第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答. 【详解】正方体，点是上底面的中心，如图， 则， 不共面，又，于是得， 所以. 故选：C 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（    ） A．60° B．45° C．30° D．90° 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，，利用向量法即可求出. 【详解】如图所示：以为坐标原点，以，，为单位向量建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 故，， 故， 由异面直线夹角的范围是，故直线与所成角的大小为. 故选：C. 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 5．（25-26高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 6．（26-27高二上·重庆·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 7．（2026·北京朝阳·一模）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（    ） A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点 C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点 【答案】B 【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，的中点， ，，则， 设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中， 因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得， 所以当时，取得最小值，此时为线段的中点， 由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题. 8．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（    ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点D为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为该正方体的棱长为1，分别为，的中点， 所以，， 所以，设，则， 因为， 所以， 即，所以， 取，当时，；当时，； 取， 连接，，，则，， 则， ， 所以，， 又，且平面，平面， 所以平面，所以当点平面时， 又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为正三角形，③错误； 点P不可能是棱的中点，①错误； 正三角形边长为，点P轨迹的长度为，②错误； 正三角形的面积为，④正确. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C． D．在方向上的投影数量为 【答案】ABD 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模的运算及向量的数量积和向量的投影分别判断即可. 【详解】已知空间向量，， 对于：，故正确； 对于：由于，，所以， ，，则， 在方向上的投影向量为，故正确； 对于：空间向量，，使, ,则不存在实数，，故错误； 对于：在方向上的投影数量为，故正确． 故选：． 10．（25-26高二上·广东佛山·期中）正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点.则正确的是(    ) A． B．存在实数，使得 C．在正方体各面对角线中与直线所成的角为60°的有8条 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 【答案】BC 【分析】对于选项A：利用线面垂直判定定理和线面垂直性质即可判断；选项B：将问题转化为线面平行，然后结合已知条件证明平面平面AEF，然后利用面面平行的性质证明即可；选项C：根据正方体结构特征即可判断；选项D：将问题转化成点C与点G的中点在平面AEF上，然后利用中位线的性质即可判断. 【详解】对于选项A：因为，故等价于， 若，因为且，所以平面AEF， 所以，所以，此时不成立，所以A错误； 对于选项B：若存在实数，使得等价于直线与平面AEF平行， 如图所示，取的中点Q，连接，GQ， 由条件可知：，，且，， 所以平面平面AEF， 又因为平面，所以平面AEF，故B正确； 对于选项C：由正方体的性质得，过或D的面对角线与直线所成的角都为60°，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故C正确； 对于选项D：假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分， 则平面AEF必过CG的中点，由三角形中位线性质可知，，这与EF与相交矛盾，则假设不成立，故D错误. 故选：BC. 11．（26-27高二·全国·课后作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与AC所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于A， ， 所以，选项A错误； 对于B： ， 所以，即，选项B正确； 对于C：向量 与 的夹角是，所以向量 与的夹角也是，选项C错误； 对于D：， 得， ， 同理，可得 ， 所以，所以选项D错误． 故选：ACD． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正四棱柱的高为，标出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于的方程，至少有一个解， 即，整理得，解得， 因为，所以，所以棱长的最大值为. 故答案为： 14．（25-26高二上·福建三明·期中）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】由题设可得构建为原点的空间直角坐标系，根据已知标注相关点的坐标，设，，，可得的坐标，进而求面与面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示得到关于的表达式，由二次函数的性质即可求其最大值. 【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则≌， ∴，设，则， ∵为的中点，则， ∴，即， 以为原点，如图建立空间直角坐标系，则、、、， 设，，，则，而，， ∴、、， ∴， ∴、、、， 设面的一个法向量，则， 即，令，则， 设面的一个法向量 ，则，即， 令，则， 面与面所成锐二面角的平面角为，则， 当时 ，即的最大值为. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·山东·期中）已知，，，，，求： (1)的值； (2)与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得，， 所以，， 又，则，即，解得， 于是，则. （2）由（1）得，， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 16．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)用，，表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由空间向量基本定理可得答案； （2）作出辅助线，由面面垂直得线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，由勾股定理和余弦定理求出各边长，得到答案 【详解】（1）如图，连接． 因为为的中点，为的三等分点（靠近点）， 所以，． 所以 ． （2）因为平面，，平面，所以，． 如图，过点作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 如图，过点作，交于点，连接， 则平面，即为直线与平面所成的角． 在中，， 在中，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得， 所以，所以． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 17．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形，所以． 因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面． 又平面，所以， 又，所以，且平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以平面⊥平面． (2) 【分析】（1）由条件得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为四边形为矩形，四边形为梯形，，所以． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴， 又平面．过点作的平行线为轴，如图： 因为，，，所以， 在梯形中，取的中点，连接， 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以四边形为矩形，则， 所以， 所以点， 则， 设平面的一个法向量为， 则 令，得，所以． 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以． 所以， 由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为． 18．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)由四边形为菱形，， 得为正三角形，因为为的中点， 所以，又，因此， 因为平面，平面，所以， 而平面，平面且， 所以平面，又平面， 所以． (2) 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明； （2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论. 【详解】（1）略； （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系： 由，结合菱形性质得，，，， 因为在上，故可设，则， 取底面的法向量为， 因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值， 所以， 代入，，可得， 所以， 化简解得，即为中点，点的坐标为， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 因此 ， 观察图象可得二面角为锐二面角，故， 所以二面角的余弦值为. 19．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． (2)在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）略. （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=．若点M为PD中点，则直线CM与PB所成角的大小为（    ） A．60° B．45° C．30° D．90° 4．（25-26高二下·江苏徐州·期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·重庆·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京朝阳·一模）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（    ） A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点 C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点 8．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，下列说法正确的个数（    ） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 A．0 B．1 C．2 D．3 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C． D．在方向上的投影数量为 10．（25-26高二上·广东佛山·期中）正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点.则正确的是(    ) A． B．存在实数，使得 C．在正方体各面对角线中与直线所成的角为60°的有8条 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 11．（26-27高二·全国·课后作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与AC所成角的余弦值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________． 13．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为______． 14．（25-26高二上·福建三明·期中）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二上·山东·期中）已知，，，，，求： (1)的值； (2)与夹角的余弦值. 16．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)用，，表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 18．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上. (1)证明：； (2)若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值. 19．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $