围是. 【答案】　 【素养小结】　解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax ＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax ＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 [对点训练] 1.(2026·天津模拟)设a＝log0.30.4，b＝log0.31.1，c＝log0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 解析：选D.易知log0.31<a＝log0.30.4<log0.30.3，即0<a<1； 而b＝log0.31.1<log0.31＝0，即b<0； 又c＝log0.40.3>log0.40.4＝1，因此c>1， 所以b<a<c. 2．(2026·日照模拟)若定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2x－1，则不等式f(－x)－f(x)<0的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：选D.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则由f(－x)－f(x)<0，可得－f(x)－f(x)<0，即f(x)>0.当x>0时，由f(x)＝log2x－1>0，解得x>2；当x＝0时，由奇函数的性质可得f(0)＝0，不满足f(x)>0；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log2(－x)－1，由奇函数的性质，可得f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)＋1，由－log2(－x)＋1>0，解得－2<x<0.综上，不等式f(－x)－f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞). 题型四　对数型函数的综合应用 [例4] (1)(2025·山东省实验中学五诊)函数y＝loga(9－ax)在区间(1，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1，3) D．(1，3] (2)(多选)已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)的定义域是(－6，4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在(0，4)上单调递增 【解析】　(1)函数y＝loga(9－ax)，故a＞0，所以t＝9－ax为减函数．由题意及复合函数单调性知，函数y＝logax为增函数，则a＞1，且9－3a≥0，即1＜a≤3，故a的取值范围是(1，3]. (2)由题意可得解得－6＜x＜4，即f(x)的定义域是(－6，4)，则A正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，令t＝－x2－2x＋24，易得t在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，又因为y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；f(x)在(－1，4)上单调递减，则D错误． 【答案】　(1)D　(2)AB 【素养小结】　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． [对点训练] 1.已知函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，4]，则函数g(x)＝f(x2)－[f(x)]2的最小值为(　　) A．－11 B．－18 C．－38 D．－6 解析：选A.因为f(x)＝log2x＋3，x∈[1，4]，对于函数g(x)＝f(x2)－[f(x)]2，由解得1≤x≤2，即函数g(x)的定义域为[1，2]，g(x)＝f(x2)－[f(x)]2＝2log2x＋3－(log2x＋3)2＝－(log2x)2－4log2x－6＝－(log2x＋2)2－2，设t＝log2x，则由x∈[1，2]可得0≤t≤1，则g(x)可化为h(t)＝－(t＋2)2－2，因为h(t)在区间[0，1]上单调递减，故当t＝1，即x＝2时，g(x)取得最小值为－11. 2．若a>0且a≠1，已知f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为____________． 解析：因为f(x)在R上单调，且当x≤2时，f(x)＝x－2单调递增，所以f(x)在R上单调递增，则需满足解得1<a≤， 即实数a的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $