广西柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段检测数学试题

2027届高三第一学期第一次阶段检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.设集合A={-1l,10,100},B={yy=x2,x∈Z,则A∩B=（) A.☑ B.{1,100} C.{1,10,100} D.{-11,10,100} 2.若命题“3x∈R,使得mx2-2mx-2≥0”是假命题，则实数m的取值范围是() A.[-2,0) B.(-2,0] C.[-2,0] D.(-2,0) 3.若函数f(y)=x+r+号为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是( A.[0,+oo) B.(0,+o∞ C.[-2,+oo） D.（-2,+o) 4.已知正实数m,n满足e2m2-e2-2m=e-e,则m-的最大值为() 2n A.0 B.-3 C.1 D.2 5.已知函数f()=xcC(aeZ)为偶函数，则a=() e*ta A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或-1或0 6.已知幂函数f(x)=(a2+3a-3)x2在(0，+∞)上单调递减，则f(3)=() A.√5 B.3 D.27 1 7.函数f(x)定义域是(-l,2],则f(n(x-1)的定义域是( A.(0,3] B.（1+E,l+e c（24 D. 8.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定 义的函数f(x)=[x称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[19]=1， [-1.6]=-2,已知方程4x2-[3x]-1=0,则方程的解集为() 第1页/共4页 B要ac语{停 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分 分，有选错的得0分. 9已知实数a6,e满足-2=目-3=(4-4， 则下列关系可能正确的是() A.a<b<c B.a=b=c C.a<c<b D.c<b<a 10.已知函数f(x)对任意xeR都有f(x+4)-∫(x)=2∫(2)，若y=(x-)的图象关于直 线x=1对称，且对任意的，5∈0,2，且5*，都有任）->0，则下列结论正确 名-x2 的是（) A.f(x)是偶函数B.f(x+4)=f(x)C.∫(22)=0D.f(x)在(4，-2)上单调递减 11.已知f(x)=x-3x2+3x,则下列说法正确的是() A.f(x)在定义域内单调递增 B.f(x)的对称中心为(1，) C若/m+2+fBm-4a)=2,则2+的最小值为2m分n>》 D.已知x,x2为方程ax2+4x+b=0的两个根，x*x,且f(x)+f(:)>2,则a的取值范 围为(-2，+∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.已知函数=hn(6x1-2刘+2+日，若a、5eR，a+6=2026,则 f(b-2027)+∫(a+1)= 13己知函(x):足c·=(x) 2 =则o= 第2页/共4页 4,已知a>0,b>0,且满足4+=1，则a+b+Vg+62的最小值为 四、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.已知集合A={xlog(x+1)<1},B={xx-bl<a,且B为非空集合. (1)当b=2时，A∩B=☑，求实数a的取值范围： (2)若“a=1”是“A∩B≠☑”的充分条件，求实数b的取值范围. 16.已知函数f(x),g(x)的定义域都是R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 2f(x)+3g(x)=9x2+4x+1. (1)求函数f(x),g(x)的解析式： (2)求不等式f(4)+f(4-5×2)≤0的解集。 17.已知函数f(x)=log2（x2-mx+2) (1)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围. (2)当m=3时，若f(x)在(a,+o)上单调递增，求实数a的取值范围. (3)设函数g=3+.若4∈，2，此，2]，使得f)sg)成立，求实数m的 2r-1 取值范围. 第3页/共4页 18.2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通 知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人 消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至 2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知 生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产x(x∈N*)百件，需另投入成本W(x)万元， 且0≤x<45时，W()=3x2+260x:当x≥45时，W(x)=501x+4900 x+20 -4950,由市场调 研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完。 (1)分别写出0≤x<45与x≥45时，年利润y（万元)与年产量x(百件)的关系式（利 润=销售收入一成本)： (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19.己知函数y=f(x)的定义域是D.对于1∈D,定义集合S0={x|f(x)≥f)}, (1)若f(x)=log2x,求Sru6: (2)对于集合A,若对任意x∈A都有-x∈A,则称A是对称集.若D是对称集，证明： “函数y=f(x)是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D,Sr0是对称集”； (3)若函数f(x)的定义域为D=(O,+o),对任意xeD, f闭=2+2e-4e+e)+(46-2.试求b的取值范围，使得对于任意4<4∈D, 2 都有Sr)=Sr· 第4页/共4页 2027届高三第一学期第一次阶段检测 数学试题参考答案 BBCA DCDD ABD ABC ABC 12.2 13.110 14.20+8V5 3.【详解】f)的定义域为(0，+∞)，∫因)=1+a+x, 因为函数f闪=nx+x+号为其定义城上的增函数， 所以f()=+a+x20,即-a≤十x在(0，+o)上恒成立， 因为x>0,二+x22,当且仅当x=1时取等号， 所以-a≤2，即a≥-2， 4.【详解】设f(x)=e-e为增函数-减函数=增函数，函数的定义域为R, 且满足f(-x)=一f(x),所以函数f(x)是奇函数， 所以e2m-2-e2-2m=e"-e”,则f(2m-2)=f(-n),得2m-2=-n, 即2m+n=2,m,n>0,得0<m<1,0<n<2, 则m六六1-+动+1s2份+1=0， 2n22n 当”、.1 ，即n=1,m=时等号成立， 22n 所以m-的最大值为0 2n 5.【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称：②对定义域内任意x,均有 f(-x)=f(x)。 当a=0时，f=号=1定义球为x+0以，关于原点对%，对任意x0,的 f(-x)=1=f(x),满足偶函数定义： 当a=1时，f)=x,定义城为R,关于原点对称， e*+1 第1页/共11页 1-e* f列(8-（小品-（小1，减足假数定义 ex+l e* 当a=1时：了)=x.c,定义为{xx≠0，关于原点对称， e*-1 1+e* f(g- -1,1+c=1+-(),满足偶函数定义： e*-1 x 1-et x 1-e*x e*-1 综上，a=1或-1或0 6.【详解】由题意，a2+3a-3=1,解得a=1或-4， 当a=1时，f)=x2,f)为增函数， 当a=-4时，f(x)=x2，f(x)在(0，+oo)上单调递减，符合题意，所以a=4, 所以f)=x2=之，所以3)=号 7.【详解】因为函数f(x)定义域是（←1,2]，所以n<h(x-)s1ne,<x-1≤c2, 解得1+<x≤1+心，所以(x-圳的定义城是(+后+e鬥 8.【详解】因为3x-1<[3x]≤3x,所以4x2-3x-1≤4x2-[3x]-1<4x2-3x, 50,w-0 4 当-x<0时，B树到=，比时4-B-1=4-0→x=0(舍去为 当5<1时.B问=2，此时4-时-16r-3=0. 解得x=5或x= 2(舍去)： 2 当x=1时，[3x]=3,此时4x2-[3x]-1=4-3-1=0,满足题意. 9【1-2(-3(4, 则a=lo8(k+2)=-l1og,(k+2),b=1g(k+3)=-log,(k+3), 第2页/共11页 c=log1(k+4)=-log(k+4),其中k>-2, 令s=k+2,则s>0, a=-l0g2s,b=-l0g3(s+1),c=-l0ga(s+2), 当g→0时，a=-logs→+o,b=-log,+)→0，c=-1g,(s+2)→ 此时c<b<a,选项D成立： 当s→o时，-1lgn(6+)=-5+≈-ns， Inm Inm 因为0<h2<h3<n4,所赵-g<即a<b<c,选项A成立： 当k=0时，a=b=c=-1, C选项，a<c<b,即-log2s<-log4(s+2)<-log(s+1), 1og2s>1og4(s+2)>log(s+1)①， 先解log2s>log4(s+2)→1og4s2>l0g4(s+2),s2>s+2,解得s>2, 再解1og4(s+2)>1og(s+1), ho)=log,(s+)-1og4(6+2)=h(s+_ns+2), In3 任取0<S<S2, h(s2)-h(s)=log3 (s2+1)-l0ga (52+2)-[log3 (s:+1)-10ga (s:+2)] =[1og(s2+1)-log,(✉+1)]-log4(s2+2)-l1og4(s+2)] loglog211In S+1 4s+2n3S,+1ln4s,+2 2+1_2+2_（s,+s+2)-(✉2+2(s+1) S+19+2 (s+1)(s,+2) =+2,+9+2-s2++2+2）=,-9 (s+1)(s,+2) (s,+1)(s,+2) 因为0<<，所以->0，则8+出>马+>1， ,+1S,+2 所以h3t>n3+名>0， S,+1+2 第3页/共11页 因为0<h3<n4,所以>1 1.I1.In+2 n3n4>0.n3h+i>h4h+2 h(s2)-h(s)>0即h(s2)>h(s), 所以h(s)在(0，+∞)上单调递增， 又h(2)=1og33-log44=1-1=0, 所以当s>2时，h(s)>h(2)=0即log(s+1)>log4(s+2), 此结果与①中1og(s+1)<1og4(s+2)互相矛盾， 不存在s>0使得a<c<b,选项C错误 10.【详解】由y=f(x-I)的图象关于直线x=1对称，则f(1+x-1)=f(1-x-1), 即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数，故选项A正确： 由f(x+4)-f(x)=2f(2),令x=-2,可得f(2)=0, 则f(x+4)=f(x),则f(x)的周期T=4,故选项B正确：f(22)=f(4×5+2)=f(2)=0,故选 项C正确： 又f(x)在(0,2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减， 因为周期T=4,则f(x)在(-4，-2)上单调递增，故选项D错误. 11.【详解】选项A,由题意f(x)的定义域为R, 因为f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立，当且仅当x=1时f”(x)=0, 所以f(x)在定义域内单调递增，A正确： 选项B,设f(x)的对称中心为(c,d),由对称中心的定义可知f(c+x)+f(c-x)=2d对xeR恒成 立，代入f(x)=x3-3x2+3x 整理得(6c-6)x2+(2c3-6c2+6c=2d,令 6c-6=0 2c3-6c2+6c=2d' 解得 日所以的对中心为，B正 选项c,因为f(3m+2n)+f(3m-4mn)=2, 第4页/共11页 所以f(3m+2n)=2-f(3m-4mn)=f(2-3m+4mn), 则3m+2n=2-3m+4mn,即(2m-1)(2n-3)=1, 因为m>>号所以 -+1≥2 =2, 2m-1'2n-3 2m-12n-3 等号成立时m=l1,n=2,C正确： 选项D,因为x,x2为方程x2+4x+b=0的两个不同根， 所以+名=-台5名4=16-b0. a 因为f(x)+f(x)>2,所以f(x)>2-f(x)=f(2-x2),则x>2-2, 放名+=合2，得-20<0，D错灵 12.【详解】x∈R,V4x2+1>2x≥2x,则V4x2+1-2x>0,2+1>0, 所以函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称， 图为r+/--hri-2刘+nar*i+2中+2 -ha1-42z 2 5+1=2, 因为a+b=2026,则(a+1)+(b-2027)=0, 因此，f(b-2027）+f(a+1)=2. 13.【详解】函数f(x)满足f(x+y)=f()+fy)+2y, ) =3f0-242*2x+2 令y=1,得f(x+1)=f(x)+f(I)+2x, 即f(x+1)-f(x)=2x+2. 所以f(2)-f()=2×1+2=4, f(3)-f(2)=2×2+2=6, f(4)-f(3)=2×3+2=8, 第5页/共11页 f(10)-f(9)=2×9+2=20, 累加得，了00）-了0=4+6+8+.+20-94+20）-108. 2 所以f(10)=108+f(1)=110. 14.【详解1方法一：令x=2>0,由4+=1，得a=4+6,6=4x+6. 0 a b 令1=x+V1+x 因为s0,所>1，时2-x从面- 21 于是a+b++F=a+x++)a+b+匠+你-（4+0+)， a6+F+8-(4+2}0+0.a+6++8=20+4〔-+号 因为1-1>0，所以由基本不等式得，4-刂+名≥2丽=85. 因此0+6+厅+≥20+85，当且仅当4(-)-=名，即1=5+1时等号度立. 此时x=-1_3+V5 214 由a=4+b=m,得a=16-45.b=9+5. 6 此时a>0,b>0,且4+5=1，所以所求最小值为20+8√5. 方法=：设a=os8b=in8其中巾y>0,0<0<号 由4+5=1，得r=4+6 a b cose sine 因此a+b+Va2+b2=r(1+cos0+sin0), a+b+Va2+6=10+4.1+sin +6.1+c0s0 Cose 令u=tan号，则0<u<1,y 第6页/共11页 且1+sin0 c0s2 +2sim。 2+sin 8)2 2= cos +sin? 0sin1+u 1+cose7 2 2 cose c0g2 2in2 2-sin20 c0s2 8 :0 1-u'sine 0u 2 cos -sin 2sin-cos 2 2 再令v= >0, 1-u 则a+b+N0+F=10+4.1+u+6,a+b+Va+F=20+8v+6 1-u u 由基本不等式8v+6≥2√48=8√5. 所以a+b+Va2+b≥20+8√3. 当8v=6,即v=5时等号成立 2 m0=2”-3+5所以53+5 此时u=,v 0=1-0=4 结合4+-1，得a=16-4W5,b=9+5. 故所求最小值为20+8√5. 四、解答题 15.解：(1)由题意可得A={xlog,(x+)<={x-1<x<, 而B为非空集合，则B={xx-b<a={xb-a<x<a+b},a>0, 当b=2时，B={x2-a<x<2+a, 因为A∩B=☑，所以2+a≤-1或2-a≥1，解得0<a≤1， 故实数a的取值范围(0，. (2)若“a=1”,则B={xb-1<x<b+1, 而“a=1”是“A∩B≠☑”的充分条件， 则{x-1<x<}n{xb-1<x<b+≠， b-1=-1 所以-1<b-1<1或-1<b+1<1或 b+1=11 解得-2<b<0或0<b<2或b=0,即-2<b<2, 所以实数b的取值范围（一2,2）. 第7页/共11页 16.解：(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 2f(x)+3g(x)=9x2+4x+1,①∴.2f(-x)+3g(-x)=9x2-4x+1, 即-2f(钊+3g=92-4x+1,②，由0、®解得/（创=2x,8()=32+号 (2)由(1)知f(x)=2x是R上的奇函数和增函数， 则不等式f(4+f(4-5×2)≤0台4*≤5×2-4， 因此4-5x2*+4≤0，即(2-1(2-4)≤0，解得1≤2≤4， 即-2≤x≤0，所以原不等式的解集为[-2,0]. 17.解：(1)因为函数f(x)的值域为R,所以y=x2-x+2能取到大于0的所有值， 所以△=m2-8≥0，解得m≥2√2或m≤-22， 因此实数m的取值范围为(-0，-2V2]U[2V2,+o)· (2)当m=3时，f(x)=log2(x2-3x+2）. 令u(x)=x2-3x+2>0,得x<1或x>2, 又闭=-x+2=(- 当x<1时，u(x)单调递减，当x>2时，u(x)单调递增， 所以f(x)在(2，+o)上单调递增， 因为题中f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以实数a的取值范围为[2，+o). (3)因为x∈[l,2],3x2∈[l,2],使得f(x)≤g(x2)成立，所以f(x)mx≤g(x)mx· 因为g的=2+！_21+2=1+，2在x,2]时单调递减， Γ2-1-2*-112-1 所以8(x)mx=g(I)=3, 即x∈[l,2],f(x)≤3，即x∈[l,2],0<x2-mx+2≤8成立. 方法一：设1=x2-mx+2,x∈[，2]，其图象的对称轴为直线x=? 第8页/供11页 当≤1时，只需 12-mx1+2>0 解得-1≤m≤2： 2 22-m×2+2≤8 12-m×1+2≤8 当1<”≤2时，只需 22-m×2+2≤8 ,解得2<m<2V2: 2 -mx"+2>0 2 当”≥2时，只需 12-m×1+2≤8 2 22-m×2+2>0 无解， 综上，得-1≤m<2√2，即实数m的取值范围为[-1,2√2). 方法二：x∈l,21,-mx+2≤8成立，等价于xe,2,m≥-6成立， 所以m2 记4()=-6（x,2D,则4以)=x-在[，2上单调递增， 所以4m=4以2)=26-1，所以m≥-1. 2 xe山21,2-mx+2>0成立，等价于x,2m<+2成立，所以m< 2+2 记p(树=+2(x,2D,则p)=x+2≥22（当且仅当x=5时取等号）， x 所以p(x)m=2V2,所以m<2√2， 综上，-1≤m<2√2，即实数m的取值范围为[-1,2V2). 18.解：（1)由题意可得当0≤x<45时，y=500x-3x2-260x-2000=-3x2+240x-2000, 当x≥45时，y=500x-(501x+4900-4950)-2000=2950-（K+490 x+20 x+20 (2)由(1)得0≤x<45时，y=-3x2+240x-2000=-3(x-40)+2800, 此时x=40（百件)时，ymx=2800（万元)， 第9页/供11页 当x≥45时，y=2950-x+4900)=2970-0c+20+ 4900 x+20 +201 4900 因为x+20>0, >0,所以： x+20 4900 4900 2970-(x+20+ )≤2970-2， (x+20)× =2970-2×70=2830, x+2 x+20 即y≥2830 当且仅当x+20=4900 0,即x=50时等号成立，ymx=2830（万元 而2800<2830，故x=50(百件)时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 19.解：(1)由定义得，S6={xf(x)≥f(16)}={xlog2x≥1og216)={xx≥16 (2)证明： 必要性：因为y=f(x)是偶函数，所以任意x∈D,f(x)=f(-x), 对任意1∈D,若xeS0,即f(x)≥f,则f(-x)=f(x)≥f(), 所以-x∈S0,所以对任意1∈D,S0是对称集。 充分性：若对任意1∈D,S0是对称集， 因为对任意teD,1∈S0,所以-∈S0,即f(-)2f()①， 又-1∈S,所以1eS,即f(☑≥f(-)②. 由①②得，对任意1eD,f()=f(-), 所以函数y=∫(x)是偶函数. 综上，“函数y=∫(x)是偶函数”的充要条件是“对任意1∈D,S0是对称集”，得证. (3)因为对于任意4<42∈D,都有S)=S6): 所以若x∈S6,则x∈S),即若f(x)≥f(2),则f(x)≥f(4), 所以f(42)≥f(4),所以f(x)在x>0上单调不减， 所以f'(x)=g(x)=e2-e2r-4b(e*-e+(8b-4)x20恒成立. 所以g'(x)=2(e*+e*-2)(e+e-2b+2). 第10页/共11页 当b≤2时，g'(x)≥0，等号仅当x=0时成立，所以g(x)单调递增， 而8g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0: 当b>2时，若x满足2<e+ex<2b-2, 即0<x<ln(b-1+Vb2-2b)时，g'(x)<0,而g(0)=0, 因此当0<x≤ln(b-1+Vb2-2b)时，g(x)<0,不合题意 综上，b的取值范围为(-0,2] 第11页/共11页