函数与导数：第3讲 复合函数的零点 讲义-2027届高三数学一轮复习

复合函数的零点 函数与导数 · 专题篇 嵌套型 复合函数的零点，形式上是 ，看上去难，但解法只有三步，而且三步永远不变。 第一步 · 换元。 令 ，把复合方程降成关于 的普通方程。这一步之后， 就变成 。 第二步 · 解外层。 解出 的全部根 、……注意：这些 必须落在 的值域内，落在值域外的要舍去。 第三步 · 数交点。 对每一个合法的 ，数直线 与曲线 的交点个数 ——有几个交点，方程 就有几个根。最后把各 贡献的根数相加。 这一步为什么要配图，看下面这张就明白了 ——把水平线往曲线上一放，根的个数就是交点的个数： 图上 与曲线交于三点，所以 恰有 3 个根，三个根的横坐标就是 、、。★ 这一步不用解方程，只要看交点 —— 后面每道题都会用到这张图的做法。 为什么必须检验 的范围： 设 的值域为 → 只有 时 才有解 某段的值域为 → 直线 落在这一段高度时才有交点 超出值域 → 该支贡献 0 个根（最容易漏的一步） 数交点时的三种典型情形（以图象为准）： 在极小值之下 → 与曲线 0 个交点 恰好过极值点 → 与曲线 1 个交点（或 2 个，看是否在分段点） 在两极值之间 → 与曲线 2 个交点（每支各一个） 分段函数特别注意：每段单独看值域，水平线可能只与其中一段相交。数交点时一段一段数，不要整体看图。 ★ 一句话口诀：先解外层得 ，再看水平线切几刀。 三步法在四类题面上的统一写法： → 外层解 得 ，再数交点 → 外层解 得零点，再数交点 → 先移项成 → 先解外层得 ，再解 ★ 最后一行是内层带平移的变式： 里，外层解出的是 等于多少，所以回代时要记得把常数加回来。这一步错的人不少。 画图时的三个检查点： 曲线是否分段连续（分段点处左右极限要画清） 水平线 是否落在值域内（落在外面的直接判 0 个交点） 交点横坐标是否落在该段的定义域内（分段点多解出来的一半要舍） 例1（填空·★★★★☆） 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为__________. 【切入点】方程是 ，属于嵌套型。先把里层的 整体看作 ，问题就变成「 的 是多少」。 【关键】先解外层 。 是分段的：左段 时 ，令 得 （满足 ）；右段 时 ，令 得 （满足 ）。所以 可取 与 两个值。再把每个 代回去数交点 —— 这一步看下图： 图上两条水平线 与 ，与曲线共交于三个点（绿点），所以 的零点就是这三个点的横坐标。 【关键】逐个求出来： —— 左段 得 ；右段 得 。 —— 左段 得 （但 ，不在左段，舍去）；右段 得 。所以零点集合为 。 【易错】三处容易错：一是外层解出两个 后只做了一个（漏掉 ）；二是解 时把左段解出的 也算进来 —— 它虽然满足方程，但 不属于左段，必须舍去；三是分段函数求根时要注意分段点，本题 处 ，不是零点。 【答案】 变式1-1（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 有两解，先解外层 。 【关键】左段 时 ，由 知它恒大于 0，没有零点；右段 时 ，令 得 。所以只有 一个值。 【关键】再解 ： 右段 时 得 ，这一支恒有一个解；左段 时 ，解得 ，要让这个解合法（落在 内），需要 ，即 。 所以总根数是 1 个（右段）加 1 个（左段，当 时），共 2 个，即 。选 D。 【易错】关键认识是右段恒有一解，所以「总共 2 解」等价于「左段恰好 1 解」。不要一上来就分「左段 0/1/2 解」三种情况讨论 —— 指数函数单调，左段最多一个解，省掉一大半讨论。 【答案】D 例2（填空·★★★★☆） 函数，则函数的所有零点之和为___________. 【切入点】要求 的全部零点及其和，仍是嵌套型：先解外层 得 ，再解 。 【关键】解外层 。左段 时 ，得 ；右段 时 ，令 得 （满足 ）。所以 。 【关键】代回去数交点： 两条水平线 与 与曲线共交于三个点（绿点）。逐个求横坐标： —— 左段 ；右段 得 。 —— 左段 （但 ，不在左段，舍去）；右段 得 。所以零点为 、、，和为 。 【易错】这里最容易错的是段归属： 到底算左段还是右段？要按题干的分段条件判 —— 本题左段是 ，所以 属于右段，代右段得 ，正好是零点；而解 时左段给出的 就不合法（）。同一个数值在两处一取一舍，靠的就是分段条件。 【答案】13 变式2-1（单选·★★★★☆） 已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一题结构相同，但问的是「有且只有一个解」。 【关键】解外层 ：左段 时 ，无零点；右段 时 ，令 得 。 【关键】再解 ： 右段 时 得 ，恒有一解；左段 时 得 ，它合法的条件是 ，即 ，也就是 。所以要让总共只有一个解，必须让左段那支不存在，即 。结合 得 。选 C。 【易错】两题对照着看会更清楚： 时左段有一解（第一题要 2 解）； 时左段无解（第二题要 1 解）。同一个「左段何时有解」的问题，正着反着各考一次，把 这个条件翻译成参数范围是本题唯一的技巧点。 【答案】C 例3（单选·★★★★☆） 已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 恰有 6 个根，先弄清 的图象长什么样，再看水平线 在不同高度能切出几个交点。 【关键】 是偶函数， 时 ，所以图象是两个 V 形关于 轴对称。看图： 图上画了两条水平线作对比：上方那条（ 的位置）与曲线交 2 个点；下方那条（ 的位置）交 4 个点。再往下压到 时，交点会变成 3 个（两个 V 的顶点 + 原点处）。 【关键】现在反推：方程 要 6 个根，意味着外层方程 解出的每个 ，各自贡献的根数加起来等于 6。由图象， 有两个解 、（关于 轴对称），而每个 落在 内时与曲线交 4 个点 —— 两个 都落在 内时共 8 个，太多；要让总数为 6，需要一个 给 4 个、另一个给 2 个。由图象， 落在 给 4 个， 给 3 个， 给 2 个。所以要求 使两个根分别落在两个区域 —— 即 时，两根为 中的一个在 、另一个（）落在 内。选 B。 【易错】这类题必须先画图定出「 的高度 → 交点个数」的对照，再反推 的范围。凭直觉猜「 小一点交点就多」很容易错 —— 因为 时交点反而只有 3 个，不是最多。 【答案】B 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知函数，则方程的解有______个 【切入点】，先解外层 。这一题的难点在右段的值域。 【关键】左段 时 ，由 得 （是负数，合法）；右段 时 ，它的最大值是 （在 处取得），所以也能取到 ，设那个 为 。看图： 图上红线 与曲线交于两个点（绿点）：一个在左段（），一个在右段（）。 【关键】但交点个数不等于原方程的根数 —— 还要把每个 代回去再数一次。对 ：解 ，左段 无解；右段 在 上恰有一解 —— 所以 贡献 1 个根。对 ：解 ，左段 得 ，不在左段，舍去；右段要求 ，但该式最大值只有 ，无解 —— 所以 贡献 0 个根。 合计只有 个解。 【易错】两层都要数是本题的要点：外层解出两个 ，但其中一个 超出了内层的值域（），它一个根也给不出。只说「红线交两点所以两解」是错的。另外右段的最值 要自己求（求导），这是本题的隐藏考点。 【答案】1 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【切入点】这一题内层带了平移：。先把整个 看作 ，解外层 。 【关键】解 ：左段 时 ，得 或 （都合法）；右段 时 ，得 或 。所以 共四个值。 【关键】回代：，即 。四个 对应四条水平线，逐条数交点 —— 先看前两条： 与曲线交 4 个点：左段 得 ；右段 得 。 与曲线交 1 个点：左段判别式为负（无解），右段 得 。看图： 剩下两条线是 与 ，数值都在 2 以上。它们与曲线各交 3 个点：左段那支抛物线因开口向上、顶点在 ，水平线抬高后只与左支相交一次（右支的解落在 ，被舍去）；右段 则给出 2 个解。 合计 个根。选 D。 【易错】三层注意：一是外层解出四个 ，一个都不能漏；二是回代时要记得把常数加回来（ 不是 ）；三是每条水平线都要按段数，抛物线那段在高处只贡献一个交点，另解算出来落在 但抛物线只在 上定义，必须舍去。 【答案】D 二次型 二次型指的是方程里出现 ，形式上像关于 的一元二次方程。 表面形态： → 最标准的形式 → 二次项系数不为 1 → 含参，多半能因式分解 → 系数干净，直接分解 解法仍是那三步，只是第二步的解外层换成了「解一元二次方程」： ① 换元 → 得到 ② 优先因式分解，直接读出两根 、；分解不了再用求根公式 ③ 两个 分别数交点，根数相加 ★ 为什么这类题比纯嵌套好做：外层是一元二次方程，可以用因式分解、判别式、韦达定理，比讨论 灵活得多。 换元后得到的是两个 ，所以要把上面那一步做两遍、再把根数加起来： 图上 与曲线交于 3 点、 交于 2 点，所以原方程共 个根。★ 两根各数一次，再加起来 —— 这是二次型与前一类唯一的不同。 因式分解的几个常见套路： → → 两根 与 → → 两根 与 → 分解不了，用求根公式 → → 两根 与 ★ 先试因式分解（看常数项与一次项系数能不能拼出来），拼不出来再上公式 —— 这是省时间的关键。 三处最容易错的地方： 两根都要检验是否在值域内 → 不在的那一支贡献 0 个根，别忘减 两根可能相等 → 此时只数一次，不能重复计 方程里若带 → 先去掉绝对值再换元，否则两根的关系会看错 ★ 一句话口诀：换元解两次，两数交点相加。 含绝对值的一类（考得不少）： → 先移项整理成标准二次式 → 换元后是关于 的二次方程 处理办法 → 令 ，先解 ，再拆成 两支分别数交点 ★ 带绝对值时根的个数往往成对翻倍：一个 拆成两个 ，所以方程根的个数会跳档。这正是这类题设「恰有 个根」的用意。 含参二次方程的因式分解速查： 常数项是两数之积、一次项系数是两数之和 → 直接分解 → → 分不出来 → 用求根公式，同时算判别式判断两根是否相等 例4（单选·★★★★☆） 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【切入点】 的零点，就是方程 的解 代回去之后的根。先换元。 【关键】令 ，解 ：分解得 ，所以 或 。再对这两个 各数一次交点： 图上红虚线与绿虚线各与曲线相交，把点数加总即为零点个数。 【关键】逐条数： —— 左段 得 （在 内，合法）1 个；右段 有两个解（该段先减后增，从 处的 降到 处的最小值 ，再升到 ，过程中两次穿过 ）2 个，共 3 个。 —— 左段 得 ，但 不属于左段（左段是 ），舍去；右段 即 ，得 与 ，共 2 个。合计 个。选 C。 【易错】两个关键点：一是右段的单调性要先判断（求导得 ， 处取极小值 ），否则说不出 为什么有两个解；二是 的段归属：题干写的是左段 、右段 ，所以 属于右段，，正好是零点。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一题同一个函数，只是方程参数不同：。两题对照着做，能看出这类题的通用套路。 【关键】先分解：，所以两根是 与 （这一题能分解，比上一题省力）。再看图，函数图象与上一题完全相同： 【关键】由图象： 落在 内，给 4 个根；要总数为 7，需要 再给 3 个。而由图上统计， 时给 3 个根 —— 注意 时左段给 2 个（ 与 处都等于 3）、右段 2 个，共 4 个； 时左段 1 个、右段 2 个，共 3 个； 时左段 1 个（顶点）、右段 2 个，共 3 个。所以 。选 D。 【易错】与上一题对照：上一题的两根都不能分解所以要设 用端点符号；这一题能分解，直接读出两根再查表。另外 这个端点要特别小心 —— 它给 4 个根（不是 3 个），所以左端点取不取等号要看统计结果。 【答案】D 例5（单选·★★★★☆） 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是二次型，先试着分解 —— 这一题正好能分。 【关键】分解：，所以 或 。先弄清 的图象（左段是 时的 ，从 的 单调降到 的 ；右段是 时的 ，在 处取最大值 ）： 【关键】数两根各自的贡献： —— 左段 得 ，1 个；右段 无解（该段最大值只有 ），0 个。共 1 个。 —— 要凑够 4 个根，它得贡献 3 个。而由图象， 落在 内时左段 1 个、右段 2 个，正好 3 个。所以 ，解得 。选 B。 【易错】三个要点：一是先分解再讨论（），比套求根公式快得多；二是要记牢右段的最大值 ，它决定了右段能给出 0、1、2 个根；三是 的取值范围两端都是开区间（ 时只给 1 个根、 时只给 2 个根，都凑不满 3 个）。 【答案】B 变式5-1（单选·★★★★★） 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】，先试分解。 【关键】分解：，所以 或 （ 时）。 的图象：右段 时 ，顶点在 ；左段 时 ，在 处触底为 0： 【关键】由图象统计： 时，右段给 1 个（顶点）、左段给 1 个（），共 2 个； 时，右段给 2 个、左段给 2 个，共 4 个。 落在 内，给 4 个；要总数 7，需要 给 3 个 —— 但由图象，各高度只能给 2 个或 4 个，给不出 3 个。所以换一条路：让 与 都在 内、但其中一根恰好使某段退化为 1 个。仔细看： 时右段恒 2 个；左段 在 时恒 2 个（对称的两支），合计 4 个。要凑 7 只能在分段点上做文章 —— 当 恰为分段点处的函数值时，某一支的根会与另一支重合，少算一个。由题干数据， 时恰好满足。选 D。 【易错】这一题的关键认识是「 的高度 → 根数」并非只有 2、4 两档：当水平线恰好经过分段点（ 处）时，左右两段会共用同一个根，总数会比预期少一个。讨论含参问题时，分段点处的取值必须单独验一遍。 【答案】D 例6（单选·★★★★★） 已知函数若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】，这一题不能因式分解，但要先看清 的图象再讨论根数。 【关键】 的图象：左段 时是 ，顶点在 ， 处取 3；右段 时是 ，在 处触底为 0，向两侧升到 。 【关键】设两根为 、（由韦达定理 ，）。由图象统计各高度贡献的根数： 时，左段给 2 个（抛物线左右两支各一）、右段给 2 个，共 4 个； 时左段只给 1 个（顶点），右段给 2 个，共 3 个； 时左段给 1 个、右段给 2 个，共 3 个； 时左段 0 个、右段 2 个，共 2 个。 要求总根数为 6，只能是 4+2 的组合：即一根落在 、另一根落在 。设 ，由 、、 解得 ；再验证 时（此时 ，一根恰为 4）也满足 6 个根。所以 。选 A。 【易错】本题的要害是先画图统计「 的高度 → 根数」，再反推。端点处的取值要单独看一看： 时左段只给 1 个根，这会改变总数，所以 要作为特例补进来。 【答案】A 变式6-1（单选·★★★★★） 已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是偶函数， 时的表达式还分段；方程 先分解。 【关键】分解：，两根为 与 。 的图象（偶函数，右半如图，左半镜像）： 【关键】由图象统计右半段的值域： 时 ，值域 ； 时 ，值域 。两段合起来， 在 上的值域是 ，但 时右半有 2 个根、 时右半只有 1 个根（ 那段够不到 ）。再乘上偶函数左半的镜像，根数翻倍。要求总数 4，即右半给 2 个 —— 对应 。 给 1 个（右半）， 要再给 1 个：需要 ，且要排除 （两根重合只算一次）。另外 时 恰在分段点，右半给 2 个，总数为 4，也要补进来。所以 。选 D。 【易错】本题三处要点：一是偶函数把根数翻倍，统计右半即可；二是 时两根重合，只能算一次，必须从范围里剔除；三是 使水平线恰好过分段点，根数会跳变，要单独补。 【答案】D 变式7-1（单选·★★★★☆） 已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 是奇函数、 分段给出，方程 ，先分解。 【关键】分解：，两根为 与 。 的图象： 时 （），值域 ； 时每往后 3 个单位函数值减半，值域逐步压缩。奇函数则左半是右半关于原点的对称： 【关键】 落在 内，由图象它给 2 个根；要总数为 4，需要 也贡献 2 个。由图象， 时右半给 2 个、左半给 2 个，共 4 个 —— 太多；要只给 2 个，需 或落在左半独有的位置。结合选项逐一验证，只有 使总数为 4。选 B。 【易错】奇函数的情形与偶函数不同：偶函数是「左半镜像」所以根数翻倍；奇函数是关于原点对称，正负值各自成对，根数的规律要重新统计。另外本题 后函数值不断减半，值域越压越窄，水平线放得稍高就没有交点 —— 这是容易被忽略的一支。 【答案】B 含参的根数讨论 含参根数题问的是：参数取什么值时，方程恰有 个根。它与前两类的区别不在方法，而在最后一步是反向的 ——前两类是「已知 ，数根数」，这一类是「已知根数，反推 的位置，再定参数」。 标准流程： ① 换元 ，把方程化成只含 与参数的式子 ② 把参数分离出来（能分离的一律分离），得到 的取值或取值范围 ③ 画出 的图象，数每个 贡献几个根，列成表 ④ 由「总根数为 」反推 的落点区间，再代回求参数范围 第三步是这类题的关键 —— 先列表，再反推： 落在极小值以下 → 贡献 0 个根 恰为极值 → 贡献 1 个根 在两个极值之间 → 贡献 2 个根（每支一个） 落在某段的端点 → 要单独讨论开闭，端点的归属会改变根数 ★ 把「 的高度」与「贡献的根数」列成一张对照表，题目要求的根数一减，就知道 该落在哪一档。 这张图把「 的高度 → 根数」的对应关系画了出来： 同一个函数，水平线越高交点越少： 太高（0 个交点）、 在最上面那条极值之下（3 个交点）、 更低（2 个交点）。★ 含参题就是问「要让曲线被切出 个交点，水平线该画在多高」，反推出 的范围，再代回求参数。 两类常见的反向推理： 两个 相加凑根数 → 如「恰有 6 个根」，可能是 、也可能是 一个 自己给根数 → 如「恰有 2 个根」，就是某个 恰好贡献 2 个 最容易错的三处： 把参数的端点值漏掉 → 参数取端点时根数往往会跳变，要单独验 两根落在同一档却按两档算 → 要看清题目要求的是「总根数」而不是「不同 的个数」 讨论完忘记回代检验 → 参数解出来后要回到原方程确认根数确实等于 ★ 一句话口诀：先列表，再反推；端点必验。 例7（单选·★★★★☆） 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】先把方程整理成关于 的二次式： 移项得 。 【关键】分解：，所以 或 。两根相差 2，这是本题的特殊结构。再看 的图象： 时 单调递增、值域为 ； 时 ，在 处触底为 0： 【关键】由图象统计各高度贡献的根数： 时两段各给 1 个，共 2 个； 或 时有一支恰好取到端点，共 3 个； 时右侧给 1 个、左侧给 2 个，共 3 个。要总数为 5，只能是 2+3 的组合：一根大于 1、另一根落在 。两根相差 2，所以 且 ，解得 。选 C。 【易错】本题的结构是解题钥匙：两根恒相差 2，所以只要定住一根的位置，另一根自动落位。另外 与 各给几个根，必须从图上数准，这也是每题配图的意义。 【答案】C 变式7-1（单选·★★★★★） 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 里有绝对值，先整理成标准二次式：（把 写成 ）。 【关键】令 ，解 ：分解得 ，所以 或 （需 ）。 的图象（在 处有竖直渐近线）： 【关键】由图象， 的值域是 ，且每个非零高度恰给 1 个根（两支单调）。 要 4 个解，需 ：此时 各给 1 个根、乘 2 得 2 个 —— 不够 4。要让总数为 4，需要两个 都产生解并且每个 给 2 个根 —— 这要求 的图象在两个高度上都各有两个交点，由 的单调性，只有在 落在极大值区间内才成立。计算得 在 处取极大值 ，故需 且 之类条件，解得 。选 A。 【易错】带绝对值的二次方程，两根都是 ，所以每根都要拆成 两支，根的个数会翻倍。这正是这类题设「有且仅有 4 个实根」的用意： 需落在使两支都有解的范围。 【答案】A 例8（单选·★★★★☆） 已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 不能直接分解，用韦达定理找两根之和与积的关系：，。两根之积与和正好互补，这是本题的特殊结构。 【关键】 是偶函数，右半段为 与 ，值域是 （开区间， 时趋近 1， 时取 3）： 【关键】由图象统计： 时右半给 2 个根，乘上偶函数的镜像共 4 个； 时右半只给 1 个（ 处），共 2 个； 或 时右半给 1 个或 0 个，共 2 个或 0 个。要总数为 8，需两根都落在 内 —— 即 。由韦达定理转化为对称轴与端点条件：，对称轴 、、，解得 。选 A。 【易错】这一题的要害是值域是开区间： 时根趋于无穷远，所以 处不给根，讨论时端点取开。另外两根都要落在同一区间内，条件要写全（对称轴 + 两个端点值）。 【答案】A 变式8-1（填空·★★★★★） 已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 【切入点】，先把绝对值化开 —— 直接按 与 的大小分情况： 时若 则第一项大，得 ；若 则第二项大，得 。 时由对称性（偶函数）同理。合起来 的图象是： 【关键】由化简， 是偶函数，右半为 与 ，值域是 ，且在 处取最大值 2。方程 ，令 （因为 ），得 。由图象， 时右半给 2 个根、左半也 2 个，共 4 个； 时右半 1 个、左半 1 个，共 2 个。要总数为 6，需两根都落在 内 —— 由韦达定理设两根 ，需 、 且两根都小于 2，解得 。 【易错】本题两个要点：一是先化简绝对值（ 其实是个很简单的分段函数），不化简没法画图；二是 所以 ，绝对值可以直接去掉 —— 但如果没发现这一点，会白白多讨论一轮。 【答案】 例9（单选·★★★★☆） 设，若关于的方程有三个不同的实数解、、，则等于（ ） A. B. C. D. 【切入点】、，方程 有三个不同的解。先看图象 —— 它的形状很特殊（两支双曲线 + 一个孤立点）： 【关键】由图象统计： 时与两支各交 1 点，共 2 个根； 时与右支交于 、与左支交于 ，再加上孤立点 ，共 3 个根； 时两支各 1 个，共 2 个。既然方程恰有 3 个解，必然是一根为 1、另一根落在 内。由韦达定理 、，得 ，三个根分别是 、、 —— 因为 对应的三个根固定，而 对应的两个根满足 ，两个根关于 对称。由题设恰有三解且 即 （或对称的另一组），故 。选 A。 【易错】本题有个陷阱： 是孤立点，它不是任何一支上的点。所以 时能给出 3 个根，而不是通常的 2 个。这类「额外定义一点」的函数要特别留意，它常常是凑根数的关键。 【答案】A 变式9-1（单选·★★★★★） 已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 与 关于 对称，所以 是 的反函数：。于是 。 【关键】方程 在 上有两解。注意到 的根也是它的解（因为 时 ）。 的图象（ 时单调递增）： 【关键】由 单调递增可知 等价于 ，即 ，化简得 。这就是「水平线 与曲线 在 上有两个交点」。该函数在 上递减、在 上递增（求导可知），端点值分别为 、、，最小值在 处取到 。要两交点， 需大于最小值、不大于较小的端点值：。选 B。 【易错】核心思路是「单调函数把嵌套方程降成一次方程」： 递增时 与 等价。然后转化为「水平线 与曲线有两个交点」的标准问题，再求该曲线的单调性与端点值。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 复合函数的零点 函数与导数 · 专题篇 嵌套型 复合函数的零点，形式上是 ，看上去难，但解法只有三步，而且三步永远不变。 第一步 · 换元。 令 ，把复合方程降成关于 的普通方程。这一步之后， 就变成 。 第二步 · 解外层。 解出 的全部根 、……注意：这些 必须落在 的值域内，落在值域外的要舍去。 第三步 · 数交点。 对每一个合法的 ，数直线 与曲线 的交点个数 ——有几个交点，方程 就有几个根。最后把各 贡献的根数相加。 这一步为什么要配图，看下面这张就明白了 ——把水平线往曲线上一放，根的个数就是交点的个数： 图上 与曲线交于三点，所以 恰有 3 个根，三个根的横坐标就是 、、。★ 这一步不用解方程，只要看交点 —— 后面每道题都会用到这张图的做法。 为什么必须检验 的范围： 设 的值域为 → 只有 时 才有解 某段的值域为 → 直线 落在这一段高度时才有交点 超出值域 → 该支贡献 0 个根（最容易漏的一步） 数交点时的三种典型情形（以图象为准）： 在极小值之下 → 与曲线 0 个交点 恰好过极值点 → 与曲线 1 个交点（或 2 个，看是否在分段点） 在两极值之间 → 与曲线 2 个交点（每支各一个） 分段函数特别注意：每段单独看值域，水平线可能只与其中一段相交。数交点时一段一段数，不要整体看图。 ★ 一句话口诀：先解外层得 ，再看水平线切几刀。 三步法在四类题面上的统一写法： → 外层解 得 ，再数交点 → 外层解 得零点，再数交点 → 先移项成 → 先解外层得 ，再解 ★ 最后一行是内层带平移的变式： 里，外层解出的是 等于多少，所以回代时要记得把常数加回来。这一步错的人不少。 画图时的三个检查点： 曲线是否分段连续（分段点处左右极限要画清） 水平线 是否落在值域内（落在外面的直接判 0 个交点） 交点横坐标是否落在该段的定义域内（分段点多解出来的一半要舍） 例1（填空·★★★★☆） 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为__________. 变式1-1（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例2（填空·★★★★☆） 函数，则函数的所有零点之和为___________. 变式2-1（单选·★★★★☆） 已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★★☆） 已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知函数，则方程的解有______个 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二次型 二次型指的是方程里出现 ，形式上像关于 的一元二次方程。 表面形态： → 最标准的形式 → 二次项系数不为 1 → 含参，多半能因式分解 → 系数干净，直接分解 解法仍是那三步，只是第二步的解外层换成了「解一元二次方程」： ① 换元 → 得到 ② 优先因式分解，直接读出两根 、；分解不了再用求根公式 ③ 两个 分别数交点，根数相加 ★ 为什么这类题比纯嵌套好做：外层是一元二次方程，可以用因式分解、判别式、韦达定理，比讨论 灵活得多。 换元后得到的是两个 ，所以要把上面那一步做两遍、再把根数加起来： 图上 与曲线交于 3 点、 交于 2 点，所以原方程共 个根。★ 两根各数一次，再加起来 —— 这是二次型与前一类唯一的不同。 因式分解的几个常见套路： → → 两根 与 → → 两根 与 → 分解不了，用求根公式 → → 两根 与 ★ 先试因式分解（看常数项与一次项系数能不能拼出来），拼不出来再上公式 —— 这是省时间的关键。 三处最容易错的地方： 两根都要检验是否在值域内 → 不在的那一支贡献 0 个根，别忘减 两根可能相等 → 此时只数一次，不能重复计 方程里若带 → 先去掉绝对值再换元，否则两根的关系会看错 ★ 一句话口诀：换元解两次，两数交点相加。 含绝对值的一类（考得不少）： → 先移项整理成标准二次式 → 换元后是关于 的二次方程 处理办法 → 令 ，先解 ，再拆成 两支分别数交点 ★ 带绝对值时根的个数往往成对翻倍：一个 拆成两个 ，所以方程根的个数会跳档。这正是这类题设「恰有 个根」的用意。 含参二次方程的因式分解速查： 常数项是两数之积、一次项系数是两数之和 → 直接分解 → → 分不出来 → 用求根公式，同时算判别式判断两根是否相等 例4（单选·★★★★☆） 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★★★☆） 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★★★） 已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★★★） 已知函数若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★★★） 已知为偶函数，当时，，若关于的方程恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★★☆） 已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 含参的根数讨论 含参根数题问的是：参数取什么值时，方程恰有 个根。它与前两类的区别不在方法，而在最后一步是反向的 ——前两类是「已知 ，数根数」，这一类是「已知根数，反推 的位置，再定参数」。 标准流程： ① 换元 ，把方程化成只含 与参数的式子 ② 把参数分离出来（能分离的一律分离），得到 的取值或取值范围 ③ 画出 的图象，数每个 贡献几个根，列成表 ④ 由「总根数为 」反推 的落点区间，再代回求参数范围 第三步是这类题的关键 —— 先列表，再反推： 落在极小值以下 → 贡献 0 个根 恰为极值 → 贡献 1 个根 在两个极值之间 → 贡献 2 个根（每支一个） 落在某段的端点 → 要单独讨论开闭，端点的归属会改变根数 ★ 把「 的高度」与「贡献的根数」列成一张对照表，题目要求的根数一减，就知道 该落在哪一档。 这张图把「 的高度 → 根数」的对应关系画了出来： 同一个函数，水平线越高交点越少： 太高（0 个交点）、 在最上面那条极值之下（3 个交点）、 更低（2 个交点）。★ 含参题就是问「要让曲线被切出 个交点，水平线该画在多高」，反推出 的范围，再代回求参数。 两类常见的反向推理： 两个 相加凑根数 → 如「恰有 6 个根」，可能是 、也可能是 一个 自己给根数 → 如「恰有 2 个根」，就是某个 恰好贡献 2 个 最容易错的三处： 把参数的端点值漏掉 → 参数取端点时根数往往会跳变，要单独验 两根落在同一档却按两档算 → 要看清题目要求的是「总根数」而不是「不同 的个数」 讨论完忘记回代检验 → 参数解出来后要回到原方程确认根数确实等于 ★ 一句话口诀：先列表，再反推；端点必验。 例7（单选·★★★★☆） 已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★★★） 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★★☆） 已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式8-1（填空·★★★★★） 已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 例9（单选·★★★★☆） 设，若关于的方程有三个不同的实数解、、，则等于（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★★★） 已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $