5.3.2 函数的最大(小)值课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦函数最值，通过基础应用、实际情境、综合探究三层设计，覆盖导数求最值、实际问题建模等，适配新授课巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数（二次、三次、分式）最值|直接应用导数求极值，如选择1、3、6| |进阶层|实际应用（利润、面积）、几何问题|结合生活情境与几何模型，如选择4、5、7| |拔高层|含参函数、新定义问题|参数讨论与创新情境，如选择9、解答15|

课时作业43 函数的最大(小)值 一、选择题 1.若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=ln x的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时,a=(　　) A. B. C.1 D. 2.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表: x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示: 给出下列关于函数f(x)的命题: ①函数y=f(x)是周期函数; ②函数f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4; ④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点. 其中真命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　) A．0≤a<1 B．0<a<1 C．－1<a<1 D．0<a< 4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时的年产量是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A．100 B．150 C．200 D．300 5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　) A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18 6.如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1,3]上的最小值是－14，那么c＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　) A．R B．2R C．R D．R 8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于M，N.则当|MN|最小时t的值为(　　) A．1 B． C． D． 9.定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是(　　) A.函数g(x)=-2是函数f(x)=的一个承托函数 B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数 C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e] D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数 二、填空题 10.若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 11.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．　 12.函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为________． 13.当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________． 14.已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 15.已知函数f(x)=-2a2ln x+x2+ax(a∈R). (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值. 课时作业43 函数的最大(小)值 （答案） 一、选择题 1.若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=ln x的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时,a=(　　) A. B. C.1 D. 解析：由题意知|PQ|=a2+1-ln a.设h(x)=x2+1-ln x(x>0),则h'(x)=2x-=,令h'(x)=0,得4x2-1=0,解得x=(负值舍去). 当x在(0,+∞)上变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表: x h'(x) - 0 + h(x) ↘ 极小值 ↗ 因此,当|PQ|最小时a的值为, 故选D. 2.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表: x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示: 给出下列关于函数f(x)的命题: ①函数y=f(x)是周期函数; ②函数f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4; ④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点. 其中真命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由函数f(x)的定义域为[-1,5],知函数y=f(x)不是周期函数,故①错误;由题图知在[0,2]上f'(x)≤0,故f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;依题意可画出函数f(x)的大致图象如图所示: 如果当x∈[-1,t]时, f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5,故③错误;当x=2时,f(2)的值不确定,故1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点个数不确定,故④错误. 故选A. 3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　) A．0≤a<1 B．0<a<1 C．－1<a<1 D．0<a< 解析：∵f′(x)＝3x2－3a，f′(x)＝0有解， ∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1. 故选B． 4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时的年产量是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A．100 B．150 C．200 D．300 解析：由题意，得总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝ 所以P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大． 故选：D 5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　) A．32,16 B．30,15 C．40,20 D．36,18 解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设堆料场的宽为x米，则长为米，因此新砌墙壁总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短. 故选：A 6.如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1,3]上的最小值是－14，那么c＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，由f(－1)＝c－7，f(0)＝c，f(2)＝c－16，f(3)＝c＋9，得最小值为f(2)＝c－16＝－14.∴c＝2. 故选：B 7．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　) A．R B．2R C．R D．R 解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2， ∴r2＝2Rh－h2. ∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3. V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当0<h<R时，V′>0； 当R<h<2R时，V′<0. 故当h＝R时，圆锥体积最大． 故选：C 8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于M，N.则当|MN|最小时t的值为(　　) A．1 B． C． D． 解析：由题意，设F(t)＝t2－ln t(t>0)． 令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－(舍去)．F(t)在上单调递减，在上单调递增，则t＝时，F(t)取最小值，即|MN|最小．故选：D 9.定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是(　　) A.函数g(x)=-2是函数f(x)=的一个承托函数 B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数 C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e] D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数 解析：∵当x>0时, f(x)=ln x∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2对一切实数x不一定都成立,故A错误. 令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0恒成立, ∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数,故B正确. 令h(x)=ex-ax,则h'(x)=ex-a, 若a=0,由题意知,结论成立. 若a>0,令h'(x)=0,得x=ln a, ∴函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数, ∴当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a, ∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,∴a-aln a≥0,∴ln a≤1,∴0<a≤e. 若a<0,当x→-∞时,h(x)→-∞,故不成立. 综上,当0≤a≤e时,函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,故C正确. 不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立, 故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.故选BC. 二、填空题 10.若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________． 解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意． ∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1. 答案：－1　 11.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． 解析：令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2. ∵f(x)在(－2,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数， ∴最大值为f(0)＝m＝3，∴f(x)＝2x3－6x2＋3. 又f(－2)＝－37，f(2)＝－5， ∴此函数在[－2,2]上的最小值为－37. 答案：－37　 12.函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为________． 解析：y′＝1－2sinx．由y′≥0得0≤x≤；由y′<0得<x≤. 所以原函数在上递增，在上递减．故当x＝时，函数取得极大值，同时也是上的最大值. 答案：　 13.当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________． 解析：∵f′(x)＝′＝＝，x∈[－1,1]， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)． ∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝， ∴函数f(x)＝，x∈[－1,1]的值域为[0，e]. 答案：[0，e]　 14.已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e. 答案：[e，＋∞)　 三、解答题 15.已知函数f(x)=-2a2ln x+x2+ax(a∈R). (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值. 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时, f(x)=-2ln x+x2+x, 则f'(x)=-+x+1=,∴f'(1)=0. 又f(1)=,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=. (2)f'(x)=+x+a= =(x>0). 若a=0,则f'(x)=x>0, f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 若a<0,当x∈(0,-2a)时, f'(x)<0,当x∈(-2a,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞). 若a>0,当x∈(0,a)时, f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞). (3)由(2)知,当a<0时, f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞). 当-2a≤1,即-≤a<0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)min=f(1)=+a; 当1<-2a<e,即-<a<-时, f(x)在(1,-2a)上单调递减,在(-2a,e)上单调递增, 则f(x)min=f(-2a)=-2a2ln(-2a); 当-2a≥e,即a≤-时, f(x)在[1,e]上单调递减,则f(x)min=f(e)=-2a2++ae. 综上, f(x)min= 学科网（北京）股份有限公司 $