5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时1(基础巩固)同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 课时1 1.函数在上的极大值点为( ) A.0 B. C. D. 2.若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数取极大值的点是( ) A. B. C. D. 4.若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.若函数在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是( ). A. B. C. D. 6.若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7．定义在R上的函数f（x），已知x0（x0≠0）是它的极大值点，则以下结论正确的是 （　　） A．－x0是f（－x）的一个极大值点 B．－x0是－f（x）的一个极小值点 C．x0是－f（x）的一个极大值点 D．－x0是－f（－x）的一个极小值点 8.（多选）已知，函数在处取得极大值，则下列不等式可以成立的有( ) A. B. C. D. 9．已知函数f（x）＝x3＋3x2＋bx＋1，导函数f′（x）的极值点是函数f（x）的零点，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）有且只有一个极值点 B．f（x）有且只有一个零点 C．若a＋c>－2，则f（a）＋f（c）>0 D．过坐标原点仅有一条直线与曲线y＝f（x）相切 10.若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是_______________. 11.已知函数在R上无极值，则实数m的取值范围为__________. 12.已知函数，则的极大值为__________. 13．求下列函数的极值： （1）f（x）＝x2－2ln x； （2）f（x）＝. 14．设函数f（x）＝a ln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴． （1）求a的值； （2）求函数f（x）的极值． 答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意得，，令，得.当时，；当时，.所以当时，取得极大值. 2.答案：B 解析：由，得.由题意知有小于零的实数根，即，则.因为，所以，所以. 3.答案：B 解析：由题图知，，，函数在上单调递增；，，函数在上单调递减，所以函数在处取极大值. 4.答案：B 解析：由，得.由题意知有小于零的实数根，即，则.因为，所以，所以. 5.答案：B 解析：，求导得，若函数在R上有小于零的极值点，则有负根，故，则在y轴的左侧有交点，即，解得，即实数a的取值范围是.故选B. 6.答案：D 解析：由题意，得，显然当时，，在R上单调递增，无极值点，不符合题意，所以，所以的根，所以，即.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，有极小值，故选D. 7.答案AD 解析：x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，就是存在正数m，使得在（x0－m，x0）上，f′（x）>0，在（x0，x0＋m）上，f′（x）<0.设g（x）＝f（－x），g′（x）＝－f′（－x），当－x0<x<－x0＋m时，x0－m<－x<x0，f′（－x）>0，g′（x）<0，同理当－x0－m<x<－x0时，g′（x）>0，所以－x0是f（－x）的一个极大值点，从而－x0是－f（－x）的一个极小值点，x0是－f（x）的一个极小值点．不能判定－x0是不是－f（x）的极值点．故选AD. 8.答案：AB 解析：，由可得或，又在处取得极大值，则，即.已知，若，则，所以，此时有，A成立.若，则，所以，此时若，则有，B成立.若，则，又，且，没有与之对应的选项.故选AB. 9.答案：BC 解析：由f（x）＝x3＋3x2＋bx＋1得f′（x）＝3x2＋6x＋b，令g（x）＝3x2＋6x＋b，则g′（x）＝6x＋6，令g′（x）＝0，解得x＝－1，所以x＝－1是函数g（x）的极小值点．又f′（x）的极值点是函数f（x）的零点，所以f（－1）＝－1＋3－b＋1＝0，解得b＝3.此时f（x）＝x3＋3x＋3x＋1.对于A，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0且等号不恒成立，所以函数f（x）为R上的增函数，则f（x）没有极值点，错误；对于B，由A知，函数f（x）为R上的增函数，且f（－1）＝0，即f（x）有且只有一个零点，正确；对于C，f（x）＝x3＋3x2＋3x＋1＝（x＋1）3，则f（－c－2）＝（－c－1）3＝－（c＋1）3＝－f（c），因为函数f（x）为R上的增函数，所以由a＋c>－2，即a>－c－2可得f（a）>f（－c－2）＝－f（c），即f（a）＋f（c）>0，正确；对于D，不妨设切点为P（x0，y0），由f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2，可得切线斜率为3（x0＋1）2，则切线方程为y－（x0＋1）3＝3（x0＋1）2（x－x0），由切线过原点，得－（x0＋1）3＝3（x0＋1）2（－x0），整理得（x0＋1）2（1－2x0）＝0，解得x0＝－1或x0＝，即过坐标原点有两条直线与曲线y＝f（x）相切，错误．故选BC. 10.答案： 解析：由已知得.若函数在上有极值点，则在上有解，即，解得. 11.答案： 解析：因为函数在R上无极值，所以在R上无变号零点，解得. 12.答案： 解析：由函数，得函数，令，则或，当时，，当时，，当时，，故为函数的极大值点，极大值为. 13.解（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x－， 令f′（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去）， 当x∈（0，1）时，f′（x）<0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增， 所以f（x）有极小值f（1）＝1，无极大值． （2）f（x）的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）， f′（x）＝， 令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝2， x，f′（x），f（x）的变化情况如表： x （－∞， －1） －1 （－1，1） （1，2） 2 （2，＋∞） f′（x） ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f（x） 单调 递增 － 单调递减 单调 递增 3 单调递增 所以f（x）有极大值f（－1）＝－，无极小值． 14.解：（1）f′（x）＝－＋（x>0）. 由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′（1）＝0， 从而a－＋＝0， 解得a＝－1. （2）由（1）知f（x）＝－ln x＋＋x＋1（x>0）， f′（x）＝－－＋ ＝＝. 令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝－（舍去）. 当x∈（0，1）时，f′（x）<0， 故f（x）在（0，1）上单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0， 故f（x）在（1，＋∞）上单调递增． 故f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为f（1）＝3，无极大值． 学科网（北京）股份有限公司 $