函数与导数 第11讲恒成立与存在性 讲义-2027届高三数学一轮复习

恒成立与存在性 含参不等式恒成立、存在性与双变量量词 一、恒成立与存在性 恒成立求参数 一、什么叫恒成立。对给定区间里的每一个 ，不等式都成立，就说这个不等式在该区间上恒成立。关键词是「每一个」——只要有一个反例，恒成立就不成立。 二、两条转化路径。第一条是分离参数：把参数单独留在不等式的一边，另一边是关于 的函数，再求这个函数的最值；第二条是直接构造函数：把不等式整理成一边为零的形式，记另一边为 ，讨论它的单调性，求它的最小值。能分离就分离，分离之后问题变成求最值，路径最短。 三、标准动作分三步。第一步整理不等式，看参数能不能分离；第二步能分离就求另一边函数的最值，不能分离就整体构造函数；第三步把最值与参数比较，写出参数范围。若端点处的函数值容易算，先用端点卡一下范围，也能省不少事。判断能不能分离有一个简单标准：参数是不是以一次的形式出现。是的话分离最快；参数藏在指数或对数的内部时，分离做不了，只能整体构造函数、讨论单调性。 四、边界与易混。第一条，分离参数之后要确认那个函数的最值确实存在 ——开区间上函数可能一直单调下去，此时没有最值，必须回到整体讨论。第二条，恒成立取的是「最不利」的那一侧，而不等式不小于零恒成立要找的是最小值，方向别弄反。 例1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为______． 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式2-2（填空·★★★☆☆） 若函数，且恒成立，则实数 = ____________. 例3（解答·★★★☆☆） 已知函数．若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 存在性与双变量量词 一、存在性与恒成立的区别。恒成立要求区间里每一个 都满足，存在性只要求「能找到至少一个 」。正因为要求更弱，两句话翻译成最值的说法正好相反：恒成立取最不利的那一侧，存在性取最有利的那一侧。 二、量词的搭配。题目里出现两个变量时，要看清楚每个变量前面跟的是「任意」还是「存在」。常见的有「任意一个对任意一个」「任意一个对存在一个」「存在一个对任意一个」三种，它们各自对应不同的最值比较方式。读题时先把「任意」与「存在」这两个词圈出来，再确认它们各自管的是哪一个变量 —— 这一步判断错，后面取得的最值方向就反了，整题都会错。 三、标准动作分两步。第一步把两个变量的作用域分开，看清楚哪一句管哪个变量；第二步按量词把问题翻译成最值之间的不等关系，再分别求出各自的最值。翻译完之后，剩下的就是求最值这类常规动作了。 四、边界与易混。存在性问题的答案往往是「某个范围」而不是一个点，求完最值后还要检查这个最值能不能真的取到 ——取不到的话，不等式可能永远只是接近而不成立。另外「存在唯一的 」比「存在 」多一层限制，翻译时除了不等式还要加上单调性带来的唯一性。 例5（填空·★★★☆☆） 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-2（多选·★★★☆☆） 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 例7（填空·★★★☆☆） 设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为______. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 变式7-3（单选·★★★☆☆） 设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 恒成立与存在性 含参不等式恒成立、存在性与双变量量词 一、恒成立与存在性 恒成立求参数 一、什么叫恒成立。对给定区间里的每一个 ，不等式都成立，就说这个不等式在该区间上恒成立。关键词是「每一个」——只要有一个反例，恒成立就不成立。 二、两条转化路径。第一条是分离参数：把参数单独留在不等式的一边，另一边是关于 的函数，再求这个函数的最值；第二条是直接构造函数：把不等式整理成一边为零的形式，记另一边为 ，讨论它的单调性，求它的最小值。能分离就分离，分离之后问题变成求最值，路径最短。 三、标准动作分三步。第一步整理不等式，看参数能不能分离；第二步能分离就求另一边函数的最值，不能分离就整体构造函数；第三步把最值与参数比较，写出参数范围。若端点处的函数值容易算，先用端点卡一下范围，也能省不少事。判断能不能分离有一个简单标准：参数是不是以一次的形式出现。是的话分离最快；参数藏在指数或对数的内部时，分离做不了，只能整体构造函数、讨论单调性。 四、边界与易混。第一条，分离参数之后要确认那个函数的最值确实存在 ——开区间上函数可能一直单调下去，此时没有最值，必须回到整体讨论。第二条，恒成立取的是「最不利」的那一侧，而不等式不小于零恒成立要找的是最小值，方向别弄反。 例1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 【切入点】函数含 ，定义域是 。恒成立题先看参数能不能分离：本题 以一次形式出现，可以单独留到一边，问题随即变成求另一个函数的最值。 【关键】不等式 即 。两边除以 （恒为正），得 。所以问题变成：求右边这个函数在 上的最大值。记 ，用商法则求导：分子的导数是 ，所以 。 【关键】分母恒正，所以符号由分子决定。代 试探：，说明 是导数的零点。再判断这个零点的唯一性。分子里的 递减、 也递减，两者之和 在 上单调递减，所以零点唯一。于是 时导数为正、 递增； 时导数为负、 递减。最大值在 处取到：。所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】两边除以 不改变不等号方向，靠的是 ，这一步要交代。 的最大值 取得到，范围端点写闭；换作最值取不到的情形，端点就必须写开。 【答案】 的取值范围是 。 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为______． 【切入点】函数里同时出现幂函数与对数，定义域是 。对数的底数 也是待定参数，先换底成自然对数再处理；恒成立要的是最小值不小于 。 【关键】求导得 。令它等于零并整理：。左边为正（，），所以右边也必须为正，这就得到 ，即 。此时唯一驻点为 。函数在 左侧递减、右侧递增，所以最小值就在 处。为了少写几个负号，令 ，则 ，驻点满足 。把 代入最小值：。 【关键】记 ，条件变成 ，即 。而由 知 ，两个方向合起来只能取等号，所以 ，即 。于是 。记 （），求导得 。所以 时递减、 时递增，最小值 。所以 的最小值为 。 【易错】换底公式 隐含 且 ，别忘了。由 推 ，靠的是左边为正，这是分类的依据。最后用 卡出 时要把取等条件写清，否则只能算到「小于等于」为止。 【答案】 的最小值为 。 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数里 以 的形式出现，藏在指数内部，分离不出来，只能对原函数求导、讨论最小值。参数藏在指数里的题固定用「隐零点」套路：设导数零点 ，由导数为零把 用 表示，再把最小值化成只含 的式子。 【关键】求导得 。这个式子里一项递增、一项递增（ 在 上递增），所以 单调递增。再看二阶导：，也印证了 递增。增函数至多有一个零点，记为 ，则 在 处取到最小值。由 得 。两边取对数：，所以 。把最小值算出来：。把 代进去： 【关键】。记 （）。求导得 ，所以 递减。代 得 。要让最小值不小于零，即 ，而 递减，所以需要 。再由 ： 时 、，所以 。即 的取值范围是 。选 B。 【易错】由 取对数得 ，右边那个负号容易丢。最后反推 的范围要两段一起算：、，只估一段会把范围写小。 【答案】B 变式2-1（单选·★★★☆☆） 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】式子里 与 各出现两次，先把含同一个参数的项归到一起、提公因式。整理后恒成立变成两个因式乘积非负，要求它们的零点重合。 【关键】。于是恒成立就是两个因式的乘积处处非负。 的零点是 ， 的零点是 （）。两个一次型因式的零点若不相重，它们之间必然有一段一正一负，乘积为负，不符合要求。所以两个零点必须重合：，即 。 【关键】把 代进目标式：。记 ，用乘积法则求导：。所以 时 递增、 时 递减，最大值 。因此 ，即取值范围是 。选 D。 【易错】因式 是分式，讨论前要先认定 ，否则它恒等于 ，根本不会有零点。求 的最大值时， 的符号只由 决定，恒正的 要单独剔出去看。 【答案】D 变式2-2（填空·★★★☆☆） 若函数，且恒成立，则实数 = ____________. 【切入点】函数不含对数，定义域是全体实数。条件里出现的是导数与 的乘积，所以先求导，再按 与 的大小分成两段，逐段讨论乘积的符号。 【关键】要求 对一切实数 成立。乘积的符号由两个因式共同决定，而 在 两侧变号，所以按 与 的大小分段看。当 时，，要乘积非负就得 ，即 对一切 成立。 递减，在 上的最大值趋近于 （取不到），所以 。 【关键】当 时，，要乘积非负就得 ，即 对一切 成立。 递减，在 上的最小值趋近于 （取不到），所以 。两段取交集，只能 ，即 。 【易错】两段的界值都是「趋近 而取不到」，所以一段给出 、另一段给出 ，交集只有一个点。把「趋近」当成「取到」，就会误以为 也可行。 【答案】。 例3（解答·★★★☆☆） 已知函数．若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【切入点】函数是 ，定义域是 。恒成立题先看参数能不能分离：不等式里的 是一次项，两边除以 就能把它单独留下。 【关键】不等式是 。把含 的项归到一边：因为 ，两边除以 ，得 。于是问题变成求右边这个函数在 上的最小值。记 ，求导：。 【关键】分母 恒正，符号由分子 决定。所以 时 递减、 时 递增，最小值在 处取到。，所以 ，即 的取值范围是 。 【易错】两边除以 用到 ，除之前要交代。求最小值时 ，其中 ，别代成 。若把「求最小值」误当成「求最大值」，范围会写成 ，方向整个反掉。 【答案】 的取值范围是 。 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 【切入点】函数 有两个好用的性质：它是奇函数，且在 上单调递增。先把这两条认出来，不等式里的函数记号就能被脱掉，变成整式不等式。 【关键】利用这两条把不等式化简。由奇函数，，所以原不等式变成，。再由单调递增（增函数保持不等号方向），脱去外层的函数记号得到，，即 对一切实数 成立。 【关键】先看 的情形：不等式变成 ，恒成立，符合要求。再看 ：左边是二次式，要它对一切实数都小于零，必须开口向下且与 轴没有交点，即 且判别式为负。，解得 。与 合起来， 的取值范围是 ，即 。 【易错】脱去函数记号之前要把两条性质都交代清楚：把 写成 靠奇性，脱去外层的函数记号靠递增，缺一条推理就不成立。 要单独拿出来看，它既不属于 也不属于 ，按二次式处理会把它整个漏掉。 【答案】 的取值范围是 ，即 。 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两边都含 ，看不出参数关系时先把式子整理成一个便于判号的形状：移项、提公因式。整理后是两个一次型因式的乘积，恒成立要求这两个因式的零点重合。 【关键】。于是恒成立就是 对一切 成立。两个因式要不要同号，取决于它们各自的零点在哪里。 的零点是 ， 的零点是 。要让乘积处处非负，两个零点必须重合 ——否则在两个零点之间会出现一正一负的情形。所以 。下面讨论 的范围，按 的正负分。当 时， 是正数，，所以 ，这部分给出 。 【关键】当 时，。记 ，求导得 。所以 时 递减、 时 递增，最小值 ，这部分给出 。两部分合起来， 的取值范围是 。选 D。 【易错】「两个因式乘积处处非负，所以零点必须重合」这个结论只对一次型因式成立，用之前要确认两个因式都是一次的。讨论 时别忘了 要分正负： 时 虽正，除以负的 得到的是负值，不能并进正的那一支。 【答案】D 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数是 ，其中 ，定义域要求 。 藏在对数内部，分离不出来，只能整体讨论：设导数零点 ，把 用 表示，再把最小值化成只含 的式子。 【关键】求导。 是复合函数，内层 的导数是 ，所以 。再求一次导：，所以 在 上递增。它在 时趋于负无穷、在 时趋于正无穷，所以有唯一零点 ，最小值在 处取到。由 得 ，两边乘 整理成 。对这个式子取对数：。 【关键】把最小值算出来。，而 ，所以 ：。再把 代入：。要让最小值不小于零（），只需 ，解得 ，即 。最后由 反推 的范围。这个式子关于 递增， 时 ； 时 。所以 。选 A。 【易错】内层 的导数是 ，复合求导后 化简成 ，中间这一步别写成 。由最小值非负解出 只是中途结果，还要用 单调反推 的范围，停在半路就没有答案。 【答案】A 变式4-2（单选·★★★☆☆） 函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】式子是 ，两个函数值之和与常数比较。这类题的固定动作是先把常数吸收进函数：记 ，再看 的奇偶性与单调性。 【关键】记 。把 换成 ：。把两项相加，注意 （分子分母同乘 ）：。所以 是奇函数。再看单调性。 递增； 的导数等于 ，也递增。所以 在 上单调递增。 【关键】用这两条化简原不等式。把两个函数值都用 表示：，即 。由奇函数得 ，所以 。再由单调递增去掉 ：，即 对一切 成立。记 ，它的对称轴是 ，所以在 上最大值在离对称轴更远的左端点取到：。所以 ，即 的取值范围是 。选 B。 【易错】化简 要靠分子分母同乘 ，写成 才能凑出 。脱掉记号后是 恒成立，求的是右边函数在 上的最大值，不要习惯性去算最小值。 【答案】B 变式4-3（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是「区间内任意两个实数都满足」，而两边都是差的形式。固定动作是把差式看成新函数的增量：把双向不等式拆成两句，分别要求 与 在区间上单调递增。 【关键】原不等式变成 。把右边的绝对值展开成一个双向不等式：。把它拆成两半，各自移项整理：，。注意这两句话对区间内每一对 都成立，所以它们分别说明 与 都在 上单调递增。 【关键】先看 。，。要它递增，需 在 上恒成立，即 。右边这个函数递增，最大值在 处为 ，所以 。再看 。，。要它递增，需 在 上恒成立。记 ，，零点为 ，所以 在 处取最小值 ，从而 。两段合起来， 的取值范围是 。选 A。 【易错】含绝对值的双向不等式拆开后两句都要成立，只写一句会漏掉一半约束。两个单调条件一个给出 的下界、一个给出上界，方向别弄反；另外「导数不小于零」是区间上恒成立，要在整个区间上比较，不能只代一个端点。 【答案】A 存在性与双变量量词 一、存在性与恒成立的区别。恒成立要求区间里每一个 都满足，存在性只要求「能找到至少一个 」。正因为要求更弱，两句话翻译成最值的说法正好相反：恒成立取最不利的那一侧，存在性取最有利的那一侧。 二、量词的搭配。题目里出现两个变量时，要看清楚每个变量前面跟的是「任意」还是「存在」。常见的有「任意一个对任意一个」「任意一个对存在一个」「存在一个对任意一个」三种，它们各自对应不同的最值比较方式。读题时先把「任意」与「存在」这两个词圈出来，再确认它们各自管的是哪一个变量 —— 这一步判断错，后面取得的最值方向就反了，整题都会错。 三、标准动作分两步。第一步把两个变量的作用域分开，看清楚哪一句管哪个变量；第二步按量词把问题翻译成最值之间的不等关系，再分别求出各自的最值。翻译完之后，剩下的就是求最值这类常规动作了。 四、边界与易混。存在性问题的答案往往是「某个范围」而不是一个点，求完最值后还要检查这个最值能不能真的取到 ——取不到的话，不等式可能永远只是接近而不成立。另外「存在唯一的 」比「存在 」多一层限制，翻译时除了不等式还要加上单调性带来的唯一性。 例5（填空·★★★☆☆） 设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______. 【切入点】题目的量词是「对任意的 ，存在 」。先把量词翻译清楚：不管 取什么值，都要能找到某个 。而「能找到 」的极限情形，就是让 取到它的最小值。 【关键】所以条件等价于： 的最小值不超过 对一切 都成立，也就是 的最小值不超过 的最小值。先求 的最小值。求导，用乘积法则：。 【关键】令 得 ，显然 。而 在 上递增，所以零点是唯一的。因此 时导数为负、 时导数为正，最小值在 处：。再求 的最小值。求导得 ，所以最小值在 处，。由 得 ，即 的取值范围是 。 【易错】量词的顺序决定最值的方向：「对任意 、存在 」等价于 的最小值不超过 的最小值，两个都是最小值，别写成一个最小值、一个最大值。求 的最小值时要先说明 在 上递增、零点唯一，不能只代一个点就断言它是最小值点。 【答案】 的取值范围是 。 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【切入点】函数 是增函数，题目把它与它的导数 放在一起，用到了量词「任意 ，存在 」。固定动作是先把 的值域求出来，再把条件翻译成「 的值域包含于 的值域」。 【关键】先把 的值域求出来。由基本不等式，，所以 ，且 时取到 ， 时趋于正无穷。因此 的值域是 。再翻译条件。「对任意的 ，存在 使得 」的意思是： 在 上取到的每一个值，都要落在 的值域之内。 【关键】因为 递增，它在 上的值域是 。要求它包含于 ，只需左端点满足 ：，即 。两边乘正数 得 ，把 看成整体解二次不等式：（另一根 舍去）。所以 ， 的最小值就是 。选 C。 【易错】 的取等条件是 ，所以 的值域是 ，左端取得到， 的等号也就带得上。解 时要把 看成整体，另一根 因 而舍去。 【答案】C 例6（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目的量词是「对任意的 ，存在唯一的 」，比普通的「存在」多了一个「唯一」。它的意思是： 在定义域上取到的每一个值，都要能被 恰好一次取到。所以先把两个函数的值域求出来，再看包含关系。 【关键】先求 在 上的值域。求导得 。在 上，、，所以符号由 决定。于是 时 递减、 时 递增，最小值 。两端比较：，，较大者 。所以 的值域是 。 【关键】再看 。它是开口向下的抛物线，对称轴 ，所以在 上递增、在 上递减。两段的值域分别是 与 。要注意两段值域有重叠，重叠部分是 。落在重叠部分的那些值会被取到两次，不满足「唯一」。所以 的值域必须整个落在不重叠的那一部分，即 内。于是需要 ，即 且 ，解得 且 。还要排除端点重合的情形。 时 ， 取到最大值 时， 给出 ，即 ，有两个解 ，不唯一，舍去。所以 的取值范围是 。选 B。 【易错】「唯一」意味着 的值域不能有重叠：它在两段上的值域有公共部分 ，落在里面的值会被取到两次，所以 的值域必须整个落进不重叠的 。最后还要单独查端点 ，此时 有两个解，必须舍去。 【答案】B 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件说的是「存在 ，使得 与 之间的每一个 都满足 」，也就是函数在 左侧的一段上取负值。固定动作是先算 ，看它是不是恰好为零。 【关键】先算 ：。这说明 处函数值恰为零，所以「左侧一段为负」等价于函数在 附近由负变正，也就是 。求导。 用乘积法则，导数中的多项式部分为 ： 【关键】。把 代入：。要求 ，即 ，解得 。此时存在 左侧的一段（例如从 往回走一点）使 ，符合题意。所以 的取值范围是 。选 A。 【易错】先算出 是本题的钥匙，跳过它直接讨论会绕远。由「左侧一段为负」推出 ，依据是 加上函数连续； 或为负时都不成立。 【答案】A 变式6-2（多选·★★★☆☆） 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数是 ，条件里「只有一个整数 满足 」。固定动作是把含 的项单独留下，按 的正负分开讨论，再逐个算整数点的值。 【关键】 即 。这个式子要不要改变不等号方向，取决于 的正负，所以按 与 的大小分开讨论。当 时 ，两边除以它得 。这个函数随 增大而迅速变大（ 时已是 左右），所以 较小时这类 都不会满足。当 时 ，两边除以它要变号：。记 ，分别算几个整数点的值： 时 ； 时 （约为 ）； 时 （约为 ）。 【关键】要让只有 满足，需要 同时满足三个条件：（ 满足）、（ 不满足）、（ 不满足）。其中 约 最大，所以 要落在 内。另外还要确认 取正整数时都不满足： 时 ，要它非负需 ，而 ，满足。 时要求的 都大于 ，也满足。在选项里， 与 都落在 内，而 与 小于下界。选 BC。 【易错】两边除以 时，它在 与 上符号相反，不等号方向要跟着变，这是最容易滑手的一步。另外「只有一个整数满足」要同时卡住两边： 满足， 与 都不满足，少算一个点范围就错。 【答案】BC 例7（填空·★★★☆☆） 设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为______. 【切入点】函数是 （），定义域是 。题干里的方程是 ，直接展开无从下手；注意到 单调递增，这个方程能与 互换。 【关键】方程是 。对于单调递增的函数，这个方程等价于 ——因为把 反复作用，若 则 ，若 同理可得矛盾，所以只能 。（这一步的直观含义是「递增函数的不动点与它反函数的不动点重合」。）于是问题变成 在 上有解，即 ，整理得 。 【关键】所以要求 在 上的值域。用商法则求导：。分母恒正，所以 时 递减、 时 递增，最小值在 处：。再看两端。；，与 相等。所以 的取值范围是 。 【易错】把 换成 之前，必须先证明 单调递增，这一步是依据。 与 恰好相等，写值域时两端都取闭；若误以为最大值只出现在 附近，就会把区间写窄。 【答案】 的取值范围是 。 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】题目说存在正实数 ，使函数在 上是奇函数。定义域已经关于原点对称，接下来只需代入奇函数的定义式 。 【关键】 即 。先把第一项化简化。分子分母同乘 ：（分子分母同时变号）。 【关键】所以绝对值里是两个结构相似的式子。要判断它们的正负，先找分母 的零点 ，以及分子 的零点 。因为定义域避开了 ，取 就能让 保证 。在这个范围内，，所以两个绝对值都可以直接去掉：。于是 ，。选 B。 【易错】化简第一项时分子分母同乘 ，得到 ，注意它是「分子分母同时变号」的结果，符号不能漏。去绝对值要先保证 ，这一点靠取 实现，不交代 取得够大就不能直接去绝对值。 【答案】B 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【切入点】条件说的是「曲线 上存在一点 ，它关于 轴的对称点在曲线 上」。固定动作是把「存在」翻译成「某个函数能取到某个值」：设 的横坐标为 ，把对称点代入 的解析式，解出 。 【关键】设 的横坐标为 （由 的解析式知 ），则 ，它的对称点是 。 在 上，代入得 。把 解出来。移项得 ，两边乘 ：。 【关键】所以问题变成： 能取到哪些值 ——也就是求右边这个函数的值域，再取其最大值。记 ，求导：。括号里的 恒成立，所以符号由 决定。于是 时 递增、 时 递减，最大值在 处取到：。所以 的最大值为 。选 C。 【易错】对称点的横坐标是 ，代入 时要写成 ，那个负号容易丢。整理出 后要求的是它的最大值 ——题目问「存在」，能取到最大值就意味着所有不超过它的值都能取到。 【答案】C 变式7-3（单选·★★★☆☆） 设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【切入点】条件里的式子是 。先认清 永远是它的一个解，所以「存在唯一实数 」的意思是除它之外不能再有别解，即 只有 一个解 ——这正是 在该区间上严格单调。 【关键】这句话对每一个 都要成立，说明在 上函数值相等就意味着自变量相等 ——这正是 在该区间上严格单调的定义。所以问题化为：求使 在 上严格单调的 。先求导。 用乘积法则，导数为 ；再并上 与 的导数：。函数不可能单调递增： 时 ， 也随之趋于负无穷，所以总有导数小于零的地方。因此只能考虑单调递减，即要求 恒成立。 【关键】把参数分离出来： 即 再除以 ，也就是，。记 ，要求 不超过它的最小值。用商法则求导并整理：。分子的零点可以直接试出来： 时 。再看 的单调性：它的导数是 ，在 上为负、 上为正，本身在 处取到最小值 ，所以它在 时为正、在 上为负，唯一零点就是 。于是 在 处取最小值：。因此 ，即 。选 D。 【易错】把「唯一解」翻译成「严格单调」是关键一步，漏掉就会去硬解方程。判断单调方向时要注意 时 ，所以 不可能递增，只能要求 恒成立。分离参数后求的是 的最小值，方向别反。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $