广西柳州市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

柳州一中2026一2027学年第一学期高三9月检测 数学试题 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.已知复数z=i(2+),则：的虚部为() A.1 B.2 C.i D.2i 2.样本数据3,3,4,5,6,7,7,8的第80百分位数为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.若集合A={xk=x},B={x0≤x≤，则AnB=() A.{0) B.{ c.{0,1 D.{0,-1,1} 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=2,S4=20,则a=() A.7 B.6 C.5 D.4 5已知0<a<x,osa=-子，则sna*引《） A.2 B.② c.3v2 D.72 10 10 10 6.设函数f(x)=x2+2x+a,g(x)=cosx+2x,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.己知直线1：x-y+4=0,圆C:x2+y2=r2(r>0),若圆C上有且仅有三个点到直线1的距离为 2√2，则r=() A.2 B.4 C.2√2 D.4V2 8.设U={(x,x2,为)x∈{-2，-1,12，i=1,2,3}为空间中64个点构成的集合，点P(1,1,-2),记样本空 间2=C,{P},从2中随机取一个点，定义随机变量X如下：对2中的每个点A(,,为)，令 X(4)=x+x+名，则X的数学期望值为() 第1页/供4页 1 A.- 21 B、1 c.0 D. 63 7 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知正实数a,b,满足a+b=2,则() A.a+bs2 B.29+2≥4 C.a>1 D.a2+2b≥3 10.已知抛物线C:y=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线1：x=- 的垂 线，垂足为D,则() A.F的坐标为(3,0) B.AD=AF C.AB≥6 D.OA⊥OB 11.已知函数f(x)及其导函数'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若g(x)为偶函数且 f(1+2x)=f(1-2x),g(0)=1,则() A.8g(2026)=-1 B.8(x+4)=g(x) C.f(x)是奇函数 器- 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的3倍，则C的离心率为 13.已知向量a=(2,x),6=(1,-l),若a/%,则a+= 14在三棱锥S-ABC中，若SA=-SC=l,4B=BC=AC=反，二面角S-AC-B为牙则三棱锥 S-ABC外接球的表面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 5.在AMBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB+]士名cosA+=e a=2b (1)证明：△ABC为钝角三角形： (2)若△ABC的面积为3V15,求b的值. 第2页/共4页 6,已知猫圆C名+Q>6>0的腐心率为2，点亿0在猫圆C上， (1)求C的方程： (2)过点(0，-2)的直线1交C于A,B两点，O为坐标原点若△OAB的面积为√2，求直线1的方程. 17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=L,AB=√5. D C (1)若AD⊥PB,证明：AD//平面PBC: (2)若AD⊥DC,且AD=√3，求二面角A-CP-D的正弦值. 18.已知函数f(x)=ln(x+)-a,其中0<k<1. (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：∫(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点： (3)设x,x2分别为f(x)在区间(0，+∞)的极值点和零点，比较2x与x2的大小，并证明你的结论 第3页/共4页 19.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个 状态到另一个状态的转换的随机过程该过程要求具备“无记忆"的性质：下一状态的概率分布只能由当前状 态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两 口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行nn∈N)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为Xn, 其中恰有1个黑球的概率为Pn,恰有2个黑球的概率为9n (1)求P1,9,P2的值： (2)求pn的值（用n表示）： (3)求Xn的数学期望E(Xn) 第4页/共4页 数学试题参考答案 1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.D8.C9.ABD 10.BC 11.AB 12.√0 13.32 140 元 3 8.解：由题意可知n(2)=4×4×4-1=63, 且随机变量X的取值为-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6. 依题意，若X=-6,则A(-2,-2,-2), 根据对称性可得P(X=-6)=P(X=6)= 63 同理可阳PX=列=PX=列=PX=4=PX=4到=高 PX=-到合P(X=列=高 P(x--2)-P(x-)-P(X( 所以EW-(6+0*a+(5+5-4+x+(-3+水高+(2+2-1+0x号+0 63 =0 63 11.解：由题可知：g(x)=g(-x),由f(1+2x)=f(1-2x)得f(1+)=f(1-),对 f(1+)=f(1-)两边求导得：f'(1+)=-f'(1-),即得g(1+)=-g(1-), 所以g(x)关于(1,0)中心对称，所以g(1+x)=-g(1-x),因为g(x)为偶函数，所以 -g(1-x)=-g(x-1), 根据g(x)关于(1,0)中心对称得-8(x-1)=-g(1+x-2)=g(1-(x-2)=g(3-x),所以 g(1+x)=g(3-x)=g(x-3),所以g(x+4)=g(x), g(2026)=g(2)=-g(0)=-1,所以A正确，B正确： 对Fc,令f=是m[合+1，关导数r=o[经 为偶函数，且满足 f(1+2x)=f(1-2x),f'(0)=cos(0)=1,但是f(x)不是奇函数，C错误： 对于D因为e+=8.所u8作+4[)即e生）=8) 第1页/共6页 k k 2 的周期为8，考虑∑8万 的前八项，其中g(1.5)=-g(0.5),g(2.5)=-g(-0.5)=-g(0.5), 8(3.5)=g(-0.5)=g(0.5),g(4)=8(0)=-g(2) g(0.5)+8(1)+g(1.5)+g(2)+g(2.5)+8(3)+g(3.5)+g(4) =g(0.5)+0-g(0.5)-1-g(0.5)+0+g(0.5)+1=0 =0×253+g(0.5)+g(1)=g(0.5), 因为g0,3)可为任意实数，所以28不 不一定为-1，所以D错误 14.解：取AC中点D,因为AB=BC=AC=V2,所以△ABC为等边三角形 因为SA=SC=I且AC=√2，所以△SAC为直角三角形，由对称性可作SE⊥BD于点E. 因为SD⊥AC,BD⊥LAC,故∠SDE为二面角S-AC-B,∠SDE=T D=D= √2 2'SE=ED=2 因为△ABC外接圆圆心位于O,△SAC外接圆圆心位于D, 且0D=166 所以球心O满足OO⊥平面ABC且OD⊥平面SAC, 32 6 OD OD 故ED ,解得oD= 所以球半径 3 2 、2 √30 Bi.- 3 2 6 B 因此表面积S=4πR2=4π. 510 63 15.解：(I)aMBC中，由正弦定理得sin4,+cosB+si血B.1+cos4=2si血C, 2 22 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=3sin C, sin A+sin B+sin(A+B)=3sin C,sin(A+B)=sin C,sin A+sin B=2sin C, 第2页/共6页 又由正弦定理得a+b=2c,而a=2b,于是c=3 b, 由余弦定理得C0sA= +c2-g282+962-462 4 2bc 267b <0，即A为纯角， 一三一 4 2 所以△ABC为钝角三角形： (2)△ABC中，因cosA=- 4则sinA= 4 而S=besin,可得c.正=35，bc=24.则有262=24， 2 4 所以b=4. 16.解：(1)由题知，4=2，而离心率为9=5，故e=V2, a 2 因为d=2+c2,故b=V2,故椭圆方程为：父+ -=1. 42 B (2)由题设直线AB的斜率不为0，且过点(0，-2)， 故设直线1：x=(y+2),A(x,),B(x,2), 242护44-40 故△=161-42+2(412-4)=4(8-412)>0，即-√2<1<√2， 412412-4 且y+%=2+2%=P+2 枚sm×pIx以-为=4+-4=N62-16_v万，解得1=士 2+2 3 所以直线1：x= 3(y+2)或x=-y6 (D+2) 17.解：(1)因为PA⊥平面ABCD,而ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 而ABC平面PAB,所以AD⊥AB. 因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,所以AD/1BC, 又ADE平面PBC,BCC平面PBC,所以AD//平面PBC,. 第3页/共6页 (2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF, 因为PA⊥平面ABCD,且DEC平面ABCD,所以PA⊥DE, 又因为DE⊥AC,PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,所以DE⊥平面PAC, 因为CPc平面PAC,所以DE⊥CP, 又因为EF⊥CP,EFODE=E,EF,DEC平面DEF,所以CP⊥平面DEF, 所以∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， D 因为HD1DC,则CD=1,DE=5,CE=号 而△EFC为等腰直角三角形，所以EF= 2√2 故tan∠DFE=PDE=V6,所以in∠DPE=厘 EF 18解1))=-k=-+-在+1-k,3-1. x+1 x+1 x+1 令f()=0,即-c+1-k=0,因为x+1>0,0<k<1,所以-+1-k=0, x+1 解得x-1,且x=云1>0. k“k 当x(-2时，了八小>0，f似单调造猫： 当xe足-l+切时.了<0.f()单词递减。 2)由《1)知x=君1是f(冈在(Q,如）)上唯-的极值点，是授大位点 所以fG-小fo)=h(0+-x0=0. 1imf(x)=-o.所以f(x)在(0，+o)上存在唯一的零点. r)+d0 综上，(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点. (3)2x<2,证明如下： 由a知，=。1,6满起6)=n(+-=0,且5e(食+ 第4页/供6页 要比较2与%的大小，甲比较22-与的大小 )-1-刃-g-小+-x2-=匠-2*2 令=n2--2+2k,0<k<1 2 -2 +2=2+22-月_2+-2_2-<0. 则G)三2+2=k(2-k k(2-k) k(2-k)k(2-k) k 所以A(因在(Q,)上单调递减，A刻>h0=n（行-小-2+2x1=0,即f(2x)>0. 因为f(在-l,+∞单调递减，f2x)小>f()=0, 所以2x1<x2. 19.解：(1)根据题意可得恰有0个黑球的概率为1一P,一9n, 限据古典极型可沿2CC9+C心二3.9CC=子， C 9’9= 所以P2= Sn+器+器0-a-号 Cc cca+ (2)由题意得， Pn = C.CG.+瓷a+瓷0--小n+ c +cC.+ CC: 进一步整理可以得到下式： 32 又-5-45 0 做可以赠定风引是以首项为-名公比为-)的等比数列 3 第5页/供6页 (3)由题意可得9。= 391@, 1-9n-Pm= 器器-号+0-4e ①@，得24.+p。-1=(2g+p-, 因为2q,+2,-1=0,所以2qn+Pn-1=0. 所以qn= 一卫a,Xn的概率分布列为： 2 X 0 2 1-Pn 1-Pn-2 Pa 1-Pn Ex)=0x个1-p2）1xa+2x2=1, 所以X.的数学期望E(Xn)为定值1. 第6页/供6页