第一章空间向量与立体几何单元检测（能力提升卷 02）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何能力提升单元卷，涵盖向量运算、共面判定、投影向量、距离计算及线面关系证明等核心知识，通过正方体、正三棱锥等几何体情境，考查直观想象与逻辑推理素养，适配单元复习综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量定义、共面条件、投影向量、点到线距离|基础概念辨析与空间向量运算结合，如第3题考查投影向量坐标| |多选题|3题|向量共线垂直、线面平行、体积定值|多选项设计体现思维严谨性，如第11题结合动点探究体积与线面角| |填空题|3题|共线向量参数、线段定比分点、线面角范围|动态问题考查空间想象，如第14题探究正三棱柱中动线段线面角取值| |解答题|5题|面面垂直证明、存在性问题、二面角计算|综合应用向量法解决几何问题，如第17题三问递进，考查线面平行、面面垂直及线面角正弦值|

人教A版高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元检测 （能力提升卷02） 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 2．已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 3．已知，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 5．已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．线段上存在点，使平面 C．线段上存在点，使平面平面 D．设直线与平面所成角为，则的最大值为 三、填空题 12．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为______. 13．如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则______． 14．如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 四、解答题 15．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：．    17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 18．如图，在四棱锥中，，，，，E是棱的中点，且平面，点F是棱上的一点. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长 19．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若与所成角为，求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版选择性必修第一册第一章单元检测能力提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D B A D D AD AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据向量的相关定义即可求解ABC,根据向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 2．D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 3．C 【分析】根据投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在上的投影向量为：， 故选：C 4．D 【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由可知, 则与同方向的单位向量为， 又 , , 故点到直线的距离为. 故选：D. 5．B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 6．A 【分析】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【详解】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 7．D 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 8．D 【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可. 【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且， 等边△的高为， 在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示， 则，且， 所以，，， 若为面PBC的法向量，则，令，则， 又平面PBC，则且k为实数，，故. 故选：D 9．AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 10．AC 【分析】求出向量的模判断A；利用向量的坐标运算，再结合向量共线、垂直的坐标表示判断BC；求出投影向量的坐标判断D. 【详解】空间向量， 对于A，，，A正确； 对于B，，而，则向量与不共线，B错误； 对于C，，， 因此，C正确； 对于D，，因此在上的投影向量为，D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确． 对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，， 所以 ，，， 设（），则 所以， 平面即 解之得 当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确 对于C，设平面的法向量 则，取 得 设平面 的法向量 , 则 取 , 得 , 平面平面 设 , 即 , 解得 ，，不合题意 线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误． 对于D，平面的法向量为 则 因为 所以 所以的最大值为．故D正确． 故选：ABD 12．－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 13．/. 【分析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出的坐标，由此得到关于的方程组，解出方程组则结果可知. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为：##. 14． 【分析】取中点，建立空间直角坐标系，引入参数，设，且，得出，得出平面的一个法向量为，通过换元法，进行求解． 【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，且， 因为为的中点， 故，于是， 平面的一个法向量为， ， 设，则，， 故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：． 15．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 16．证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以．    17．(1) 取中点，连接，由为中点，为中点，得， 又，则，因此四边形为平行四边形， 于是，而平面平面， 所以平面. (2) 过作于点，连接，由，得≌， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. (3). 【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得. （2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 所以与平面所成角的正弦值是. 18．(1)证明：取的中点O，连接，，， 因为E是棱的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以. 在中，，， 又O是的中点，所以，， 又易得，，所以， 所以，所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)或. 【分析】（1）取的中点O，连接，，.欲证平面平面，需证平面中一条直线垂直平面，如平面，欲证线面垂直，需证直线垂直于平面内两条相交直线：，.再根据条件，结合勾股定理的逆定理可以证明. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，先根据直线和平面所成的角确定点的坐标，再求的长. 【详解】（1）略 （2）因为，点O是的中点，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 系，如图所示. 所以，，，，， 设， 所以，. 设平面的一个法向量， 所以 令，解得，， 所以平面的一个法向量， 又，设直线与平面所成角的大小为， 所以， 解得或，所以或. 19．(1) ∵，是的中点，∴，              又，，、平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； (2) 【分析】（1）根据，为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，由求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵、、，∴， 以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，    连接， ∵、，∴四边形为平行四边形， ∴，∴是异面直线与所成的角，则， ∴，则、、、， ∴，                设平面的法向量为，又、， ∴，令，则、， ∴，又平面的法向量，                                                设二面角的平面角为，经观察为钝角， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $