广西壮族自治区来宾高级中学2026-2027学年高三上学期9月检测数学试题

来宾高中2027届高三上9月检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．平面向量，的夹角为，若，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球．已知该地某芯片企业近9个月的月产量构成等比数列，其中前3个月总产量为50万片，前6个月总产量为110万片，则该企业这9个月的总产量为（ ） A．170万片 B．178万片 C．182万片 D．188万片 4．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小是（ ） A． B． C． D． 6．某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为（ ） A．60 B．70 C．80 D．100 7．已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，若函数与的最大值相等，则的值所在区间为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．记双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，则下列说法中正确的有（ ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为18 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 11．如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（ ） A．三棱锥的外接球的表面积为定值 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若，则平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为_________． 13．记公差不为零的等差数列前项和为，若，则正整数的值为_________． 14．记椭圆的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则_________；椭圆的离心率_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 16．某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评．现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图． （1）求的值，并估计女生评分的平均数： （2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”．完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联． 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点． （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间； （3）若，求的取值范围． 19．已知圆：与抛物线：的三个公共点恰好构成等腰直角三角形． （1）求抛物线的标准方程； （2）过抛物线上一点引射线，该射线与圆相切且与抛物线交于另一点，记该射线与轴的交点为． （i）若，求所在直线的斜率； （ii）若，求． 学科网（北京）股份有限公司 $来宾高中2027届高三上9月检测卷参考答案 1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.BC 10.ABD 11.ACD 12.8 13.15 10 v15 14.3 5 15.(1)设等差数列a,}公差为d,因为4，=3，所以4，=4+d=3, 因为 ,-50-102=54,S,=4u,所以a=4a, 2 2 则5(a+2d)=4(a+3d),解得5a,+10d=4a+12d,即4=2d, 41+d=3 a1=2 联立(41=2d ,解得d=l, 则a,=a+(n-l)d=2+(n-l)x1=n+1. (2)由(1)知0，=n+1,故01=n+2 1-1-(n+2)-(n+。1_1 a,~a1(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)n+1n+2 天女女6品片 1 >0 T= 111 因为n+2,所以 2n+221 16.(1)由女生直方图各矩形面积之和为1，得10(0.01+0.02+a+0.025+0.005)=L,解得a=0.04. 以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为 x=55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.05=74.5. 所以a=0.04,女生评分的平均数约为74.5分. (2)男生合格频率为10(0.03+0.02+0.01)=0.6 女生合格须率为10(0.04+0.025+0.005)=0.7，故 列联表为： 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 23 500120×90-80×210≈5.348 提出零假设：评分等级与性别相互独立.由列联表计算 200×300×330×170 因为5.348<6.635，所以在小概率值α=0.01的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据认为评 分等级与该校报名者的性别有关联。 17.(1)如图所示，连接BD,交AC于O, 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在△PBD中，E、O分别为PB、BD的中点，故EOIIPD, 又EOC平面ACE,PD￠平面ACE,所以PD∥平面ACE (2)如图所示，过A做AF⊥BC于F,再以A为原点，分别以AF,AD,AP为x,y,z轴建立 空间直角坐标系， ZA B 设PA=h>0」 由∠BAD=120°，可取A(0,00),D(0,40),BV5-l,0）,C(5,30.P(00,). 51h 2-2'2 直线AE、PD的方向向量可分别取i=(N5,-山)，下=(04，-A)】 h2+4√2 由两直线所成角为45°，得Vh2+4V+16 2 平方整理得2（公+4）=2+16 所以2=8，h=2W2】 可知-(00,22)，4c=(5,3.0) 设平面P4C的法向量为元=(：，少，2)】 i.AP=0 2√2z=0 可得i4C=0,即V3x+3y=0, 令少=1，解得x=-5,z=0,即平面P1C的一个法向量为i-(5,L0) sin= .4√6 设直线PD与平面PAC所成角为B,则 同V24×26 18.函影定义减为0，+o）,且'()=2(x+a）-4a-2r+2aj0x-a） 当a=-1时，f()=0.f'(0)=4 故切线方程为y=4(x-),即y=-4x+4 (2)因为x>0,导数的符号由(x+20r-0)决定. 当a>0时，x+2a>0, 当0<x<a时，f'(冈0，f()在(0，a)上单调递减， 当x>a时，f()>0,f()在(a,+w）上单调递增： 当a<0时，x-a>0, 当0<x<-2a时，∫(~<0，f()在(0，-20）上单调递减， 当x>-2a时，'()>0，f()在(-2a,+o）上单调递增 (3)要使定义域内恒有(：)>0，只需且必须使其最小值大于0， 当a>0时，f(t)在(0，a)上单调递减在(a,+∞)上单调递增， 最小值为f(a)=4a2(1-lna)】 所以f(a)>0等价于lna<1,得到0<a<e。 当a<0时，f(0)在(0，-2a）上单调递减，在(-2a,+∞)上单调递增。 最小值为f(-2a)=a[-4h(-2a]. e<a<0 f(2a>0袋喻于h(-20,用到 综上， ee) (x-102+y2=1 19. (1)联立广=2px,得c-2+2px=1,即2+(2p-2)x=0, 所以x=0或x=2-2p. 故圆M与抛物线E的三个公共点分别为(0,0），(2-2p,2√p1-P可) 这三点恰好构威等服直角三角形，所以2-2p=2√P(0-D),解得P-2或P=1(含去). 故E的标准方程为y=x. (2)易知AB的斜率不为0，设直线AB方程为x=my+1,(,）,B(,),M1,0) x=my+t 联立y=x,得y2-my-t=0,所以△=m2+41>0,y+乃=m,2=-t d=-4=1 (i)因为∠AMB=60°，M到AB距离Vm2+1,即m2=-2t. 因为∠AMB=60°， tan∠AMB= kws-ky (--⅓--+) 所以 1+wak(--+--+ （-g-)=0-[(y+2}-2y%]+1=-(m2+2）+1=1 且4-=Vm2+4t=vP+27. tan∠AMB -小vP+2 1-t =NP+2t=5 所以 ,解得t=-3或t=1, 但t=1时，m2=-1<0舍去， 故1=-3，m=±V5,枚直线AB的斜率m 15 ANAM )由AM=LAN4B,符MA8,所以△AMN∽△ABM,从而∠AM=∠AMB. 1 tanZANM]= 1 由(i)知lan∠AMBl-vP+2 ,而 m22t V2+2i= 1 1 所以 F-2,得=2+5，日42 AM MN 又由ABBM,即AM-BM=AB卧MN, 由弦长公式知 4=+m+=++2+2-+刊 所以AM-BM=A-MN=k+1H-1=2-1=1+V5.