精品解析：黑龙江省哈尔滨市呼兰区2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2025－2026学年度上学期九年级第三次月考试题数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列运算中，正确的是（　　） A. x•x2＝x3 B. （xy2）2＝x2y2 C. 3x6÷x3＝3x2 D. 4x﹣3x＝1 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，合并同类项，逐项计算即可求解． 【详解】解：A、 ，故本选项符合题意； B、 ，故本选项不符合题意； C、 ，故本选项不符合题意； D、 ，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的定义（绕某点旋转后与原图形重合）逐一判断选项． 【详解】解：选项A：不是中心对称图形； 选项B：不是中心对称图形； 选项C：不是中心对称图形； 选项D：是中心对称图形． 故选：D． 3. 图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可． 【详解】正面看，其主视图为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是 从正面看所得到的图形，左视图时从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 A. m＜﹣2 B. m＜0 C. m＞﹣2 D. m＞0 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得：m＜﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 5. 把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，等腰三角形的性质，关键是熟练运用性质解决问题． 由折叠可得，，根据勾股定理可得的长，由可得，则，进而得到． 【详解】由折叠可知，， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，是的外接圆，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角的定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得优弧的度数为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴优弧的度数为， ∴劣弧的度数为，即， ∵， ∴； 故选：A． 7. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故选：C． 8. 如图，中，，，，沿的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则线段的长为（　　） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，然后得，再由折叠可知，结合，可得，求出，然后证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵由折叠可知：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 10. 将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的运用． 用科学记数法一般形式为，由可得，小数点向左移动了8位，得到，由此确定和的值． 【详解】∵, ∴得到 ∵小数点向左移动了8位， ∴得到， 故答案为：． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此求解分母不等于零即可． 【详解】函数为分式形式，分母，解得． 故答案为：． 12. 计算﹣2的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】原式=2－=. 考点：二次根式的计算. 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式2x＋2＜0，得：x＜−1， 解不等式−x＋13，得：x-2， 故不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接OC，设圆的半径为x，根据垂径定理可得CH=4，在Rt△OCH中由勾股定理建立方程求解即可； 【详解】解：如图，连接OC，设圆的半径为x， 由垂径定理可得：CH=CD=4， Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则 ， ， 解得：x=5，即⊙O半径为5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识；掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键． 16. 在一个不透明的袋子中装有6个白球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个小球，则摸到白球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据概率公式计算概率，先求出球的总数，再根据概率公式，用白球个数除以球的总数得到摸到白球的概率． 【详解】解：袋中球的总数为，白球有个， 因此摸到白球的概率， 故答案为：． 17. 一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 【答案】22.5 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 18. 已知，CD是△ABC的高，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝，AC＝，则AB的长为_________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】CD是△ABC的高，得到根据勾股定理求出证明根据相似三角形的性质得到 求出 分两种情况进行计算即可. 【详解】解：∵ CD是△ABC的高， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即：解得： 或 故答案为1或7. 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 19. 如图，中，，平分，若，，则边的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 在上取一点，使得，根据可证明，进而得到，即即可求解． 【详解】在上取一点，使得， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ， ， ， 故答案为：4． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分母有理化，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，特殊角的三角函数值． 根据题意化简，再由特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】原式． 且． 原式． 21. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以A为直角顶点的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5； （2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为3，CF与（1）中所画线段AE平行，连接BF，请直接写出线段BF的长． 【答案】（1）满足条件的点E如图所示； （2）图中点F和点F′就是所求的点， BF=或． 【解析】 【分析】（1）根据题意及勾股定理可直接进行作图即可； （2）根据题意直接进行作图即可，然后根据勾股定理求解BF的长． 【详解】解：（1）略 （2）BF＝或BF＝． 【点睛】本题主要考查勾股定理及格点作图，熟练掌握格点里利用勾股定理求解线段的长是解题的关键． 22. 哈市南岗区为了调查居民对“供热管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用A表示“相当满意”，B表示“满意”，C表示“比较满意”，D表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次问卷调查，共调查了多少人； （2）将图（2）中“B”部分的图形补充完整； （3）如果该社区有居民24000人，请你估计该社区居民对“供热管理”感到“不满意”的约有多少人？ 【答案】（1）本次一共调查500人 （2） 补图如图所示： （3）2400人 【解析】 【分析】本题考查条形图、扇形统计图、利用样本估计总体． （1）用“”部分人数占比即可求解； （2）先求得部分的人数，进而补全统计图，即可求解； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：（人） 答：本次一共调查500人； 【小问2详解】 解：（人） 【小问3详解】 解：依题意，估计该社区居民对“供热管理”感到“不满意”的约有（人）， 答：估计不满意的有2400人． 23. .已知：在矩形中，是对角线，于点，于点； （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的. 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）的面积的面积的面积的面积矩形面积的． 【解析】 【分析】（1）结合矩形的性质和已知条件可证，根据全等三角形对应边相等即知，此题得证；（2）可利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系.. 【详解】（1）略 （2）解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的． 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的面积矩形的面积， ∵， ∴的面积矩形的面积； 作于，如图所示： ∵， ∴， ∴的面积矩形的面积， 同理：的面积矩形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形角的性质是解题的关键. 24. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌足球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元 （2）20个 【解析】 【分析】（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，由题意：购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（40-m）个B品牌足球，由题意：该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x＋30）元， 依题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x＋30＝80． 答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元； 【小问2详解】 设该中学此次可以购买m个A品牌足球，则可以购买（50﹣m）个B品牌足球， 依题意得：50 m＋80（40﹣m）≤2600， 解得：m≥20． 答：该中学此次至少可购买20个A品牌足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出相应方程及不等式． 25. 如图，已知四边形内接于，连接、、，； （1）如图1，求证； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作于点E，作于点F，连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：在上，所对的圆心角为，圆周角为， ， ， ， ， ； （2） 证明：劣弧所对圆周角为，优弧所对圆周角为， ， 又， ， 解得， 又由（1）知， 为等边三角形， ，， 延长，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ，则为等边三角形， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，学会添加适当的辅助线，相关知识的应用是解题的关键． （1）根据圆周角定理，得到即可证明； （2）根据题意可得，进而可得，延长，使得，可证，然后可得，继而得到； （3）由圆周角定理可得，设，进而得到，过作交于，再在中，利用勾股定理可得，再求出，过作交于，解三角形即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知， ， ， ∴， 则， 设，则，， 又， ， 过作交于， 又， 四边形为矩形， ，， 又由（2）知， ， ， 在中，，， 即，解得或（舍去）， ，， 过作交于， 又为等边三角形，, , , ，， 设的半径，则， 在中，， 即，解得， 即的半径为． 26. 如图，已知抛物线交x轴于点、（点A在点B左侧），交轴正半轴于点，连接、，且； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第一象限的抛物线上，连接、，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为S，求S与t间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点D在线段上，连接、，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和性质，求二次函数的解析式，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意得到点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）由题知，再根据待定系数法得到的解析式为，进而得到点，继而得到，接着根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意分别得到直线的解析式，利用相似得到点坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 由题可知时，，则， ， ，即， 当时，，解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知抛物线的解析式为， 则，设的解析式为， ，解得， 则的解析式为， 时，，则， 点在第一象限， ，则， 的面积， S与t间的函数关系式为； 【小问3详解】 令，即，解得或， ， 设直线交轴于， ， ，即，故， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以直线的解析式为， ， ， ， ，解得， 设， ， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， 则，解得， 所以设直线的解析式为， 联立抛物线得：，解得或， 所以点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期九年级第三次月考试题数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列运算中，正确的是（　　） A. x•x2＝x3 B. （xy2）2＝x2y2 C. 3x6÷x3＝3x2 D. 4x﹣3x＝1 2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 A. m＜﹣2 B. m＜0 C. m＞﹣2 D. m＞0 5. 把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 6. 如图，是的外接圆，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，沿的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则线段的长为（　　） A. B. C. 2 D. 1 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 10. 将数据用科学记数法表示为______． 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 计算﹣2的结果是______． 13. 分解因式：______． 14. 不等式组的解集是______． 15. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______． 16. 在一个不透明的袋子中装有6个白球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个小球，则摸到白球的概率为______． 17. 一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 18. 已知，CD是△ABC的高，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝，AC＝，则AB的长为_________． 19. 如图，中，，平分，若，，则边的长为______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 20. 先化简，再求代数式的值，其中． 21. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以A为直角顶点的直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5； （2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为3，CF与（1）中所画线段AE平行，连接BF，请直接写出线段BF的长． 22. 哈市南岗区为了调查居民对“供热管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用A表示“相当满意”，B表示“满意”，C表示“比较满意”，D表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次问卷调查，共调查了多少人； （2）将图（2）中“B”部分的图形补充完整； （3）如果该社区有居民24000人，请你估计该社区居民对“供热管理”感到“不满意”的约有多少人？ 23. .已知：在矩形中，是对角线，于点，于点； （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的. 24. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌足球？ 25. 如图，已知四边形内接于，连接、、，； （1）如图1，求证； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作于点E，作于点F，连接，若，，求的半径． 26. 如图，已知抛物线交x轴于点、（点A在点B左侧），交轴正半轴于点，连接、，且； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第一象限的抛物线上，连接、，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为S，求S与t间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点D在线段上，连接、，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $